\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{t1enc}
%\usepackage{isolatin1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{10\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2003-2004 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Arithm\'etique \hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}


\exo On s'int\'eresse au sous-groupe ${\Bbb Z}^2 
\subset {\Bbb R}^2.$ Deux points $A,B \in {\Bbb R}^2$
sont dits visibles l'un de l'autre si le segment ouvert $]A,B[$ ne 
contient aucun point de  ${\Bbb Z}^2$ :
$]A,B[ \,\cap \,{\Bbb Z}^2 = \emptyset.$ 
\qu Montrer que les 
points $A=(a,a')\in {\Bbb Z}^2$ visibles de l'origine
sont ceux pour lesquels
$a$ et
$a'$ sont premiers entre eux.
\qu
Etant donn\'es deux points $A,B\in {\Bbb R}^2$ non align\'es 
avec l'origine, montrer que le
nombre $det(\overrightarrow {OA},
\overrightarrow {OB})$ est \'egal \`a l'aire alg\'ebrique du 
parall\'elogramme de sommets $O,A,B, O+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}$. En particulier,
ce nombre est un entier lorsque $A,B \in {\Bbb Z}^2 .$ 
\qu
On suppose les points  $A,B \in {\Bbb Z}^2 $ visibles depuis $O$ 
et non align\'es. Montrer que l'entier naturel
$|det(\overrightarrow {OA},
\overrightarrow {OB})|$ est \'egal au nombre de points de ${\Bbb Z}^2 
$ situ\'es \`a l'int\'erieur du
parall\'elogramme de sommets $O,A,B, O+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}$.\
\qu
Si le point $ A = (a,a')\in {\Bbb Z}^2 $ est visible depuis $O$, 
d\'ecrire g\'eom\'etriquement les points $M=(m,m')
\in {\Bbb Z}^2 $ v\'erifiant la relation de B\'ezout $am'-ma' =  \pm 1.$
\qu On appelle $(i,j)$ la base canonique de l'espace vectoriel ${\Bbb R}^2$. D\'emontrer qu'il existe un point $A \in \N^* \times \N^*$ tel qu'aucun des quatre points $A$, $A+i$, $A+j$, $A+i+j$ ne soit visible de l'origine.


\exo Soient $a,b$ deux entiers, avec $a\geq b\geq 1 $. 
On consid\`ere un rectangle de c\^ot\'es $a,b$
   quadrill\'e en $ab$ carr\'es \'egaux.
Partant d'un coin du rectangle, on trace la bissectrice en
ce coin jusqu'\`a\ ce qu'on rencontre un c\^ot\'e du rectangle. Si le 
rectangle n'est pas un carr\'e, on continue
dedans par r\'eflexion sur ce c\^ot\'e, etc... V\'erifier l'assertion 
suivante : pour que tous les petits carr\'es
soient parcourus,  il faut et il suffit que $a$ et $b$ soient 
premiers entre eux.

\exo 
\qu Soit $a$ un entier, $a>2$. Montrer que pour $n>1$, $a^n-1$ n'est
   pas premier.
\qu  Montrer que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier.


\exo
On d\'efinit pour tout $n \in {\Bbb N}$, $F_n=2^{2^n}+1$.
\qu Montrer que si $2^n+1$ est un nombre premier, $n$ est une 
puissance de $2$.
\qu Montrer que $5\times2^7+1$ divise $5^4\times2^{28}-1$ et que
   $5^4+2^4$ divise $5^4\times2^{28}+2^{32}$. En d\'eduire que 641 divise $F_5$.
\qu Montrer que pour tout couple $(m,n)$ d'entiers distincts $F_n$
   et $F_m$ sont premiers entre eux. (On pourra supposer que $n>m$ et 
utiliser l'identit\'e
$2^{2^n}+1=(2^{2^m})^{2^{n-m}}-(-1)^{2^{n-m}}+2$.)

\exo D\'eterminer les entiers $n$ v\'erifiant les syst\`emes de congruences.
\qu $n\equiv 3\pmod{37}$ et $n\equiv 4\pmod{52}$.
\qu $n\equiv 21\pmod{12}$ et $n\equiv12\pmod{21}$.
\qu $n\equiv 2\pmod{2}$, $n\equiv3\pmod3$ et $n\equiv4\pmod4$.
\newpage
\exo On veut d\'emontrer que tout entier $N$ positif dont l'\'ecriture en base 10 se termine par 1,3,7 ou 9 a un multiple qui ne s'\'ecrit qu'avec des 1.
\qu V\'erifier la propri\'et\'e pour $N=3$ puis pour $N=7$.
\qu Ecrire un nombre qui ne s'\'ecrit qu'avec des 1 comme la somme d'une progression g\'eom\'etrique.
\qu Utiliser l'indicateur d'Euler pour donner une solution du probl\`eme.
\qu En d\'eduire qu'en base 10, tout entier $N \in \N$ a un multiple qui ne s'\'ecrit qu'avec des 1 au d\'ebut et des 0 \`a la fin.

\exo Soit $n$ un entier au moins \'egal \`a 2. Montrer que $(n-1)!$ est congru $mod$ $n$ \`a :\\
\centerline {a) -1 si $n$ est premier, \hspace{1cm} b) 2 si $n=4$, \hspace{1cm} c) 0 sinon.}

\exo 
\qu Quel est le dernier chiffre de $7777^{7777}$?
\qu Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $900^{2000}$ et de $101^{102^{103}}$ par 13?
\qu  Quel est le reste de la division euclidienne de $31^{32^{33}}$ par 7?
\qu  Quel est le reste de la division euclidienne de $100^{100^{100}}$ par 12?

\exo R{\'e}soudre les {\'e}quations suivantes :
\qu $x^5 \equiv 1 \pmod {3}$
\qu  $x^3 \equiv 1 \pmod {7}$
\qu  $x^4 \equiv 1 \pmod {17}$
\qu  $1+x+...+x^4 \equiv 0 \pmod {31}$

\exo \qu R{\'e}soudre l'{\'e}quation $x^2+4x-1=0$ dans ${\Bbb Z}/11{\Bbb Z}$.
\qu Montrer que l'{\'e}quation $x^2+5x+2=0$
  n'a pas de solution dans ${\Bbb Z}/11{\Bbb Z}$.
\qu R{\'e}soudre l'{\'e}quation $x^2+6x-13=0$ dans
  ${\Bbb Z}/21{\Bbb Z}$.
\qu R{\'e}soudre l'{\'e}quation $x^2+3x+2=0$ dans ${\Bbb Z}/6{\Bbb Z}$.
\qu  R{\'e}soudre l'{\'e}quation $x^2+4x+6=0$ dans ${\Bbb Z}/9{\Bbb Z}$. 
\end{document}