Frédéric Hélein

Séminaire de géométrie et physique mathématique


organisé par Serguei Barannikov, Daniel Bennequin, Christian Brouder,
Frédéric Hélein et Volodya Roubtsov


Salle 8029 (attention ! changement de salle), bâtiment Sophie Germain, Paris 13ème
(voir le plan d'accès)

Année 2014-2015




Jeudi 18 juin 2015, 10 h 30 :

Pierre Martinetti

Université de Trieste


Attention ! à titre exceptionnel,
cette séance aura lieu en salle 7057 !

Le modèle standard en géométrie noncommutative après la découverte du Higgs

Résumé: On présentera un état-de-l'art de la description du modèle standard en géométrie non-commutative. On discutera la manière d'obtenir un champ scalaire supplémentaire, proposé en physique des particules afin de stabiliser le vide électro-faible, qui de surcroit rend le calcul de la masse du Higgs dans la théorie de Connes compatible avec la valeur expérimentale. On verra en particulier comment obtenir ce champ à partir de la masse de Majorana du neutrino, grâce à un mélange des degrés de liberté de jauge et de spins. Mathématiquement, cela est rendu possible par un twist du triplet spectral, au sens de Connes-Moscovici. D'éventuelles conséquences physiques au-delà du modèle standard seront également mentionnées.

Prochaines séances :


Bonnes vacacances !


A l'année prochaine !

Séances précédentes :


Jeudi 11 juin 2015, 10 h 30 :

Dimitri Vey

Formulation multisymplectique de la vierbein gravité

L'idée est de construire une formulation hamiltonienne pour les équations d'Einstein-Palatini qui soit la plus covariante possible i.e. qui ne dépende pas d'un choix de coordonnées sur l'espace-temps, ni d'un choix d'une trivialisation locale du fibré. Le champ dynamique est représenté par une 1-forme à valeur dans l'algèbre de Poincaré sur l'espace total du fibré des repères orthonormés au-dessus de la variété d'espace-temps. Cette 1-forme satisfait une condition d'equivariance a priori qui a le défaut d'être une contrainte non holonome i.e. sur les dérivées premières du champ. Dans le formalisme multisymplectique nous réalisons qu'il n'est pas nécessaire de supposer la condition d'equivariance a priori, puisque celle-ci est une conséquence des équations de la dynamique.


Jeudi 4 juin 2015, 10 h 30 :

Karim Noui

Université de Tours

Gravitation Quantique à Boucles: Introduction et développements récents

Je commencerai l'exposé par une introduction non-technique à la gravitation quantique à boucles. Ensuite je présenterai des résultats récents qui permettent en particulier de donner une interprétation microscopique de la thermodynamique des trous noirs.


Jeudi 28 mai 2015, 10 h 30 :

Suzanne Lanéry

Institute for Quantum Gravity
Erlangen

Espaces d'états projectifs et application aux théories de connections


(travail en collaboration avec Thomas Thiemann, arXiv:1411.3589 à 3592)

Résumé: Plutôt que de formuler l'espace d'états d'une théorie quantique des champs sur un seul `gros' espace de Hilbert, il a été proposé par Jerzy Kijowski et Andrzej Okolow d'utiliser une collection d'espaces de Hilbert `partiels' et des représenter les états quantiques par des familles consistantes de matrices densités. Après avoir justifié l'intérêt de cette approche, j'expliquerai comment de tels espaces d'états peuvent être obtenus par la quantification d'une limite projective d'espaces de phases classiques. Motivée par l'application de ce formalisme à la gravité quantique à boucles, je présenterai son utilité pour construire un espace d'états sur l'algèbre des holonomies et flux d'une théorie de connections. Finalement, je décrirai quelles relations les espaces d'états construits de cette façon ont avec d'autres espaces obtenus par la réunion de `petits' espaces de Hilbert: les limites inductive d'espaces Hilbert, tels l'espace de Fock, ou l'espace d'Ashtekar-Lewandowski, mais aussi les produits tensoriels infinis d'espaces de Hilbert, tels qu'utilisés, par exemple, dans certaines approches à la gravité quantique.


