Université de Paris 7 2003-2004 CAPES: Ecrit

Algèbre linéaire I

Exercice I:

Calculer le rang des matrices suivantes (où m et α sont des paramètres complexes)

( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 5 & 5 & 4 \\ 1 & 8 & 5 \\ 2 & −2 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & −1 & 3 \\ m & 3 & −2 & 0 \\ −1 & 0 & −4 & 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & α & 0 & … & … & 0 \\ 0 & −1 & α & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & & & ... & −1 & α \\ α & 0 & … & … & 0 & −1 \end{matrix} ) .

Exercice II:

On considère un système d’équations linéaires à coefficients réels homogène à 3 équations et 5 inconnues.

1) Quelle peut être la dimension de l’espace des solutions ?

2) Donner un exemple de système d’équations pour chaque valeur possible de la dimension de l’espace des solutions.

Exercice III:

Mettre sous forme échelonnée par rapport aux lignes puis sous forme échelonnée réduite la matrice suivante :

A = ( \begin{matrix}6 & 3 & −1 \\ −4 & 1 & −6 \\ 1 & 2 & −5 \end{matrix} ) ,

puis résoudre le système

\{ \begin{matrix}6x + 3y − z & = & 2 \\ −4x + y − 6z & = & 0 \\ x + 2y − 5z & = & −1 \end{matrix}

Exercice IV:

On considère la matrice suivante :

B = ( \begin{matrix}0 & 1 & 3 & −2 \\ 2 & 1 & −4 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & −1 \end{matrix} ) ,

1) Mettre B sous forme échelonnée par rapport aux lignes.

2) A quelle condition sur Y le système BX = Y a-t-il une solution? En déduire une équation de l’espace vectoriel engendré par les colonnes de B.

Exercice V:

Soit S ⊂ ℝ^{4} le sous-espace engendré par les colonnes de la matrice

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ −1 & 3 & 3 & 1 \\ −2 & −1 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

Quelle est la dimension de S ? Combien d’équations faut-il pour caractériser S ? Donner un système d’équations homogène dont S est l’ensemble des solutions.

Exercice VI:

Ecrire la matrice ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & −1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{matrix} ) comme produit de matrices élémentaires.

Exercice VII:

Soit G l’ensemble des matrices triangulaires inférieures de M_{n}(𝕂) dont tous les termes diagonaux valent 1. Montrer que G est un sous-groupe de GL(n, 𝕂) engendré par les matrices élémentaires T_{ij}(λ) où i < j et λ ∈ 𝕂.

Exercice VIII:

Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?

1) A ∼ B ⇒ ^{t}A ∼ ^{t}B

2) A ∼ B ⇒ ∀λ ∈ 𝕂, λA ∼ λB

3) A ∼ I_{n} ⇒ A est inversible

4) A ∼ B, A, B inversibles ⇒ A^{−1} ∼ B^{−1}

5) A, B, A′, B′ ∈ M_{m,n}(𝕂) : A ∼ B, A′ ∼ B′ ⇒ A + A′ ∼ B + B′

6) A, B ∈ M_{m,n}(𝕂), A′, B′ ∈ M_{n,p}(𝕂) : A ∼ B, A′ ∼ B′ ⇒ AA′ ∼ BB′

7) A, B ∈ M_{n}(𝕂) : A ∼ B ⇒ A^{2} ∼ B^{2}

Exercice IX:

Pour cet exercice, on rappelle que toute matrice de rang r est équivalente à ( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ).

Montrer les affirmations suivantes :

1) Toute matrice carrée est somme de deux matrices inversibles.

2) GL(n, 𝕂) est dense dans M_{n}(𝕂).

3) Soit A, B ∈ M_{n}(𝕂), les polynômes caractéristiques de AB et de BA sont égaux.

4) Soit A ∈ M_{n}(𝕂) non inversible. Il existe B ∈ M_{n}(𝕂), B ≠ 0 telle que AB = BA = 0.

5) Soit A ∈ M_{n}(𝕂) non inversible, A ≠ 0. Il existe B ∈ M_{n}(𝕂) telle que AB = 0 et BA ≠ 0.

Exercice X:

Soit f : M_{n}(𝕂) → 𝕂 une fonction multiplicative (i.e. ∀A, B, f(AB) = f(A)f(B)). On suppose que f n’est ni la fonction nulle, ni la fonction constante égale à 1. On veut montrer que

f(A) = 0 ⟺ det(A) = 0.

1) Déterminer f(I_{n}) et f(0_{n}).

2) Montrer que f est non nulle sur les matrices inversibles.

3) Soit r ∈ {0, …, n − 1}. On considère le produit de toutes les matrices diagonales ayant chacune r fois le nombre 1 et n − r fois le nombre 0 sur la diagonale. Que vaut ce produit ? En déduire que f s’annule sur toutes les matrices de rang r. Conclure.