Université de Paris 7 2003-2004 CAPES: Ecrit

Algèbre linéaire II

Exercice I:

Résoudre le système

\{ \begin{matrix}ax + by + 2z & = & 1 \\ ax + (b − 1)y + z & = & −1 \\ ax + (b + 1)y + (b + 1)z & = & b + 1 \end{matrix}

Exercice II:

1) Déterminer la forme échelonnée réduite et le rang de la matrice B = (b_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ) définie par b_{ij} = (i − 1)n + j.

2) Déterminer le rang de la matrice F ∈ M_{n}(ℝ) dont les coefficients, donnés ligne par ligne, sont les n^{2} premiers termes de la suite de Fibonacci.

Exercice III:

1) Montrer que la matrice ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) est produit de matrices élémentaires de la forme T_{ij}(x)

et D_{i}(a).

2) Montrer que GL_{n}(𝕂) est engendré par les matrices élémentaires autres que les P_{ij}.

3) Soit A une matrice inversible. On fixe A = Q_{1} … Q_{k} une décomposition de A en produit de matrices élémentaires. Que vaut le déterminant de A?

4) Soit x un scalaire et a un scalaire inversible. Calculer D_{1}(a)T_{12}(x)D_{1}(a^{−1}). Montrer qu’il existe des matrices inversibles U et V telles que T_{12}(x) = UV U^{−1}V^{−1}.

5) Montrer la même affirmation pour T_{ij}(x) de taille nxn.

6) Montrer que pour tout homomorphisme f : GL_{n}(𝕂) → G, où G est un groupe commutatif, il existe un unique homomorphisme g : 𝕂^{∗} → G tel que f = g ∘ det.

Exercice IV:

Soit a et b deux réels distincts. On note pour 0 ≤ k ≤ n, P_{k} = (X − a)^{k}(X − b)^{n−k}. Montrer que (P_{0}, ⋯, P_{n}) est une base de ℝ_{n}[X].

Exercice V:

Soit A ∈ M_{3}(𝕂). Rappeler la base canonique de M_{3}(𝕂). Quelles sont les matrices de L_{A} : B ⟼ AB et R_{A} : B ⟼ BA dans cette base ? Même question pour une matrice de M_{n}(𝕂) (on se contentera de décrire le résultat).

Exercice VI:

On note ℝ^{ℕ} l’espace vectoriel des suites réelles. Soit E = {(u_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} | ∀n ∈ ℕ, 2u_{n+3} + u_{n+2} − 5u_{n+1} + 2u_{n} = 0}.

1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℝ^{ℕ}.

2) Soit φ : E → ℝ^{3} l’application qui à une suite (u_{n})_{n∈ℕ} associe le triplet (u_{0}, u_{1}, u_{2}). Montrer que φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En déduire la dimension de E.

3) Déterminer toutes les suites géométriques appartenant à E. En déduire une base de E.

4) Déterminer l’élément (u_{n})_{n∈ℕ} de E vérifiant u_{0} = 0 et u_{1} = u_{2} = 1.

5) Soit F = {(u_{n})_{n∈ℕ} ∈ E | u_{0} = 0}. Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de E et en donner une base.

Exercice VII:

Soit F = {P ∈ ℝ_{3}[X] | P (1) = P′(1) = 0} et G = {P ∈ ℝ_{3}[X] | deg P ≤ 1}.

1) Montrer que ℝ_{3}[X] = F ⊕ G.

2) Donner une méthode pour trouver la décomposition de tout polynôme P ∈ ℝ_{3}[X] suivant cette somme directe.

Exercice VIII:

On considère les sous-espaces vectoriels de ℝ^{ℕ}: E_{1} = {(x_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} | ∀n ∈ ℕ, x_{n+3} − 6x_{n} = 2x_{n+2} + x_{n+1}}, E_{2} = {(x_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} | ∀n ∈ ℕ, x_{n+1} − 3x_{n} = 0}, E_{3} = {(x_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} | ∀n ∈ ℕ, x_{n+2} + x_{n+1} + 2x_{n} = 0}.

1) Quelles sont leurs dimensions?

2) Montrer que E_{1} = E_{2} ⊕ E_{3}.

Exercice IX:

Soit F(ℝ, ℝ) l’espace vectoriel des fonctions de ℝ dans ℝ.

1) On considère les sous-espaces vectoriels suivants de F(ℝ, ℝ) : U = V ect(1, cos 2x, cos 4x), V = V ect(1, cos^{2} x) et W = V ect(cos^{4} x). Montrer que U = V ⊕ W.

2) Soit P = {f ∈ F(ℝ, ℝ) | f paire} et I = {f ∈ F(ℝ, ℝ) | f impaire}. Montrer que F(ℝ, ℝ) = P ⊕ I.

Exercice X:

Soit E = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y + z = 0} et F = V ect(1, 1, 2).

1) Donner une base de E.

2) Montrer que ℝ^{3} = E ⊕ F.

3) Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur E parallèlement à F.

4) Donner la matrice dans la base canonique de la symétrie par rapport à E parallèlement à F.