Université de Paris 7 2003-2004 CAPES: Ecrit

Formes quadratiques, Espaces vectoriels euclidiens

Exercice I:

1) On considère la forme quadratique q : ℝ^{3} ⟶ ℝ définie par q(x, y, z) = x^{2} + 2xy + 2yz + 2xz Quelle est la signature de q ? Déterminer une base q-orthogonale de ℝ^{3}.

2) Mêmes questions pour la forme quadratique q(x, y, z, t) = xy + 2xz + 2xt + yz + 4yt + 2zt sur ℝ^{4}.

3) Quelle est la signature de la forme quadratique sur ℝ^{2n} de matrice ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} )?

Exercice II:

Soit (E, ∥.∥) un espace vectoriel euclidien de dimension n et une application f : E ⟶ E telle que f(0) = 0 qui conserve les distances (i.e. ∀x, y ∈ E, ∥f(x) − f(y)∥ = ∥x − y∥).

1) Montrer que f conserve la norme, puis le produit scalaire (noté < ., . >).

2) Soit α, β ∈ ℝ, x, y ∈ E. On pose z = f(αx + βy) − αf(x) − βf(y). Calculer < z, f(t) > pour tout t ∈ E, puis < z, z >. En déduire que f est linéaire (f est donc une isométrie vectorielle).

Exercice III:

Dans l’espace euclidien ℝ^{4} usuel, on considère l’hyperplan H d’équation x − 2y + 4z + 2t = 0 et p la projection orthogonale sur H.

1) Calculer ∥u − p(u)∥ pour tout u ∈ ℝ^{4}.

2) Déterminer la matrice de p dans la base canonique de ℝ^{4}.

Exercice IV:

On munit E = ℝ_{2}[X] du produit scalaire φ(P, Q) = ∫_{−1}^{1} P (t)Q(t)dt. Déterminer la base orthonormée de E obtenue à partir de la base canonique par le procédé de Gram-Schmidt.

Exercice V:

1) Soit a, b, c trois vecteurs de ℝ^{3}. Montrer que (a ∧ b) ∧ c = −(c · b)a + (c · a)b.

2) Soit u, v, w trois vecteurs de ℝ^{3}. Calculer det(u ∧ v, v ∧ w, w ∧ u) en fonction de det(u, v, w).

Exercice VI:

Soit E un espace euclidien de dimension n, (x_{i})_{i=1,...,p} une famille de vecteurs de E. On appelle Gram(x_{1}, ..., x_{p}) le déterminant de la matrice (x_{i}|x_{j}).

1) Montrer que Gram(x_{1}, ..., x_{p}) = 0 si et seulement si la famille (x_{i})_{i=1,...,p} est liée.

2) Soit F un sous-espace vectoriel de E, et a ∈ E. On appelle distance de a à F : d(a, F) =inf_{x∈F} ||x − a||.

Montrer que si x_{1}, ..., x_{p} est une base de F, alors d(a, F)^{2} = \frac{Gram(a, x_{1}, ..., x_{p})}{Gram(x_{1}, ..., x_{p})}.

3) Moindres carrés : Soit une matrice A ∈ M_{n,p}(ℝ) avec p ≤ n, telle que rg(A) = p, et soit B ∈ M_{n,1}(ℝ). Expliquer

comment calculer inf_{X∈M_{1,p}(ℝ)} ||AX − B||^{2}.

4) Soit (a_{1}, ..., a_{n}) une base de E, et (b_{1}, ..., b_{n}) la base orthonormée de E construite à partir de (a_{1}, ..., a_{n}) par orthonormalisation de Gram-Schmidt. On note A la matrice de passage de (b_{i}) à (a_{i}).

a) Calculer ^{t}AA. Comparer det A et Gram(a_{1}, ..., a_{n})
b) Interpréter géométriquement Gram(a_{1}, ..., a_{n}).

Exercice VII:

Soit n ∈ ℕ^{∗}, E un espace vectoriel euclidien de dimension n et f ∈ O(E). On veut montrer qu’il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f est de la forme

( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & −1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & −1 \\ & & & & & & & & & & cos θ_{1} & − sin θ_{1} \\ & & & & & & & & & & sin θ_{1} & cos θ_{1} \\ & & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & & cos θ_{k} & − sin θ_{k} \\ & & & & & & & & & & & & & & & sin θ_{k} & cos θ_{k} \end{matrix} ) ,

où θ_{1}, …, θ_{k} sont des nombres réels.

1) a) Montrer que si le polynôme caractéristique de f admet une racine réelle, alors il existe une droite vectorielle de E qui est stable par f.

b) On suppose que le polynôme caractéristique de f n’admet pas de racine réelle. Soit B une base de E et A la matrice de f dans cette base. On peut considérer A comme un élément de M_{n}(ℂ). Soit λ une valeur propre (complexe) de A et Z un vecteur propre associé. On écrit Z = U + iV où U et V sont des vecteurs colonnes réels. Montrer que les vecteurs AU et AV sont combinaisons linéaires réelles de U et V.

c) En déduire qu’il existe un sous-espace de E de dimension 1 ou 2 qui est stable par f.

2) Montrer que si un sous-espace F de E est stable par f alors F^{⊥} l’est aussi.

3) On suppose n = 2.

a) Montrer que si det f = 1 alors il existe θ ∈ ℝ tel que dans toute base orthonormée de E

la matrice de f est ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ).

b) Montrer que si det f = −1 alors il existe une base orthonormée de E dans laquelle la

matrice de f est ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ).

4) Montrer le résultat par récurrence sur n.

Exercice VIII:

Soit E un plan vectoriel euclidien, u et u′ deux vecteurs unitaires non colinéaires de E et D et D′ les droites vectorielles qu’ils engendrent. On désigne par B_{i} la droite vectorielle engendrée par u+u′ (bissectrice intérieure) et par B_{e} celle engendrée par u−u′ (bissectrice extérieure). Démontrer que :

1) B_{i} et B_{e} sont orthogonales.

2) La symétrie orthogonale d’axe B_{i} échange D et D′.

3) B_{i} ∪ B_{e} est l’ensemble des vecteurs de E équidistants de D et D′.

4) B_{i} est l’ensemble des vecteurs v de E vérifiant û, v = v̂, u′.

Exercice IX:

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n.

1) Soit f ∈ L(E) qui commute avec toutes les symétries orthogonales. Montrer que f est une homothétie.

2) Déterminer le centre de O(E).

3) Déterminer le centre de SO(E) (distinguer suivant la parité de n).