Jeudi 21 mai 2015, 10 h 30 :

Thierry Lévy

LPMA et UPMC

Champs aléatoires de Yang-Mills

Résumé : Dans le contexte géométrique où l'action de Yang-Mills est définie, une des constructions que la littérature physique suggère d'entreprendre est celle d'une mesure de probabilités sur l'espace des connexions sur le fibré principal, de manière à ce que la probabilité d'une connexion soit proportionnelle à l'exponentielle d'une constante (réelle et négative) fois son action de Yang-Mills. Il s'agit donc de définir une version euclidienne de l'intégrale de chemins qui, d'après Feynman, permet d'étudier la dynamique quantique du champ. Je présenterai une famille de telles constructions lorsque l'espace-temps est une surface. Les champs aléatoires qui en résultent jouissent d'une propriété de Markov géométrique qui permet d'en faire une chirurgie rudimentaire et de les mettre en relation avec des théories topologiques des champs dépendant de l'aire. J'évoquerai également certaines limites de ces champs : la limite semi-classique d'une part, et de l'autre une limite lorsque le rang du groupe de structure tend vers l'infini.


Jeudi 16 avril 2015, 10 h 30 :

Simon Henry

Université de Nijmegen

Le topos de Bohr géométrique

Résumé : Ces dernières années des idées nouvelles quant à l'utilisation des topos pour formuler une théorie de la gravitation quantique ont commencé à émerger. Plusieurs de ces idées gravitent autour d'une construction assez élémentaire dite du "topos de Bohr". Cette construction a cependant un certain nombre de défauts qui l'empêche de jouer correctement son rôle. Récemment, j'ai rédigé une courte note expliquant comment les idées de la "logique géométrique" ainsi que mes travaux de thèse permettent de proposer une version modifiée de cette construction qui élimine une bonne partie de ces défauts.

Dans l'exposé je présenterai brièvement ces idées sur l'utilisation des topos en physique, et je m'attarderai surtout à expliquer les idées modernes de la théorie des topos et de la "logique géométrique" et j'expliquerai comment à mon avis elles donnent un éclairage nouveaux sur l'utilisation des topos en physique théorique. J'expliquerai aussi cette nouvelle construction, du "topos de Bohr géométrique".


Jeudi 26 mars 2015, 10 h 30 :

Axel de Goursac

Université de Louvain-la-Neuve

Supergéométrie non-commutative

Résumé : Nous présenterons les structures analytiques de base pour la supergéométrie non-commutative (SGNC), à savoir une nouvelle définition des superespaces de Hilbert, et les C*-superalgèbres, nouvelles algèbres d'opérateurs.
Nous montrerons que cette nouvelle structure de superespaces de Hilbert est plus pertinente que la structure habituelle pour l'analyse harmonique des supergroupes de Lie. Notamment, elle permet de trouver des représentations irréductibles superunitaires pour des supergroupes réputés ne pas en avoir, comme les supergroupes de Heisenberg en signature mixte (théorème de Stone-von Neumann) ou le supergroupe orthosymplectique.
D'autre part, la catégorie des \(C^*\)-superalgèbres est stabilisée par la déformation des actions du supergroupe \(\mathbb{R}^{m|n}\) (twist de Drinfeld non-formel), contrairement aux \(C^*\)-algèbres graduées, ce qui souligne aussi son importance pour la SGNC. Elle permet aussi de définir des supergroupes quantiques topologiques.
Enfin, la SGNC a certaines applications à des modèles de physique théorique (théorie des champs, chaînes de spin).


Jeudi 12 mars 2015, 10 h 30 :

Ping Xu

Université Penn State

\(Dg\)-vector bundles and Atiyah class

Résumé : We give a brief introduction of a \(dg\)-vector bundle, its Atiyah class and Todd class. We prove that the space of vector fields on a \(dg\)-manifold with homological vector field \(Q\) admits a structure of \(L_\infty \)-algebra with the Lie derivative by \(Q\) as unary bracket, and the Atiyah cocycle corresponding to a torsion-free affine connection as binary bracket.


Jeudi 19 février 2015, 10 h 30 :

Volodya Roubtsov

Université d'Angers

Confluence et quantification de données monodromiques des équations de Painlevé


Jeudi 5 février 2015, 10 h 30 :

Dimitri Gourevitch

Université de Valenciennes

Derivatives in Noncommutative calculus and deformation property of quantum algebras

Résumé : The aim of my talk is twofold. First, I introduce analogs of (partial) derivatives on certain Noncommutative algebras, including some enveloping algebras and their "braided versions". Second, I discuss deformation property of some quantum algebras and show that contrary to a commonly held view the so-called "q-Witt algebra" is not a deformation of its classical counterpart.


