Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Algèbre linéaire III

Exercice I:

Soit n ∈ ℕ^{∗} et a_{0}, …, a_{n}, n réels distincts deux à deux. On considère l’application φ de ℝ_{n}[X] dans ℝ^{n+1} définie par φ(P) = (P (a_{0}), …, P (a_{n})).

1) Montrer que φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

2) Déterminer l’image par φ^{−1} de la base canonique de ℝ^{n+1}. On notera L_{i} = φ^{−1}(e_{i}) où e_{i} est le i-ième vecteur de la base canonique de ℝ^{n+1}. Justifier pourquoi (L_{i})_{i=0,...,n} est une base de ℝ_{n}[X].

3) En déduire que pour tout (α_{0}, …, α_{n}) ∈ ℝ^{n+1}, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à n tel que pour tout i ∈ {0, …, n}, P (a_{i}) = α_{i}. Expliciter ce polynôme dans la base (L_{i})_{i=0,...,n}.

4) Application : déterminer l’unique polynôme de degré inférieur où égal à 2 tel que P (−1) = 1, P (1) = −5 et P (2) = \sqrt{2}.

Exercice II:

Soit E un 𝕂-espace vectoriel et soit u un endomorphisme de E tel que pour tout v ∈ L(E), u ∘ v = v ∘ u. Montrer qu’il existe λ ∈ 𝕂 tel que u = λid_{E}.

Exercice III:

Soit E un 𝕂-espace vectoriel et soit u et v deux endomorphismes de E qui commutent.

1) Montrer que les espaces propres de u sont stables par v.

2) En déduire que si le polynôme caractéristique de u est simple, alors u et v sont diagonalisables dans une même base.

Exercice IV:

Soit A = ( \begin{matrix}−7 & −9 & 6 \\ 2 & 4 & −2 \\ −6 & −6 & 5 \end{matrix} ). Calculer A^{n} pour tout n ∈ ℕ.

Exercice V:

Résoudre le système d’équations différentielles suivant :

\{ \begin{matrix}y′_{1} = y_{1} + 3y_{2} \\ y′_{2} = −2y_{2} + y_{3} \\ y′_{3} = y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{matrix}

Exercice VI:

Soit u l’endomorphisme de ℝ^{3} de matrice A =( \begin{matrix}3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) dans la base canonique.

1) Trouver les valeurs propres de A.

2) Montrer que A n’est pas diagonalisable. Est elle trigonalisable?

3) Déterminer les équations de ses sous espaces caractéristiques.

4) Montrer que A est semblable à ( \begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

5) Calculer A^{n} pour tout n ∈ ℕ.

Exercice VII:

Soit P ∈ 𝕂[X] et C_{P} la matrice compagnon associée.

1) Montrer que P est le polynôme caractéristique de C_{P}.

2) Montrer que P est le polynôme minimal de C_{P}.

Exercice VIII:

(Lemme du cours) Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie n et soit f un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est irréductible. On veut montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est la matrice compagnon du polynôme caractéristique.

1) Soit v ∈ E \ {0} et soit V = Vect (v, f(v), …, f^{n−1}(v)). Montrer que V est stable par f.

2) On considère W un supplémentaire de V dans E. Montrer que W = {0} et conclure.

Exercice IX:

1) Montrer que toute matrice de M_{2}(ℂ) est semblable à une matrice d’un des types suivants :

( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ), λ_{1} ∈ ℂ, λ_{2} ∈ ℂ, λ_{1} ≠ λ_{2}, ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ), λ ∈ ℂ, ou ( \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} ), λ ∈ ℂ.

2) Montrer que toute matrice de M_{2}(ℝ) est semblable à une matrice d’un des types suivants :

( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ), λ_{1} ∈ ℝ, λ_{2} ∈ ℝ, λ_{1} ≠ λ_{2}, ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ), λ ∈ ℝ, ( \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} ), λ ∈ ℝ, ou ( \begin{matrix}r cos φ & −r sin φ \\ r sin φ & r cos φ \end{matrix} ),

r ∈ ℝ_{+}^{∗}, φ ∈]0, π[∪]π, 2π[. Indication : dans le dernier cas, on utilisera l’exercice VIII.

3) Parmi les matrices des listes précédentes, y-a-t-il des matrices semblables ?

Exercice X:

Soit f l’endomorphisme de ℝ^{4} de matrice A = ( \begin{matrix}4 & 7 & 6 & −7 \\ 2 & 3 & 1 & −3 \\ 7 & −1 & 0 & −7 \\ 4 & 7 & 5 & −7 \end{matrix} ) dans la base canonique.

1) Calculer le polynôme caractéristique de A.

2) Utiliser le lemme des noyaux pour trouver une décomposition de ℝ^{4} en somme directe de deux sous-espaces stables par f. On note F et G ces deux sous-espaces.

3) Déterminer les deux projections associées à cette décomposition. En déduire des bases de F et de G et écrire la matrice de f dans la nouvelle base de ℝ^{4} associée.

4) f est-il diagonalisable ?