\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\usepackage{t1enc}
%\usepackage{isolatin1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
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\addtolength{\textwidth}{\elargir}
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\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2003-2004 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} G{\'e}om{\'e}trie affine I\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}


\exo Montrer que ${\cal F}=\left\{ \footnotesize \left(\begin{array}{cc} 1+2a-b&0\\ 2-a-b&a-b
  \end{array} \right) \ , \ (a,b) \in \R^2 \right\}$ est un sous-espace affine de ${\cal M}_2(\R)$.

\exo Montrer que ${\cal F}=\left\{  f \in \R^{\R} \ | \ \forall x \in \R, \ f(x+1)=f(x)+1 \right\}$ est un sous-espace affine de $\R^{\R}$. En d{\'e}terminer un point et la direction.

\exo Soit ${\cal E}$ un espace affine r{\'e}el de dimension 3, muni d'un rep{\`e}re cart{\'e}sien $(O;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$. Soit les points
$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\quad
B\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right),\quad
C\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right),$$
les droites
$$d_1\left\{\begin{array}{rcl}x&=&3-\lambda\\ y&=&1+2\lambda\\ z&=&-1+\lambda\end{array}\right.\ ,\lambda\in\R,\quad
d_2\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1+3\mu\\ y&=&-2\mu\\ z&=&3+5\mu\end{array}\right.\ ,\mu\in\R,$$
les plans
$$(P_1)\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&1-2\lambda+3\mu\\
y&=&-2+\lambda+\mu\\
z&=&4-\lambda-2\mu\end{array}\right.\ ,(\lambda,\mu)\in\R^2,\quad
(P_2)\ 2x-y+3z-1=0,\quad (P_3)\ x+2z-4=0.$$
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne de $P_1$.
\qu D{\'e}terminer une repr{\'e}sentation param{\'e}trique de $P_2\cap P_3$.
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne du plan contenant $A$, $B$ et $C$.
\qu D{\'e}terminer l'intersection de $d_1$ et de $P_2$.
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne du plan $Q$ contenant $d_1$ et
parall{\`e}le {\`a} $d_2$.
\qu D{\'e}terminer $P_1\cap P_2\cap P_3$.
\qu D{\'e}terminer l'intersection de $P_2$ avec la droite $(AB)$.
\qu Donner une repr{\'e}sentation param{\'e}trique de la droite passant par $A$,
parall{\`e}le {\`a} $P_2$ et coupant $d_1$.
\qu Donner une {\'e}quation cart{\'e}sienne du plan passant par $C$ et contenant $d_1$.

\exo
Soit $\cal E$ un plan affine muni d'un rep\`ere cart\'esien.
Pour un point $P$, on note $x_P, y_P$ ses coordonn\'ees. Montrer que trois
points $P,Q,R$ sont align\'es si et seulement si
\[
\det\left(\begin{array}{ccc}
x_P & y_P & 1 \\
x_Q & y_Q & 1 \\
x_R & y_R & 1
\end{array} \right) =0.
\]
\newpage
{\em Dans tous les exercices qui suivent, on se place dans un plan affine ${\cal P}$ muni d'un rep{\`e}re affine $(A,B,C)$.}

\exo Soit $P$, $Q$ et $R$ des points de $\cal P$ de coordonn{\'e}es barycentriques
respectives $(\alpha_P,\beta_P,\gamma_P)$, $(\alpha_Q,\beta_Q,\gamma_Q)$ et 
$(\alpha_R,\beta_R,\gamma_R)$. D{\'e}montrer que $P$, $Q$ et $R$ sont align{\'e}s si et seulement si
$\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_P&\beta_P&\gamma_P\\
\alpha_Q&\beta_Q&\gamma_Q\\
\alpha_R&\beta_R&\gamma_R
\end{array}\right|=0.$\\
En d{\'e}duire l'{\'e}quation en coordonn{\'e}es barycentriques d'une droite $(QR)$ (avec $Q\neq R$).

\exo Soit
$(\alpha,\beta,\gamma)$ un syst{\`e}me de coordonn{\'e}es barycentriques d'un
point $M$ de $\cal P$. Trouver une condition n{\'e}cessaire et suffisante liant
$\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ pour que~:
\qu le point $M$ appartienne {\`a} la droite $(AB)$;
\qu le point $M$ appartienne {\`a} la m{\'e}diane issue de $B$ du triangle $ABC$;
\qu le point $M$ soit sur la parall{\`e}le {\`a} la droite $(BC)$ men{\'e}e par le
milieu du segment $[AB]$.

\exo Soit des points $L,M,N$ qui
se trouvent sur les droites $(AB), (BC), (CA)$ respectivement et sont distincts
de $A,B,C$. Montrer que $L,M,N$ sont align\'es si et seulement si
\[
\frac{\overline{LA}}{\overline{LB}}
\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}
\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}
=1.
\]

\exo Soit $M$ un point de $\cal P$. On d{\'e}signe respectivement par $P$, $Q$ et $R$ les
sym{\'e}triques de $M$ par rapport aux milieux des c{\^o}t{\'e}s $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$.
On note $G$ et $K$ les centres de gravit{\'e} respectifs des triangles $ABC$ et
$PQR$.
\qu Montrer que $\vec{MK}=2\vec{MG}$.
\qu Montrer que les milieux des segments $[AP]$, $[BQ]$ et $[CR]$ sont confondus en un point $L$. Montrer que $L$ est le milieu de $[GK]$.

\exo Soit $M$ un point tel que les droites $(AM)$, $(BM)$ et $(CM)$ rencontrent respectivement $(CB)$, $(AC)$ et $(AB)$ en $A'$, $B'$ et $C'$. On note $K$ le sym\'etrique  de $A'$ par rapport \`a $(AB)$ parall\`element \`a $(CC')$ et $I$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et $(A'K)$. Soit $(\alpha,\beta,\gamma)$ les coordonnées barycentriques de $M$ dans le rep\`ere affine $(A,B,C)$.
\qu Exprimer les coordonnées barycentriques de $A'$, $B'$ et $C'$ puis celles de $I$ et de $K$.
\qu Que peut-on dire de $K$, $C'$ et $B'$?

\exo
\newcommand{\aire}{{\rm Aire}\,}
Soit $P$, $Q$ et $R$ des points de $\cal P$ de coordonnées barycentriques
respectives $(\alpha_P,\beta_P,\gamma_P)$, $(\alpha_Q,\beta_Q,\gamma_Q)$ et 
$(\alpha_R,\beta_R,\gamma_R)$.
On définit {\em l'aire algébrique}
du triangle $PQR$ (éventuellement dégénéré) par l'égalité
$$\aire(PQR)=\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_P&\beta_P&\gamma_P\\
\alpha_Q&\beta_Q&\gamma_Q\\
\alpha_R&\beta_R&\gamma_R
\end{array}\right|.$$
\qu Montrer que, pour deux triangles $PQR$ et $P'Q'R'$,
le rapport $\frac{\aire(PQR)}{\aire(P'Q'R')}$ ne dépend pas du choix du repère $(A,B,C)$.
\qu Montrer que les coordonnées d'un point $S$ dans un repère $(P,Q,R)$ sont données par les
rapports
$$\frac{\aire(SQR)}{\aire(PQR)},\quad\frac{\aire(PSR)}{\aire(PQR)},\quad
\frac{\aire(PQS)}{\aire(PQR)}.$$

















\end{document}