Jeudi 29 janvier 2015, 10 h 30 :

Sylvie Paycha

Université de Postdam

Traces de familles holomorphes d'un point de vue géométrique; applications au tore non commutatif et au théorème d'indice \(L^2\) d'Atiyah


d'après un travail en collaboration avec S. Azzali, C. Lévy et C. Neira-Jimenez

Résumé : Nous aborderons les traces de familles holomorphes d'opérateurs pseudodifférentiels sur une variété compacte sans bord sous une perspective géométrique avec deux champs d'application, le tore non commutatif et les modules de Hilbert. Ces traces sont des fonctions méromorphes dont les coefficients de la partie polaire ainsi que le terme constant du développement de Laurent en zero (ce dernier lorsque la famille coincide en zero avec un opérateur différentiel) peuvent s'exprimer en terme de résidus de Wodzicki. Ces coefficients sont donc locaux; ils contiennent de plus une information géométrique. Pour des familles holomorphes provenant d'une régularisation zeta, ces coefficients sont reliés à ceux du développement asymptotique de la chaleur par le biais d'une transformation de Mellin inverse. Ce point de vue qui utilise l'outil des familles holomorphes permet d'une part de reformuler le théorème d' Atiyah \(L^2\)-index théorème, d'autre part d'interpréter la courbure scalaire sur le tore noncommutatif comme des résidus de Wodzicki.


Jeudi 22 janvier 2015, 10 h 30 :

Laurent Delisle

IMJ-PRG

Construction de solutions harmoniques des sigma modèles \(\mathbb{C}P^{N-1}\) supersymétriques

Résumé : Nous présenterons, dans cet exposé, une version supersymétrique des sigma modèles ayant pour espace cible \(\mathbb{C}P^{N-1}\). Après une discussion sur la construction de solutions des modèles bosoniques, nous généraliserons la méthode holomorphe, proposée par Din et Zakrzewski, aux modèles supersymétriques. Cette dernière engendrera une suite de solutions classiques des équations d'Euler-Lagrange. Si le temps le permet, nous présenterons quelques applications et les défis à relever.


Jeudi 8 janvier 2015, 10 h 30 :

Roberta Iseppi

Radboud Universiteit (Pays-Bas)

The BV formalism and BRST cohomology for a \(U(2)\)-matrix model: a Noncommutative Geometric Approach

Résumé : In recent years noncommutative geometry has given proof of being an interesting setting for the analysis of gauge theories, due to the fact that noncommutative manifolds naturally induce gauge theories. It is then reasonable to try to insert in this setting also procedures which have been developed for the analysis of gauge theories, such as the BV approach to the BRST quantization of non-abelian gauge theories. In this talk we present a method to incorporate the BV construction in the framework of noncommutative geometry: this is done for a \(U(2)\)-gauge theory, via the introduction of a so-called BV-spectral triple. The interesting aspect of this approach is that the ghost fields, which play a fundamental role in the BV construction, as well as all their physical properties have a "geometric interpretation" in terms of the structure of the spectral triple.


Jeudi 11 décembre 2014, 10 h 30 :

Christian Gérard

Université Paris Sud

Etats de Hadamard et problème de Cauchy caractéristique

Résumé : nous considérons un champ de Klein-Gordon libre dans un espace-temps égal à l'intérieur d'un cône de lumière futur. On peut alors construire des états quasi-libres à l'intérieur du cône à partir d'états quasi-libres pour une algèbre CCR de fonctions sur le cône lui-même.
Nous construisons une classe d'états sur le cône qui induisent des états de Hadamard à l'intérieur, en utilisant le calcul pseudo-différentiel sur le cône. Nous montrons que les états purs dans cette classe induisent des états purs à l'intérieur.


Jeudi 27 novembre 2014, 10 h 30 :
Exceptionnellement en salle 7057

Thomas Strobl

Institut Camille Jordan, Université Lyon 1

Gauging with and without initial symmetries

Résumé : I will explain the principle of gauging in physics, its conventional part as well as some new developments. This relates also to combining the world of Lie \(n\)-algebroids with conventional notions such as isometries of a metric.


