Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Formes quadratiques, Espaces vectoriels euclidiens

Exercice I:

On considère la forme quadratique q : ℝ^{4} ⟶ ℝ définie par

q(x, y, z, t) = xy + 2xz + 2xt + yz + 4yt + 2zt

Quelle est la signature de q ? Déterminer une base q-orthogonale de ℝ^{4}.

Exercice II:

Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ une forme quadratique. Décrire (avec une paramétrisation si nécessaire) les courbes de niveau de q, c’est-à-dire les ensembles L_{c} = {v ∈ ℝ^{3} | q(v) = c} pour tout c ∈ ℝ, lorsque la signature de q est : a) (0, 0) , b) (1, 0) , c) (2, 0) , d) (1, 1) , e) (3, 0) , f) (2, 1).

Exercice III:

Soit (E, ∥.∥) un espace vectoriel euclidien de dimension n et une application f : E ⟶ E telle que f(0) = 0 qui conserve les distances (i.e. ∀x, y ∈ E, ∥f(x) − f(y)∥ = ∥x − y∥).

1) Montrer que f conserve la norme, puis le produit scalaire (noté < ., . >).

2) Soit α, β ∈ ℝ, x, y ∈ E. On pose z = f(αx + βy) − αf(x) − βf(y). Calculer < z, f(t) > pour tout t ∈ E, puis < z, z >. En déduire que f est linéaire (f est donc une isométrie vectorielle).

Exercice IV:

Dans l’espace euclidien ℝ^{4} usuel, on considère l’hyperplan H d’équation x − 2y + 4z + 2t = 0 et p la projection orthogonale sur H.

1) Calculer ∥u − p(u)∥ pour tout u ∈ ℝ^{4}.

2) Déterminer la matrice de p dans la base canonique de ℝ^{4}.

Exercice V:

On munit E = ℝ_{2}[X] du produit scalaire φ(P, Q) = ∫_{−1}^{1} P (t)Q(t)dt. Déterminer la base orthonormée de E obtenue à partir de la base canonique par le procédé de Gram-Schmidt.

Exercice VI:

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n.

1) Soit f ∈ L(E) qui commute avec toutes les symétries orthogonales. Montrer que f est une homothétie.

2) Déterminer le centre de O(E).

3) Déterminer le centre de SO(E) (distinguer suivant la parité de n).

Exercice VII:

Soit u, v, w trois vecteurs de ℝ^{3} (orienté). Calculer det(u ∧ v, v ∧ w, w ∧ u) en fonction de det(u, v, w).

Exercice VIII:

Déterminer les u ∈ L(ℝ^{3}) tels que ∀x, y ∈ ℝ^{3}, u(x ∧ y) = u(x) ∧ u(y).

Exercice IX:

Soit E un espace Euclidien, (x_{i})_{i=1,...,p} une famille de vecteurs de E. On appelle Gram(x_{1}, ..., x_{p}) le déterminant de la matrice (x_{i}|x_{j}).

1) Soient F un sev de E, et a ∈ E. On appelle distance de a à F: d(a, F) =inf_{x∈F} ||x − a||.

Montrer que si x_{1}, ..., x_{p} est une base de F, alors d(a, F)^{2} = \frac{Gram(a,x_{1},...,x_{p})}{Gram(x_{1},...,x_{p})}.

2) Moindres carrés: Soient A ∈ M_{n,p}, telle que rg(A) = p, et B ∈ ℝ^{n}. Expliquer comment calculer inf_{X∈ℝ^{p}} ||AX − B||^{2}.

3) Soit (a_{1}, ..., a_{n}) une base de E, et (b_{1}, ..., b_{n}) la base orthonormée de E construite à partir de (a_{1}, ..., a_{n}) par orthonormalisation de Gram-Schmidt. On note A la matrice de passage de (b_{i}) à (a_{i}).

a) calculer ^{t}AA. Comparer det A et Gram(a_{1}, ..., a_{n})
b) Interpréter géométriquement Gram(a_{1}, ..., a_{n}).

Exercice X:

Soit E un plan vectoriel euclidien, u et u′ deux vecteurs unitaires non colinéaires de E et D et D′ les droites vectorielles qu’ils engendrent. On désigne par B_{i} la droite vectorielle engendrée par u+u′ (bissectrice intérieure) et par B_{e} celle engendrée par u−u′ (bissectrice extérieure). Démontrer que :

1) B_{i} et B_{e} sont orthogonales.

2) La symétrie orthogonale d’axe B_{i} échange D et D′.

3) B_{i} ∪ B_{e} est l’ensemble des vecteurs de E équidistants de D et D′.

4) B_{i} est l’ensemble des vecteurs v de E vérifiant û, v = v̂, u′.