Préparation au CAPES de mathématiques Université de Paris 7 2004-2005

Avancement du cours d’algèbre

Ceci n’est pas un cours, c’est simplement un plan détaillé autant que possible, avec une rédaction parfois abusive et sans aucune démonstration

Cours du 27 septembre 2004

ARITHMETIQUE

Rappel : définitions d’anneau, anneau commutatif, anneau intègre

I L’anneau ℤ

C’est un anneau (commutatif) intègre.

1) Divisibilité dans l’anneau ℤ

Définition: a divise b Exemples

- Division euclidienne Théorème: Soit a ∈ ℤ, b ∈ ℤ \ {0}. Alors il existe un unique couple (q, r) ∈ ℤ × ℕ tel que a = bq + r et r < |b|. Démonstration. Exemples

- Sous-groupes de ℤ Définition de nℤ pour n ∈ ℤ. Théorème: Les sous-groupes de ℤ sont les nℤ, n ∈ ℕ. Démonstration. Corollaire: Les idéaux de ℤ sont les nℤ, n ∈ ℕ. ℤ est principal. Rappel: définition d’un idéal dans un anneau commutatif, une intersection d’idéaux est un idéal (exercice), définition de l’idéal engendré par une partie, d’un idéal principal, d’un anneau principal. Lemme: nℤ est l’idéal engendré par {n}. Démonstration.

-PGCD/PPCM Soit n ∈ ℕ^{∗}, (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℤ^{n}.

i) a_{1}ℤ ∩ … ∩ a_{n}ℤ est l’ensemble des multiples communs aux (a_{i}). C’est une intersection d’idéaux de ℤ donc un un idéal de ℤ. Il existe donc un unique m ∈ ℕ tel que a_{1}ℤ ∩ … ∩ a_{n}ℤ = mℤ. m s’appelle le PPCM des (a_{i}), noté P P CM(a_{1}, …, a_{n}). C’est l’unique élément de ℕ qui vérifie:

a) pour tout i, m est un multiple de a_{i} et b) m divise tous les multiples communs des a_{i}. Propriétés: P P CM(a, b, c) = P P CM(P P CM(a, b), c), P P CM(ka, kb) = |k|P P CM(a, b). (exercice) Notation a ∨ b. ii) Lemme: a_{1}ℤ + … + a_{n}ℤ est un idéal de ℤ. (exercice) Il existe donc un unique d ∈ ℕ tel que a_{1}ℤ + … + a_{n}ℤ = dℤ. d s’appelle le PGCD des (a_{i}), noté P GCD(a_{1}, …, a_{n}). C’est l’unique élément de ℕ qui vérifie: a) pour tout i, d divise a_{i} et b) tout diviseur commun des a_{i} divise d. Propriétés: P GCD(a, b, c) = P GCD(P GCD(a, b), c), P GCD(ka, kb) = |k|P GCD(a, b). (exercice) Notation a ∧ b.

- Théorème de Bézout Définition: Les entiers a_{1}, …, a_{n} sont premiers entre eux si P GCD(a_{1}, …, a_{n}) = 1. Théorème: Les entiers a_{1}, …, a_{n} sont premiers entre eux si et seulement si il existe (u_{1}, …, u_{n}) ∈ ℤ^{n} tel que a_{1}u_{1} + … a_{n}u_{n} = 1. Démonstration.

Cours du 4 octobre 2004

- Retour sur le cours précédent

i) Mise au point sur les définitions suivantes: anneau intègre = anneau non trivial, commutatif et sans diviseur de 0 anneau principal = anneau intègre tel que tout idéal est principal ii) Définition d’un élément inversible dans un anneau (A, +, ×). On note A^{∗} l’ensemble des éléments inversibles de A. Lemme: (A^{∗}, ×) est un groupe. Démonstration. Définition: A est un corps si A^{∗} = A \ {0}. Exemples: ℤ^{∗} = {+1, −1}, M_{n}(ℝ)^{∗} = GL_{n}(ℝ) = {M ∈ M_{n}(ℝ)| det M ≠ 0}, M_{n}(ℤ)^{∗} = {M ∈ M_{n}(ℤ)| det M = ±1} (démontré). Définition d’un sous-anneau.

