\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

\def\matii#1#2#3#4{{\left( \begin{array}{cc}
          #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{array}  \right)}}

\def\matiii#1#2#3#4#5#6#7#8#9{{\left( \begin{array}{ccc}
          #1 & #2 & #3 \\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9 \end{array}
          \right)}}

\def\vecteur#1#2{{\scriptstyle{\left( \!\! \begin{array}{c}
          #1 \\ #2 \end{array} \!\! \right)}}}
\def\vect#1{{\overrightarrow{#1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\t#1{{{^t}#1}}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2003-2004 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Espaces vectoriels euclidiens
 \hspace{1cm}} 
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}

%$^{^{-w_o}}\!G$

\exo  Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension 3.
\qu Montrer que toute rotation est le produit de deux
r{\'e}flexions. Montrer que toute isom{\'e}trie {\`a} point fixe unique est
produit de trois r{\'e}flexions. En d{\'e}duire que $O(E)$ est engendr{\'e}
par les r{\'e}flexions.
\qu Montrer que toute rotation est produit de deux retournements. En
d{\'e}duire que $SO(E)$ est engendr{\'e}
par les retournements.

\exo Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$. 
\qu Soit $u$ et $v$ deux vecteurs de $E$ distincts et de m{\^e}me
norme. Montrer qu'il existe une unique r{\'e}flexion qui {\'e}change $u$
et $v$.
\qu Montrer que toute isom{\'e}trie  de $E$ dont l'ensemble des
points fixes est de dimension $l$ est produit de $n-l$
r{\'e}flexions.\\
{\it Indication} : r{\'e}currence sur $p=n-l$. 

\exo Soit $R$ une rotation de $\R^3$ d'axe $\R u$ et d'angle $\theta \in
\R$. Soit $f$ une isom{\'e}trie quelconque de $\R^3$. D{\'e}terminer $f \circ R 
\circ f^{-1}$. En d{\'e}duire le centre de $SO_3(\R)$.

\exo  Soit $E$ un espace vectoriel euclidien orient{\'e} de dimension
3. Soit $f$ un endomorphisme non nul de $E$. Montrer que $f$ est une
rotation si et seulement si pour tout $(u,v) \in E^2$, $f(u \wedge
v)=f(u) \wedge f(v)$.

\exo D{\'e}terminer la matrice dans la base canonique de $\R^3$ du retournement
d'axe $\R (1,2,1)$.



\exo Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension 3. On consid{\`e}re les
transformations g{\'e}om{\'e}triques $f$, $g$ et $h$ de $E$ dont les matrices
respectives dans la base canonique sont
$$A = \frac13 \matiii{-1}{2}{2}{2}{-1}{2}{2}{2}{-1} \qquad B =
\matiii{0}{0}{-1}{-1}{0}{0}{0}{1}{0} \qquad C = \frac14
\matiii{3}{1}{\sqrt{6}}{1}{3}{-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}}{\sqrt{6}}{2}.$$
Reconna{\^\i}tre $f$, $g$ et $h$ et donner leurs {\'e}l{\'e}ments 
caract{\'e}ristiques.

\exo Dans un plan vectoriel euclidien orient{\'e}, soit $\rho$ la rotation d'angle
$2\pi/n$, $u$ un vecteur unitaire, $\sigma$ la sym{\'e}trie par rapport
{\`a} $Vect (u)$. On pose pour tout $i \in \{0,\ldots ,n-1 \}$, $P_i=\rho^i(u)$.
On appelle $D_n$ le groupe des isom{\'e}tries qui envoient le polygone
r{\'e}gulier $P_0P_1\ldots P_{n-1}$ sur lui-m{\^e}me.
\qu Montrer tout {\'e}l{\'e}ment de $D_n$ est de la forme $\rho^i$ ou
$\rho^i \sigma$ pour un $i \in \{0,\ldots n-1\}$. D{\'e}crire
g{\'e}om{\'e}triquement ces {\'e}l{\'e}ments. Quel est l'ordre de $D_n$?
\qu Expliciter le produit de deux {\'e}l{\'e}ments quelconques de $D_n$.


