Nombres entiers et rationnels, congruences, permutations

Cours de licence de mathématiques (2005-06)

Programme

1. Nombres entiers et principe de récurrence
2. Combinatoire. Dénombrements élémentaires
3. Division euclidienne dans Z
4. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers
5. Congruences (relation d'équivalence, Z/nZ). Application à la cryptographie RSA
6. Nombres décimaux, nombres rationnels, nombres réels
7. Permutations. Cycles, signature (non abordé)

Enseignants

• Antoine Chambert-Loir
• Felix Ulmer

Horaires

• Cours. Le lundi, de 8 à 10h, bât. 27, salle 109 (ACL) et 114 (FU).
• Travaux dirigés. Le mardi, de 10h15 à 12h15, bât. 27, salle 109 (ACL) et 114 (FU).

Documents disponibles

• Rédaction du cours (avec exercices). Version du 13 septembre 2006 ; fichier PDF ou Djvu
• Feuille de travaux dirigés n^o 1 ; fichier PDF
• Feuille de travaux dirigés n^o 2 ; fichier PDF
• Feuille de travaux dirigés n^o 3 ; fichier PDF
• Feuille de travaux dirigés n^o 4 ; fichier PDF
• Feuille de travaux dirigés n^o 5 ; fichier PDF
• Interrogations de 10 min. : [1], [2], [3], [4], [5], [6], [8], [9], [10], [11], [13].
• Interrogation n^o 7  (énoncé et corrigé); fichier PDF
• Interrogation n^o 12  (énoncé et corrigé); fichier PDF
• Examen terminal (janvier 2006) : énoncé et corrigé.

Sujets d'examen des années précédentes

• Contrôles continus d'une heure (année 2004-05) : premier et second.
• Examen terminal (année 2004-05) : énoncé et corrigé.

Modalités d'examen

Les examens ont lieu sans document, calculatrice, téléphone portable, etc.

• Contrôle continu (note C) : une dizaine d'interrogations de 10 min (total sur 10 points) et 2 contrôles d'1 h (chacun sur 5 points) ;
  Les contrôles continus d'une heure auront lieu le vendredi 4 novembre et le vendredi 2 décembre à 16h45. Salle d'examens du 1^er cycle (bât. 27).
• Examen terminal (note T) : examen écrit de 2 h.

La note finale sera la plus grande des notes T et (C+T)/2.

Compte rendu des séances

• Lundi 12 septembre : Cours. Chapitre 1. Nombres entiers et principe de récurrence.
• Mardi 12 septembre et vendredi 16 septembre : Travaux dirigés. Exercices 1, 2.1, 3, 4.2, 12, 14 (en fait la distributivité), 23. À chercher pour la séance suivante : 4, 5, 6, 8, 18, 22.
• Lundi 19 septembre : Cours. Chapitre 2. Rappels de théorie des ensembles ; Il est toujours bon d'avoir des principes (groupe 2).
• Mardi 20 septembre : Travaux dirigés (groupe 1). Correction des exercices 8, 10, 17, 19 et 20 de la 1^re feuille. À chercher pour la séance suivante les exercices 1, 7, 8, 9, 10, 4 et 5 de la 2^de feuille.
• Lundi 3 octobre : Cours (deux groupes réunis). Début du chapitre 3 : division euclidienne. Paragraphes 1 (relations d'équivalences, construction des entiers relatifs), 2 (théorème de la division euclidienne) et 3 (numération).
• Mardi 4 octobre : Travaux dirigés. Suite des exercices sur la combinatoire (feuille 2).
• Lundi 10 octobre : Cours Suite du chapitre 3 : Divisibilité, congruences (paragraphe 4) ; algorithme d'Euclide, algorithme d'Euclide étendu (paragraphe 5).
• Mardi 11 octobre : Travaux dirigés. Correction rapide des trois premières interrogations, exercices 1, 7, 9, 11, 12 de la feuille 3.
• Lundi 17 octobre : Cours. Fin du chapitre 3, théorèmes de Bézout et de Gauss, ppcm. Début du chapitre 4 : nombres premiers. Crible d'Ératosthène et décomposition en facteurs premiers.
• Lundi 24 octobre : Cours. Décomposition en facteurs premiers (fin, démonstration du lemme d'Euclide). Valuations p-adiques et leurs propriétés. L'ensemble des nombres premiers est infini. Un point d'histoire sur le théorème des nombres premiers et la conjecture de Riemann.
• Lundi 7 novembre : Cours. Petit théorème de Fermat (groupe 1); théorème de Wilson (groupe 2). Équation du premier degré en congruences. Théorème chinois (groupe 1).
• Lundi 14 novembre : Cours. Décomposition en base mixte. Indicateur d'Euler, théorème d'Euler. Cryptographie RSA.
• Lundi 21 novembre : Cours. Cryptographie à clef publique, algorithme RSA, quelques détails pratiques. Équations polynomiales modulo un nombre entier : méthode pratique de résolution.
• Lundi 28 novembre : Cours. Équations polynomiales modulo un nombre premier : cas du degré 2, majoration du nombre de racines par le degré de l'équation. Nombres rationnels : construction.
• Lundi 5 décembre : Cours. Développement décimal d'un nombre rationnel, leur caractère périodique ; nombres décimaux. Nombres réels. Quelques exemples de nombres irrationnels : racine de 2, e, π. Les nombres réels ne sont pas dénombrables (argument diagonal de Cantor).

Antoine Chambert-Loir