- Remarque sur les entiers premiers entre eux: Si a, b et c sont premiers entre eux deux à deux, alors a, b et c sont premiers entre eux. La réciproque est fausse. Par exemple 2, 4 et 5 sont premiers entre eux mais pas premiers entre eux deux à deux. Proposition: Soit (a, b, c) ∈ ℤ^{3}. Si a ∧ b = 1 et a ∧ c = 1 alors a ∧ bc = 1. (Exercice. Indication: multiplier les deux relations de Bézout). Lemme de Gauss: Soit (a, b, c) ∈ ℤ^{3}. Si a ∧ b = 1 et a divise bc alors a divise c. Démonstration. Corollaire: i) Soit (a, b, c) ∈ ℤ^{3}. On suppose que a ∧ b = 1, a divise c et b divise c. Alors ab divise c. ii) Soit a et b des entiers premiers entre eux. Alors P GCD(a, b) = |ab|. Démonstration. Proposition: Soit (a, b) ∈ ℤ^{2}. On a P GCD(a, b) × P P CM(a, b) = |ab|. Démonstration. Exemple.

2) Nombres premiers

Définition: on appelle nombre premier tout élément de ℕ supérieur où égal à 2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même. Exemples: 2,3,5,7... Théorème (décomposition en facteurs premiers): Soit n ∈ ℕ^{∗}. Alors il existe k ∈ ℕ^{∗}, des nombres premiers p_{1}, …, p_{k} deux à deux distincts, des entiers α_{1}, …, α_{k} dans ℕ^{∗} tels que n = ∏_{i=1}^{k} p_{i}^{α_{i}}. Cette décomposition est unique. Par convention, 1=1 est la décomposition en facteurs premiers de 1. Démonstration. Application: i) Soit a = p_{1}^{α_{1}} … p_{k}^{α_{k}} la décomposition en facteurs premiers d’un entier a ∈ ℕ\{0, 1}. Alors les diviseurs positifs de a sont les p_{1}^{ε_{1}} … p_{k}^{ε_{k}} où 0 ≤ ε_{i} ≤ α_{i} pour tout i. Il y a donc (α_{1} + 1) … (α_{k} + 1) diviseurs positifs distincts de a. ii) Soit a, b ∈ ℕ \ {0, 1} et a = p_{1}^{α_{1}} … p_{k}^{α_{k}} et b = q_{1}^{β_{1}} … q_{l}^{β_{l}} leurs décompositions en facteurs premiers. On écrit a = r_{1}^{γ_{1}} … r_{m}^{γ_{m}} et b = r_{1}^{δ_{1}} … r_{m}^{δ_{m}} où les r_{i} sont les p_{i} et les q_{i} (sans redite) et où γ_{i} ≥ 0 et δ_{i} ≥ 0 pour tout i. Alors P GCD(a, b) = r_{1}^{min(γ_{1},δ_{1})} … r_{m}^{min(γ_{m},δ_{m})} et P P CM(a, b) = r_{1}^{max(γ_{1},δ_{1})} … r_{m}^{max(γ_{m},δ_{m})}. (Exercice) Exercice: Il existe une infinité de nombres premiers.

3) Algorithme d’Euclide

Remarque : D’après la propriété d’associativité du P GCD il suffit de savoir calculer le P GCD de deux entiers, et même de deux entiers positifs (puisque P GCD(a, b) = P GCD(|a|, |b|)). C’est ce que fait l’algorithme d’Euclide. Lemme: Soit a ∈ ℤ, b ∈ ℤ \ {0} et a = bq + r la division euclidienne de a par b. Alors P GCD(a, b) = P GCD(b, r). Démonstration. Description de l’algorithme d’Euclide pour calculer le P GCD de deux entiers positifs (ou nuls) a et b. Exemple. En "remontant" l’algorithme, on trouve un couple de Bézout pour a et b. Remarque: comme aℤ + bℤ = P GCD(a, b)ℤ, il existe (u, v) ∈ ℤ^{2} tel que au + bv = P GCD(a, b). (u, v) s’appelle un couple de Bézout pour a et b. On a même plus: l’équation ax + by = c (appelée équation de Bézout) a des solutions si et seulement si P GCD(a, b) divise c. (démontré). Pour un exemple de résolution d’une équation de Bézout, voir l’exercice IV du test. Encore une remarque: si on a une égalité du type au + bv = 1 cela prouve bien que a et b sont premiers entre eux. En revanche si on a une égalité du type au + bv = c, cela prouve seulement que le P GCD de a et b divise c. Version matricielle de l’algorithme d’Euclide: soit a et b deux entiers positifs ou nuls. Alors l’algorithme

d’Euclide nous donne une matrice P ∈ M_{2}(ℤ) inversible (dans M_{2}(ℤ)) telle que ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) = P ( \begin{matrix}P GCD(a, b) \\ 0 \end{matrix} ).

