Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Algèbre linéaire II

Exercice I:

Soit A ∈ M_{3}(𝕂). Rappeler la base canonique de M_{3}(𝕂). Quelles sont les matrices de L_{A} : B ⟼ AB et R_{A} : B ⟼ BA dans cette base ? Même question pour une matrice de M_{n}(𝕂) (on se contentera de décrire le résultat).

Exercice II:

Soit F = {P ∈ ℝ_{3}[X] | P (1) = P′(1) = 0} et G = {P ∈ ℝ_{3}[X] | deg P ≤ 1}.

1) Montrer que ℝ_{3}[X] = F ⊕ G.

2) Donner une méthode pour trouver la décomposition de tout polynôme P ∈ ℝ_{3}[X] suivant cette somme directe.

Exercice III:

On considère les sous espaces vectoriels de ℝ^{ℕ}: E_{1} = {(x_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} | ∀n ∈ ℕ, x_{n+3} − 6x_{n} = 2x_{n+2} + x_{n+1}}, E_{2} = {(x_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} | ∀n ∈ ℕ, x_{n+1} − 3x_{n} = 0}, E_{3} = {(x_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} | ∀n ∈ ℕ, x_{n+2} + x_{n+1} + 2x_{n} = 0}.

1) Quelles sont leurs dimensions?

2) Montrer que E_{1} = E_{2} ⊕ E_{3}.

Exercice IV:

Soit F(ℝ, ℝ) l’espace vectoriel des fonctions de ℝ dans ℝ.

1) On considère les sous-espaces vectoriels suivants de F(ℝ, ℝ) : U = V ect(1, cos 2x, cos 4x), V = V ect(1, cos^{2} x) et W = V ect(cos^{4} x). Montrer que U = V ⊕ W.

2) Soit P = {f ∈ F(ℝ, ℝ) | f paire} et I = {f ∈ F(ℝ, ℝ) | f impaire}. Montrer que F(ℝ, ℝ) = P ⊕ I.

Exercice V:

Soit E un 𝕂-espace vectoriel et A et B des sous-espaces vectoriels de E. On définit H = {f ∈ L(E) | ker f = A et Imf = B}. Montrer que (H, ∘) est un groupe si et seulement si E = A ⊕ B.

Exercice VI:

Soit E = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y + z = 0} et F = V ect(1, 1, 2).

1) Donner une base de E.

2) Montrer que ℝ^{3} = E ⊕ F.

3) Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur E parallèlement à F.

4) Donner la matrice dans la base canonique de la symétrie par rapport à E parallèlement à F.

Exercice VII:

Soit f : ℝ^{3} ⟶ ℝ une forme linéaire et v un vecteur de ℝ^{3} tel que f(v) ≠ 0. Soit P = ker f et D = V ect(v).

1) Montrer que l’application x ⟼ x − \frac{f(x)}{f(v)}v est la projection sur P parallèlement à D.

2) Montrer que l’application x ⟼ x − 2\frac{f(x)}{f(v)}v est la symétrie par rapport à P parallèlement

à D.

Exercice VIII:

(Exercices du cours) Soit E un 𝕂-espace vectoriel.

1) Soit s ∈ L(E) tel que s^{2} = id. Montrer que s est la symétrie par rapport à ker(s − id) parallèlement à ker(s + id).

2) Soit p ∈ L(E) un projecteur et L_{p} : L(E) ⟶ L(E) l’application définie par L_{p}(g) = p ∘ g. a) Montrer que L_{p} est un projecteur.

b) Décrire son image et son noyau.

Exercice IX:

Soit s : ℝ_{n}[X] ⟶ ℝ_{n}[X] l’application définie par s(P) = P (1 − X).

1) Montrer que s est une symétrie.

2) Déterminer les espaces ker(s − id) et ker(s + id).

3) Donner la matrice de s dans la base canonique.

4) Donner une base de ℝ_{n}[X] adaptée à la décomposition de ℝ_{n}[X] en somme directe de ker(s − id) et ker(s + id).

Exercice X:

Soit E un 𝕂-espace vectoriel et p et q des projecteurs de L(E) tels que p ∘ q = 0. Montrer que r = p + q − q ∘ p est un projecteur et que ker r = ker p ∩ ker q et Imr = Imp ⊕ Imq.