\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
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\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2002-2003 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} G{\'e}om\'etrie affine II\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}

\exo Soit $ABC$ un triangle dans un plan affine $\cal P$ et $M$ un point tel que les droites $(AM)$, $(BM)$ et $(CM)$ rencontrent respectivement $(CB)$, $(AC)$ et $(AB)$ en $A'$, $B'$ et $C'$. On note $K$ le sym\'etrique  de $A'$ par rapport \`a $(AB)$ parall\`element \`a $(CC')$. Soit $(\alpha,\beta,\gamma)$ les coordonn�es barycentriques de $M$ dans le rep\`ere affine $(A,B,C)$.
\qu Exprimer les coordonn�es barycentriques de $A'$, $B'$ et $C'$ puis celles de $I$ et de $K$.
\qu Que peut-on dire de $K$, $C'$ et $B'$?


\exo {\em (exercices du cours)}
\qu Soit $\cal E$ un plan affine muni d'un rep\`ere cart\'esien.
Pour un point $P$, on note $x_P, y_P$ ses coordonn\'ees. Montrer que trois
points $P,Q,R$ sont align\'es si et seulement si
\[
\det\left(\begin{array}{ccc}
x_P & y_P & 1 \\
x_Q & y_Q & 1 \\
x_R & y_R & 1
\end{array} \right) =0.
\]

\qu Soit $ABC$ un triangle d'un plan affine. Soient des points $L,M,N$ qui
se trouvent sur les droites $(AB), (BC), (CA)$ respectivement et sont distincts
de $A,B,C$. Montrer que $L,M,N$ sont align\'es si et seulement si
\[
\frac{\overline{LA}}{\overline{LB}}
\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}
\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}
=1.
\]
{\it Indication }: introduire le rep\`ere cart\'esien $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$
et utiliser l'exercice pr\'ec\'edent.

\qu Soit $\cal E$ un plan affine euclidien muni d'un rep\`ere cart\'esien.
Soient $a_i x + b_i y + c_i=0$ les \'equations de trois droites
${\cal D}_i$, $i=1,2,3$. Montrer que les trois droites sont parall\`eles
ou concourantes si et seulement si
\[
\det\left(\begin{array}{ccc}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 
\end{array} \right)
=0.
\]

\exo {\em (exercice du cours)}
\newcommand{\aire}{{\rm Aire}\,}
On se place dans un plan affine ${\cal P}$ muni d'un rep�re affine $(A,B,C)$. Soit $P$, $Q$ et $R$ des points de $\cal P$ de coordonn�es barycentriques
respectives $(\alpha_P,\beta_P,\gamma_P)$, $(\alpha_Q,\beta_Q,\gamma_Q)$ et 
$(\alpha_R,\beta_R,\gamma_R)$.
On d�finit {\em l'aire alg�brique}
du triangle $PQR$ (�ventuellement d�g�n�r�) par l'�galit�
$$\aire(PQR)=\left|\begin{array}{ccc}
\alpha_P&\beta_P&\gamma_P\\
\alpha_Q&\beta_Q&\gamma_Q\\
\alpha_R&\beta_R&\gamma_R
\end{array}\right|.$$
\qu Montrer que, pour deux triangles $PQR$ et $P'Q'R'$,
le rapport $\frac{\aire(PQR)}{\aire(P'Q'R')}$ ne d�pend pas du choix du rep�re $(A,B,C)$.
\qu Montrer que les coordonn�es d'un point $S$ dans un rep�re $(P,Q,R)$ sont donn�es par les
rapports
$$\frac{\aire(SQR)}{\aire(PQR)},\quad\frac{\aire(PSR)}{\aire(PQR)},\quad
\frac{\aire(PQS)}{\aire(PQR)}.$$

\exo On consid\`ere une translation $t$ et une homoth\'etie $h$ d'un espace affine. Identifier les applications $f_1=t \circ h \circ t$, $f_2=h^{-1}\circ t \circ h$ et $f_3=t \circ h \circ t^{-1}$.

\exo Soit $\cal E$ un espace affine de direction $E$. Trouver toutes les applications affines $f:{\cal E} \longrightarrow {\cal E}$ telles que pour tout ${u} \in E$, $t_{{u}} \circ f = f\circ t_{{u}}$.

\exo Montrer que l'ensemble compos\'e des translations et des sym\'etries centrales d'un espace affine est un groupe pour la composition. Est-il commutatif?

\exo Soit $\cal E$ un espace affine et $G$ un sous-groupe fini du groupe affine de  $\cal E$. Montrer qu'il existe un point de $\cal E$ qui est fixe pour tous les \'el\'ements de $G$.

\exo Soit $\cal E$ un espace affine r\'eel de direction $E$. On suppose que $E=F \oplus D$ avec $D$ une droite vectorielle. Soit $\cal F$ un sous-espace affine de $\cal E$ de direction $F$, et soit $p$ la projection affine sur $\cal F$ parall\`element \`a $D$. Pour tout r\'eel $k$, on d\'efinit $a_k(M)=p(M)+k(M-p(M))$ pour tout $M \in  \cal E$. Montrer que $a_k$ est une application affine de $\cal E$ dans $\cal E$. D\'eterminer l'ensemble de ses points fixes. ($a_k$ est appel\'ee l'{\it affinit\'e de direction $D$, d'hyperplan $\cal F$ et de rapport $k$})

\exo Si $E$ est un espace vectoriel de dimension 2, un endomorphisme de $E$ est appel\'e {\it transvection vectorielle} s'il existe une base o\`u sa matrice est 
$\left(\begin{array}{cc}
1&\alpha\\
0&1
\end{array}\right)$ ($\alpha \neq 0$).\\
Soit maintenant $\cal E$ un plan affine de direction $E$ et $O$ un point de $\cal E$. On d\'efinit  $f:{\cal E} \longrightarrow {\cal E}$ par $f(M)=O+u(M-O)$ o\`u $u$ est une transvection vectorielle. 
\qu Montrer que $f$ est une bijection affine (appel\'ee {\it transvection affine}). D\'eterminer l'ensemble de ses points fixes.
\qu Soit $A$, $B$, $C$, $A'$ tels que $f(B)=B$,  $f(C)=C$ et $f(A)=A'$. Que peut-on dire de la droite $(AA')$? Construire \`a la r\`egle $f(M)$ quand $M$ est un point quelconque du plan.
\qu Montrer que la compos\'ee  de deux sym\'etries par rapport \`a une m\^eme droite est en g\'en\'eral une transvection. 

\exo Soit $X$ et $Y$ deux ensembles convexes d'un espace affine $\cal E$. D\'emontrer que l'ensemble $Z$ des milieux des segments qui joignent un point de $X$ \`a un point de $Y$ est convexe.



\end{document}