L’égalité ( \begin{matrix}P GCD(a, b) \\ 0 \end{matrix} ) = P^{−1} ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) permet alors de trouver un couple de Bézout pour a et b.

Cours du 11 octobre 2004

4. Congruences et anneaux résiduels

On fixe un entier n ≥ 2. Définition de la relation de congruence module n. C’est une relation d’équivalence. Elle est compatible avec la multiplication et l’addition. Donc également avec le passage à l’opposé et aux puissances.

L’anneau ℤ/nℤ est l’ensemble des classes de congruences muni des lois induites par l’addition et la multiplication des représentants. C’est un anneau commutatif.

Un élément \overline{a} de cet anneau est inversible ssi il existe x ∈ ℤ tel que ax soit congru à 1 modulo n ssi l’équation de Bezout

ax + ny = 1

admet une solution (x, y) ∈ ℤ^{2} ssi P GCD(a, n) = 1 ssi l’élément \overline{a} est un générateur du groupe additif ℤ/nℤ.

Par exemple, les éléments inversibles de ℤ/30ℤ sont les classes de

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

resp. de

1, 7, 11, 13, −13, −11, −7, −1

et leurs inverses sont respectivement les classes de

1, 13, 11, 7, −7, −11, −13, −1.

Un anneau avec un nombre fini d’éléments est intègre ssi il est un corps. L’anneau ℤ/nℤ est un corps ssi il est intègre ssi n est premier.

Cours du 17 octobre 2004

5. Le Théorème des restes chinois

Soient A, B deux anneaux. Un homomorphisme d’anneaux de A dans B est une application f : A → B compatble avec l’addition, la multiplication et qui envoie l’unité de A sur celle de B. Un isomorphisme d’anneaux est un homomorphisme d’anneaux qui est en outre bijectif. L’anneau produit A × B est l’ensemble produit muni des lois définies composante par composante.

Un homomorphisme d’anneaux est en particulier un homomorphisme de groupes abéliens. Donc il envoie 0_{A} sur 0_{B}. L’application réciproque d’un isomorphisme d’anneaux est encore un isomorphisme d’anneaux. Si A et B sont des anneaux, l’anneau produit A×B est bien un anneau. On a 0_{A×B} = (0_{A}, 0_{B}) et 1_{A×B} = (1_{A}, 1_{B}). On a des homomorphismes canoniques p_{1} : A × B → A et p_{2} : A × B → B donnés par les projections. L’application

A → A × B , a ↦ (a, 0)

est compatible avec l’addition et la multiplication mais n’est pas un homomorphisme d’anneaux si B ≠ {0} car elle n’envoie pas l’unité de A sur celle de A × B.

Exemples de morphismes d’anneaux : l’application canonique ℤ → ℤ/nℤ et les applications canoniques ℤ/(klℤ) → ℤ/kℤ.

Si f : A → B est un homomorphisme d’anneaux, alors f(A^{∗}) ⊂ B^{∗} est l’application induite A^{∗} → B^{∗} est un homomorphisme de groupes. C’est un isomorphisme de groupes si f est un isomorphisme d’anneaux. Le groupe des éléments inversibles de A × B est égal au groupe A^{∗} × B^{∗}. Théorème des restes chinois : Soient l et m deux entiers tels que P GCD(l, m) = 1. Alors l’application

f : ℤ/(lm)ℤ → ℤ/lℤ × ℤ/mℤ ,

qui envoie la classe de x modulo lm sur le couple formé des classes de x module l et modulo m est un isomorphisme d’anneaux. Corollaire : L’application ci-dessus induit un isomorphisme de groupes

(ℤ/lmℤ)^{∗} → (ℤ/lℤ)^{∗} × (ℤ/mℤ)^{∗}.