Jeudi 20 novembre 2014, 10 h 30 :

Patrick Iglesias-Zemmour

Institut de Mathématiques
de Marseille

Un exemple de réduction singulière, infini-dimensionnelle, en difféologie symplectique

Résumé : Il sera question de l'espace des fonctions périodiques d'une variable réelle à valeurs complexes, muni de sa difféologie fonctionnelle. Nous exhiberons la difféologie image, par passage aux coefficients de Fourier, sur l'espace des séries rapidement convergentes. Cet espace des coefficients de Fourier est équipé d'une structure symplectique difféologique homogène. Ensuite nous étudierons une famille particulière d'actions de la droite réelle, issue de l'action du produit infini de tores équipé d'une difféologie que nous appelons “difféologie tempérée". Nous étudierons la structure en type d'orbites de cette action sur la nappe générique de l'application moment. Et nous montrerons que, malgré la présence d'orbites singulières dans la nappe, leur répartition particulière permet le passage au quotient de de la 2-forme standard : l'espace quotient "quasi-projectif", singulier et infini-dimensionnel, hérite ainsi d'une 2-forme fermée dont l'image réciproque sur la nappe est la restriction de la 2-forme canonique.


Jeudi 13 novembre 2014, 10 h 30 :

Laura Desideri

Université Lille 1

Système de Schlesinger universel

Résumé : La factorisation de Birkhoff consiste, étant donnée une fonction lisse \(G\) du cercle unité \(\mathbb{S}^1\) dans \(GL_N(\mathbb{C})\), à trouver deux fonctions à valeurs matricielles \(Y^+\) et \(Y^-\) holomorphes respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle telles que sur le cercle \(Y^+=Y^-G\). Nous verrons comment on peut déformer cette factorisation en faisant agir des difféomorphismes du cercle sur \(G\). Ces déformations sont gouvernées par un "système de Schlesinger universel", un système intégrable qui s'exprime à l'aide des générateurs de Virasoro, et qui fournit une généralisation de dimension infinie du système de Schlesinger habituel (décrivant les déformations isomonodromiques de systèmes fuchsiens). Le système de Schlesinger universel décrit également des déformations de surfaces minimales à bord rectifiable, et pourrait intervenir dans une résolution plus constructive du problème de Plateau par des systèmes intégrables.


Jeudi 23 octobre 2014, 10 h 30 :

Frédéric Hélein

IMJ-PRG et Université Paris Diderot

Connexion d'Ehresmann et champs de Yang-Mills

Résumé : A l'origine du travail qui sera présenté se trouve la question de trouver une formulation hamiltonienne des équations de Yang-Mills qui soit la plus "covariante" possible, c'est à dire qui ne dépende pas d'un choix de coordonnées sur l'espace-temps, ni d'un choix d'une trivialisation locale du fibré. Je présenterai une approche à cette question qui repose sur le formalisme multisymplectique, dans lequel le caractère local des théories des champs est naturellement pris en compte.
Cette démarche conduit relativement naturellement à remplacer l'action de Yang-Mills par un lagrangien défini sur un espace plus gros que celui des connexions, à savoir celui des connexions d'Ehresmann. Néanmoins on verra que l'ensemble des points critiques reste le même.


Jeudi 9 octobre 2014, 10 h 30 :

Nguyen Viet Dang

Laboratoire Paul Painlevé
Université Lille 1

Prolongement des distributions dans les variétés

Résumé : Soit \(M\) une variété et \(X\) un fermé dans \(M\). On se donne une distribution \(t\) définie sur l'ouvert \(M/X\) et on cherche à savoir si elle se prolonge en \(M\) tout entier. De plus on cherche à contrôler les singularités de l'extension dans le cotangent, de façon "microlocale".
Je résoud le problème dans le cas où \(X\) est une sous variété de \(M\) et je donne un théorème d'extension microlocale optimal qui généralise le résultat de ma thèse et celui de Brunetti et Fredenhagen.
Je donne des conditions nécessaires et suffisantes dans le cas où \(X\) est seulement un fermé en m'appuyant sur des travaux de B. Malgrange.
Finalement je discuterai d'applications: au problème d'extension dans l'espace de Schwartz et à la renormalisation des théorie quantique des champs en espace temps courbe.


Jeudi 26 septembre 2014, 10 h 30 :

Camille Laurent-Gengoux

Université de Lorraine (Metz)

Variétés coïsotropes et algèbres \(L _\infty\)

Résumé : Nous rappellerons pourquoi les algébroïdes de Lie donnent des algèbres de Gerstenhaber, pourquoi les variétés de Poisson donnent naturellement des algèbres \(L _\infty\), et pourquoi les deux constructions sont liées. Nous rappellerons en particulier une remarquable construction de Voronov qui simplifie ici grandement la construction en faisant de ces structures \(L _\infty\) des structures dérivées d'algèbres de Lie graduées ordinaires. Nous montrerons ensuite comment ces structures \(L _\infty\) peuvent êtres utilisées pour étudier les quantifications ou les intersections de variétés coïsotropes.



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