\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2004-2005 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} G{\'e}om{\'e}trie affine II\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}


\exo On consid{\`e}re une translation $t$ et une homoth{\'e}tie $h$ d'un espace affine. Identifier les applications $f_1=t \circ h \circ t$, $f_2=h^{-1}\circ t \circ h$ et $f_3=t \circ h \circ t^{-1}$.

\exo Soit $\cal E$ un espace affine de direction $E$. Trouver toutes les applications affines $f:{\cal E} \longrightarrow {\cal E}$ telles que pour tout ${u} \in E$, $t_{{u}} \circ f = f\circ t_{{u}}$.

\exo Montrer que l'ensemble compos{\'e} des translations et des sym{\'e}tries centrales d'un espace affine est un groupe pour la composition. Est-il commutatif?

\exo Soit $\cal E$ un espace affine et $G$ un sous-groupe fini du groupe affine de  $\cal E$. Montrer qu'il existe un point de $\cal E$ qui est fixe pour tous les {\'e}l{\'e}ments de $G$.

\exo Dans l'espace affine $\R^2$ muni du rep\`ere cart\'esien
$(O,e_1,e_2)$, on consid\`ere la droite ${\cal D}$ d'\'equation $2x+y-2=0$. Donner l'expression analytique de la sym\'etrie par rapport \`a ${\cal D}$ de direction $e_1+e_2$.

\exo Dans l'espace affine $\R^3$ muni du rep\`ere cart\'esien
$(O,e_1,e_2,e_3)$, on consid\`ere l'application affine $f$ d\'efinie
analytiquement par :$$
\left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{2}(y+z+3)\\ y'=\frac{1}{2}(y+z+5)\\
  z'=\frac{1}{2}(y+z+7) \end{array} \right.$$
On note $\vec f$ l'application lin\'eaire associ\'ee \`a $f$.
\qu Montrer que $\vec f$ est une projection (on pr\'ecisera ses
caract\'eristiques). $f$ est-elle une projection?
\qu Soit $t$ la translation de vecteur $(3,3,3)$. Identifier
l'application affine $f \circ t$.


\exo Soit $\cal E$ un espace affine r{\'e}el de direction $E$. On suppose
que $E=F \oplus D$ avec $D$ une droite vectorielle. Soit $\cal F$ un
sous-espace affine de $\cal E$ de direction $F$, et soit $p$ la
projection affine sur $\cal F$ parall{\`e}lement {\`a} $D$. Pour tout r{\'e}el
$k$, on d{\'e}finit $a_k(M)=p(M)+k(M-p(M))$ pour tout $M \in  \cal
E$. Montrer que $a_k$ est une application affine de $\cal E$ dans
$\cal E$ (on d\'eterminera en particulier son application lin\'eaire
associ\'ee). D{\'e}terminer l'ensemble de ses points fixes. ($a_k$ est appel{\'e}e l'{\it affinit{\'e} de direction $D$, d'hyperplan $\cal F$ et de rapport $k$})
\newpage
\exo Si $E$ est un espace vectoriel de dimension 2, un endomorphisme de $E$ est appel{\'e} {\it transvection vectorielle} s'il existe une base o{\`u} sa matrice est 
$\left(\begin{array}{cc}
1&\alpha\\
0&1
\end{array}\right)$ ($\alpha \neq 0$).\\
Soit maintenant $\cal E$ un plan affine de direction $E$ et $O$ un point de $\cal E$. On d{\'e}finit  $f:{\cal E} \longrightarrow {\cal E}$ par $f(M)=O+u(M-O)$ o{\`u} $u$ est une transvection vectorielle. 
\qu Montrer que $f$ est une bijection affine (appel{\'e}e {\it transvection affine}). D{\'e}terminer l'ensemble de ses points fixes.
\qu Soit $A$, $B$, $C$, $A'$ tels que $f(B)=B$,  $f(C)=C$ et $f(A)=A'$. Que peut-on dire de la droite $(AA')$? Construire {\`a} la r{\`e}gle $f(M)$ quand $M$ est un point quelconque du plan.
\qu Montrer que la compos{\'e}e  de deux sym{\'e}tries par rapport {\`a} une m{\^e}me droite est en g{\'e}n{\'e}ral une transvection. 

\exo Soit $X$ et $Y$ deux ensembles convexes d'un espace affine $\cal E$. D{\'e}montrer que l'ensemble $Z$ des milieux des segments qui joignent un point de $X$ {\`a} un point de $Y$ est convexe.

\exo {\it (Th\'eor\`eme de Lucas)} Soit $P(X)$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes de degr\'e $n$ admettant $n$ racines distinctes. Montrer que l'ensemble des racines de $P'(X)$ se trouve dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines de $P(X)$.\\
{\it Indication} : on pourra consid\'erer la d\'eriv\'ee logarithmique $P'(X)/P(X)$.


\end{document}