Corollaire : Soit n = p_{1}^{a_{1}} … p_{k}^{a_{k}} la décomposition d’un entier n ≥ 2 en produit de puissances de nombres premiers distincts deux à deux. Alors on a un isomorphisme de groupes

(ℤ/nℤ)^{∗} → (ℤ/p_{1}^{a_{1}})^{∗} × ⋯ × (ℤ/p_{k}^{a_{k}})^{∗}.

Pour un entier n ≥ 2, on pose ϕ(n) égal à l’ordre du groupe (ℤ/nℤ)^{∗}. On appelle ϕ l’indicatrice d’Euler. On a ϕ(p) = p − 1 lorsque p est premier,

ϕ(p^{a}) = p^{a} − p^{a−1}

si p premier et a ≥ 1 et, si P GCD(l, m) = 1, on a ϕ(lm) = ϕ(l)ϕ(m).

6. Application au calcul de restes de puissances

Soit G un groupe (dont la loi est notée multiplicativement) et g un élément de G. L’ordre de G est le nombre de ses éléments. L’ordre de g est infini si g^{n} ≠ e pour tout n ≥ 1. Sinon, c’est le plus petit entier n ≥ 1 tel que g^{n} = e.

L’ordre de g est égal à l’ordre du sous-groupe H de G engendré par g. Ce sous-groupe est formé des puissances g^{n}, n ∈ ℤ, de g. Si l’ordre de g est infini, nous avons un isomorphisme de groupes

(ℤ, +) → H , l ↦ g^{l}.

Si l’ordre de g est fini, égal à n, nous avons un isomorphisme de groupes

(ℤ/nℤ, +) → H , \overline{l} ↦ g^{l}.

En particulier, si l’ordre de G est fini, alors l’ordre de chaque élément de G est fini et divise l’ordre de G (par le théorème de Lagrange, l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe).

Soit g un élément d’un groupe fini G. Les deux points à retenir sont les suivants :

1. la puissance g^{l} ne dépend que de la classe de l modulo l’ordre de g et

2. l’ordre de g divise l’ordre de G.

Ces deux points impliquent les théorèmes suivants : Petit théorème de Fermat : soit p un nombre premier et x un entier qui n’est pas divisible par p. Alors on a

x^{p−1} = 1 mod p.

Théorème d’Euler : soit n ≥ 2 un entier et x un entier premier avec n. Alors on a

x^{ϕ(n)} = 1 mod n.

Cours du 3 novembre

A compléter.

Cours du 8 novembre

ALGEBRE LINEAIRE

0 Matrices

1. Matrices échelonnées

Ici, k est un corps commutatif (k = ℝ ou ℂ par exemple). Pour des entiers n,p ≥ 1, on note M_{n,p} l’ensemble des matrices n × p à coefficients dans k. (Remarque: c’est un k-espace vectoriel et même une k-algèbre si n = p.)

Pour A = (a_{ij}) ∈ M_{n,p}, on définit la fonction échelon de A, notée e_{A} ; c’est la fonction qui à tout indice de ligne i associe le plus petit indice de colonne j tel que a_{ij} est non nul. Si la ligne i est nulle, on pose e_{A}(i) = p + 1. Exemples. Définition: On dit que la matrice A est échelonnée (par rapport aux lignes) si pour tout i = 1, …, n − 1 on a : (1) e_{A}(i) = p + 1 ⇒ e_{A}(i + 1) = p + 1 et (2) e_{A}(i) ≤ p ⇒ e_{A}(i + 1) > e_{A}(i). On dit que A est échelonnée réduite (par rapport aux lignes) si elle vérifie en plus la condition: pour tout i = 1, …, n, e_{A}(i) ≤ p ⇒ (a_{i,e_{A}(i)} = 1 et pour tout l ∈ {i, …, n} \ {i}, a_{l,e_{A}(i)} = 0).

Rappel: Les opérations élémentaires sur les lignes (d’une matrice ou d’un système linéaire) sont: (1) échanger deux lignes

(2) multiplier une ligne par un scalaire non nul

(3) ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne Théorème: a) Par un nombre fini d’opération élémentaires sur les lignes de A, on peut transformer A en une matrice échelonnée (par rapport aux lignes).

b) Par un nombre fini d’opération élémentaires sur les lignes de A, on peut transformer A en une matrice échelonnée réduite (par rapport aux lignes), et celle-ci est unique. On la note EL(A). Référence pour la démonstration: P.Gabriel, Matrices, géométrie, algèbre linéaire (A2.8), F.Liret et D.Martinais, Maths pour le DEUG.