\exo Dans l'espace $\R^3$, on consid{\`e}re le cube dont les sommets ont
des coordonn{\'e}es {\'e}gales {\`a} $\pm 1$. On appelle $A_{1}$, $B_{1}$,
$C_{1}$ et $D_{1}$ les quatre sommets d'une face du cube et $A_{2}$, $B_{2}$,
$C_{2}$ et $D_{2}$ les sommets oppos{\'e}s (sym{\'e}triques par rapport a
$0$). On appelle $H$ le groupe des isom{\'e}tries vectorielles de
$\R^3$ qui envoient le cube sur lui-m{\^e}me.
\qu Montrer que tout {\'e}l{\'e}ment de $H$ permute les paires de sommets
oppos{\'e}s. En d{\'e}duire un homomorphisme $\Phi$ de $H$ dans ${\cal
  S}_4$.
\qu D{\'e}terminer le noyau de $\Phi$.
\qu Soit $H^+$ le sous-ensemble des d{\'e}placements de $H$. Montrer que
$H^+$ est un sous-groupe de $H$. Quelle est l'image par $\Phi$ des
retournements d'axe passant par les milieux des c{\^o}t{\'e}s oppos{\'e}s du
cube? En d{\'e}duire que la restriction de $\Phi$ {\`a} $H^+$ est
surjective, puis montrer que c'est un isomorphisme.
\qu Quel est l'ordre de $H^+$? D{\'e}crire tous ses {\'e}l{\'e}ments.
\qu On consid{\`e}re l'application $\lambda:H^+ \times \Z/2\Z
\rightarrow H$ d{\'e}finie par $\left\{ \begin{array}{l}  \lambda
    (f,0)=f\\ \lambda (f,1)=-id \circ f \end{array} \right.$ Montrer
que $\lambda$ est un isomorphisme de groupes. En d{\'e}duire que $H$ est
isomorphe {\`a} ${\cal S}_4 \times  \Z/2\Z$.

\exo Soit $G$ un sous-groupe distingu{\'e} du groupe sp{\'e}cial orthogonal
$SO_3(\R)$. On suppose que $G$ n'est pas trivial.
  \qu Soit $f \in G - \{ {\rm{id}}_E \}$.
    \squ Pour tout $n \in \N$, on note $\theta_n$ la mesure dans $[-\pi, \pi]$ de
         l'angle de la rotation $f^{2^n}$. Montrer que si $\cos \theta_n \ge 0$ 
         pour tout $n \in \N$, alors $\theta_0 = 0$.
    \squ D{\'e}duire qu'il existe une rotation $g \in G$ d'angle $\theta$ 
         telle que $\cos \theta < 0$.
    \squ Montrer qu'il existe $\vect{x} \in E \setminus \{ 0 \}$ tel que
         $\vect{x}$ et $g(\vect{x})$ soient orthogonaux.
    \squ On note $\rho$ le retournement autour de $\R \vect{x}$ et $r = \rho 
         \circ g \circ \rho \circ g^{-1}$. Etablir que $r$ est un retournement 
         et que $r \in G$. 

On a ainsi prouv{\'e} que $G$ contient au moins un retournement.

  \qu Soit $s$ un retournement de $E$ autre que $r$. On note $\vect{u}$
      (resp. $\vect{v}$) un vecteur directeur norm{\'e} de l'axe du retournement 
      $r$ (resp. $s$).
    \squ Montrer qu'il existe un retournement $\sigma$ tel que $\sigma(\vect{u}) 
         = \vect{v}$ et $\sigma(\vect{v}) = \vect{u}$.
    \squ Etablir $s = \sigma \circ r \circ \sigma^{-1}$.
    \squ En d{\'e}duire que $G$ contient tous les retournements de $E$, puis que
         $G = SO_3(\R)$.

On a ainsi prouv{\'e} que $SO_3(\R)$ est un groupe simple.




\end{document}