Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Géométrie affine II

Exercice I:

Soit ABC un triangle dans un plan affine P et M un point tel que les droites (AM), (BM) et (CM) rencontrent respectivement (CB), (AC) et (AB) en A′, B′ et C′. On note K le symétrique de A′ par rapport à (AB) parallèlement à (CC′). Soit (α, β, γ) les coordonnées barycentriques de M dans le repère affine (A, B, C).

1) Exprimer les coordonnées barycentriques de A′, B′ et C′ puis celles de I et de K.

2) Que peut-on dire de K, C′ et B′?

Exercice II:

(exercices du cours)

1) Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien. Pour un point P, on note x_{P} , y_{P} ses coordonnées. Montrer que trois points P, Q, R sont alignés si et seulement si

det ( \begin{matrix}x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ x_{R} & y_{R} & 1 \end{matrix} ) = 0.

2) Soit ABC un triangle d’un plan affine. Soient des points L, M, N qui se trouvent sur les droites (AB), (BC), (CA) respectivement et sont distincts de A, B, C. Montrer que L, M, N sont alignés si et seulement si

\frac{\overline{LA}}{\overline{LB}} \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} = 1.

Indication : introduire le repère cartésien (A, AB^{⟶}, AC^{⟶}) et utiliser l’exercice précédent.

3) Soit E un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien. Soient a_{i}x + b_{i}y + c_{i} = 0 les équations de trois droites D_{i}, i = 1, 2, 3. Montrer que les trois droites sont parallèles ou concourantes si et seulement si

det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) = 0.

Exercice III:

(exercice du cours) On se place dans un plan affine P muni d’un repère affine (A, B, C). Soit P, Q et R des points de P de coordonnées barycentriques respectives (α_{P} , β_{P} , γ_{P}), (α_{Q}, β_{Q}, γ_{Q}) et (α_{R}, β_{R}, γ_{R}). On définit l’aire algébrique du triangle P QR (éventuellement dégénéré) par l’égalité

Aire (P QR) = | \begin{matrix}α_{P} & β_{P} & γ_{P} \\ α_{Q} & β_{Q} & γ_{Q} \\ α_{R} & β_{R} & γ_{R} \end{matrix} | .

1) Montrer que, pour deux triangles P QR et P′Q′R′, le rapport \frac{Aire (P QR)}{Aire (P′Q′R′)} ne dépend pas du choix du repère (A, B, C).

2) Montrer que les coordonnées d’un point S dans un repère (P, Q, R) sont données par les rapports

\frac{Aire (SQR)}{Aire (P QR)}, \frac{Aire (P SR)}{Aire (P QR)}, \frac{Aire (P QS)}{Aire (P QR)}.

Exercice IV:

On considère une translation t et une homothétie h d’un espace affine. Identifier les applications f_{1} = t ∘ h ∘ t, f_{2} = h^{−1} ∘ t ∘ h et f_{3} = t ∘ h ∘ t^{−1}.

Exercice V:

Soit E un espace affine de direction E. Trouver toutes les applications affines f : E ⟶ E telles que pour tout u ∈ E, t_{u} ∘ f = f ∘ t_{u}.

Exercice VI:

Montrer que l’ensemble composé des translations et des symétries centrales d’un espace affine est un groupe pour la composition. Est-il commutatif?

Exercice VII:

Soit E un espace affine et G un sous-groupe fini du groupe affine de E. Montrer qu’il existe un point de E qui est fixe pour tous les éléments de G.

Exercice VIII:

Soit E un espace affine réel de direction E. On suppose que E = F ⊕ D avec D une droite vectorielle. Soit F un sous-espace affine de E de direction F, et soit p la projection affine sur F parallèlement à D. Pour tout réel k, on définit a_{k}(M) = p(M) + k(M − p(M)) pour tout M ∈ E. Montrer que a_{k} est une application affine de E dans E. Déterminer l’ensemble de ses points fixes. (a_{k} est appelée l’affinité de direction D, d’hyperplan F et de rapport k)

Exercice IX:

Si E est un espace vectoriel de dimension 2, un endomorphisme de E est appelé transvection

vectorielle s’il existe une base où sa matrice est ( \begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix} ) (α ≠ 0).

Soit maintenant E un plan affine de direction E et O un point de E. On définit f : E ⟶ E par f(M) = O + u(M − O) où u est une transvection vectorielle.

1) Montrer que f est une bijection affine (appelée transvection affine). Déterminer l’ensemble de ses points fixes.

2) Soit A, B, C, A′ tels que f(B) = B, f(C) = C et f(A) = A′. Que peut-on dire de la droite (AA′)? Construire à la règle f(M) quand M est un point quelconque du plan.

3) Montrer que la composée de deux symétries par rapport à une même droite est en général une transvection.

Exercice X:

Soit X et Y deux ensembles convexes d’un espace affine E. Démontrer que l’ensemble Z des milieux des segments qui joignent un point de X à un point de Y est convexe.