EL(A) s’appelle la forme échelonnée réduite (par rapport aux lignes) de A ou la réduite de Gauss-Jordan de A.

Remarque importante: les opérations élémentaires ne modifient pas le rang. De plus le rang d’une matrice échelonnée est donné par son nombre de lignes non nulles.

Remarque: Cas des matrices carrées Si A ∈ M_{n}(k) est échelonnée, alors elle est triangulaire supérieure. De plus A est inversible si et seulement si EL(A) est la matrice identité. (exercice)

Exemples de calculs de formes échelonnées réduites. Utilisation de la calculatrice: fonction rref (row reduced echelon form) ou GausJord sur les Texas Instrument.

2. Application à la résolution des systèmes linéaires

On cherche à résoudre le système

(∗) { a_{11}x_{1} + … + a_{1p}x_{p} = b_{1} ; a_{21}x_{1} + … + a_{2p}x_{p} = b_{2} ; ⋮ ; a_{n1}x_{1} + … + a_{np}x_{p} = b_{n}

soit sous forme matricielle:

AX = B

avec A = (a_{ij}) ∈ M_{n,p} , X = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{p} ) ∈ M_{p,1} ≃ k^{p} et B = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} ) ∈ M_{n,1} ≃ k^{n}.

Lorsqu’on effectue des opérations élémentaires sur les lignes du système (∗), on ne change pas l’ensemble des solutions, et cela revient à faire les mêmes opérations élémentaires sur les lignes de la matrice (A|B) appelée matrice augmentée du système. D’après le théorème du paragraphe précédent, on peut ainsi se ramener à un système dont la matrice augmentée est échelonnée réduite.

On se place désormais dans ce cas-là. 1er cas : il existe i ∈ {i, …, n} tel que e_{A}(i) = p + 1 et b_{i} ≠ 0. Alors le système n’a pas de solution. 2ème cas : ∀i ∈ {i, …, n}, b_{i} ≠ 0 ⇒ e_{A}(i) ≤ p. Alors on appelle variables liées les variables x_{e_{A}(i)} où i ∈ {i, …, n} est tel que e_{A}(i) ≤ p. il y en a r où r est le rang de A. On appelle variables libres les autres variables (il y en a p − r). On obtient la solution générale du système en attribuant des valeurs arbitraires aux variables libres et en exprimant les variables liées en fonction des variables libres. Exemples de résolutions (de systèmes échelonnés réduits).

Théorème général: (Avec le formalisme du début du paragraphe) Soit l’ensemble des solutions du système (∗) est vide, soit la solution générale est de la forme X = X_{part} + X_{hom} où X_{part} est une solution particulière de (∗) et X_{hom} est la solution générale du système homogène AX = 0. Ainsi l’ensemble des solutions est un sous-espace affine de k^{p} de dimension p − rang(A).

Pour le 15 novembre

Préparer les exercices II, III et IV de la feuille "Algèbre linéaire I" ainsi que l’exercice 6 du test de début d’année.

Cours du 15 novembre

3. Application à la recherche d’équations d’un sous-espace donné par des générateurs

Une matrice A de format p×n est échelonnée par rapport aux colonnes si sa transposée est échelonnée par rapport aux lignes.

Théorème: a) Par un nombre fini d’opérations élémentaires sur les colonnes de A, on peut transformer A en une matrice échelonnée (par rapport aux colonnes).

b) Par un nombre fini d’opérations élémentaires sur les colonnes de A, on peut transformer A en une matrice échelonnée réduite (par rapport aux colonnes), et celle-ci est unique. On la note EC(A).

Ce théorème résulte par transposition du théorème correspond sur les lignes. On a EC(A) = ^{t}EL(^{t}A).

L’espace engendré par les colonnes reste inchangé quand on effectue des opérations élémentaires sur les colonnes. Donc cet espace est le même pour A et EC(A). Ainsi, pour chercher un système d’équations dont l’espace des solutions est engendré par les colonnes de A, on peut remplacer A par EC(A). Alors ce problème est facile à résoudre.

Pour calculer EC(A) sur une TI89, on peut utiliser la commande gausJord(a^{T})^{T}.

La matrice EC(EL(A)) = EL(EC(A)) comporte un bloc I_{r} en haut à gauche et des zéros ailleurs, où r désigne le rang de A.

Une autre méthode pour trouver un système d’équations pour le sous-espace engendré par les colonnes de A consiste à résoudre le système Ax = y pour un vecteur d’inconnus y. Plus précisément, on met la matrice augmentée [A|y] de ce système sous forme échelonnée réduite. Alors les lignes nulles de la partie gauche donnent le système recherché. Pour effectuer cette méthode sur une calculatrice, on utilise la matrice augmentée [A|I_{p}], dont la partie de droite contiendra les coefficients des composantes y_{i}.

4. Interprétation matricielle des opérations élémentaires et conséquences

Soient A une matrice n × p, i_{1} ≠ i_{2} des entiers entre 1 et n, λ ∈ k, a ∈ k^{∗}.

Lemme : Si B est obtenue à partir de A

a) en échangeant les lignes i_{1} et i_{2}, alors B = P (i_{1}, i_{2})A.

b) en rajoutant λ fois la ligne numéro i_{1} à la ligne numéro i_{2}, alors B = T_{(}i_{1}, i_{2})(λ)B.

c) en multipliant la ligne numéro i_{1} par a, alors B = D_{i_{1}}(a)A.

On a P (i, j)P (i, j) = I_{n}, T_{i_{1},i_{2}}(λ)T_{i_{1},i_{2}}(λ) = I_{n}, D_{i_{1}}(a)D_{i_{1}}(a^{−1}) = I_{n}. Donc ces matrices sont inversibles. On les appelle les matrices élémentaires.

Le lemme entraîne qu’effectuer des opérations élémentaires sur les lignes revient à multiplier à gauche par des matrices élémentaires.

Un lemme analogue montre qu’effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes revient à multiplier à droite par des matrices élémentaires.

Corollaire 1 : Soit A une matrice n × p. Il existe une matrice inversible produit de matrices élémentaires P telle que P A = EL(A) et une matrice inversible produite de matrice élémentaires Q telle que AQ = EC(A).

Corollaire 2 : Si A est inversible, alors A est produit de matrice élémentaires. Donc le groupe GL(n, k) des matrices inversibles est engendré par des matrices élémentaires.

Exercice : Montrer que GL(n, k) est en fait engendré par les matrices élémentaires autres que les matrices P (i_{1}, i_{2}). Indication : Commencer par le cas n = 2.

Cours du 22 novembre

Lemme : Soient V un espace vectoriel de dimension finie, W un espace vectoriel et f : V → W une application linéaire. Soit v_{1}, …, v_{s}, v_{s+1}, …, v_{p} une base de V telle que v_{1}, …, v_{s} est une base du noyau de f. Alors f(v_{s+1}), …, f(v_{p}) est une base de l’image de f.

Remarque : Grâce au théorème de la base incomplète, on peut toujours trouver une base comme dans le lemme. Ainsi, on obtient le théorème du rang : dim ker(f) + dim im(f) = dim V.

Corollaire 3 : Soient A et B deux matrices n × p. Alors on a équivalence entre

(i) Il existe P ∈ Gl_{n}(k) tel que P A = B.

(ii) On peut transformer A en B par un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes.

(iv) EL(A) = EL(B).

(v) kerf_{A} = kerf_{B}.

5. La rg-équivalence

Théorème : Soiet A et B deux matrices n × p. On a équivalence entre

(i) Il existe une matrice inversible P ∈ Gl(n, k) et une matrice inversible Q ∈ Gl(p, k) telles que P AQ = B.

(ii) rgA = rgB.

(iii) On peu transformer A en B par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.

(iv) EC(EL(A)) = EC(EL(B)).

Solution des exercices II et III.

Cours du 29 novembre

Lemme : Soit f : E → F une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie. Alors E et F admettent des bases dans lesquelles la matrice de F est une matrice n × p comportant un bloc I_{r} en haut à gauche et des zéros ailleurs. Ici n = dim F, p = dim E, r = rgf.

Solution des exercices IV, V, VI, VII et VIII.