\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

\def\matii#1#2#3#4{{\left( \begin{array}{cc}
          #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{array}  \right)}}

\def\matiii#1#2#3#4#5#6#7#8#9{{\left( \begin{array}{ccc}
          #1 & #2 & #3 \\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9 \end{array}
          \right)}}

\def\vecteur#1#2{{\scriptstyle{\left( \!\! \begin{array}{c}
          #1 \\ #2 \end{array} \!\! \right)}}}
\def\vect#1{{\overrightarrow{#1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\t#1{{{^t}#1}}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
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\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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\addtolength{\elargir}{\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2002-2003 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Espaces vectoriels euclidiens
 \hspace{1cm}} 
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}

%$^{^{-w_o}}\!G$

\exo Soit $R$ une rotation de $\R^3$ d'axe $\R u$ et d'angle $\theta \in
\R$. Soit $r$ une rotation quelconque de $\R^3$. D{\'e}terminer $r \circ R 
\circ r^{-1}$. En d{\'e}duire le centre de $SO_3(\R)$.


\exo D{\'e}terminer la matrice dans la base canonique de $\R^3$ du retournement
d'axe $\R (1,2,1)$.


\exo Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension 3, $u$ un vecteur
unitaire de $E$ et $\theta \in \R$. On pose, pour tout $v \in E$
$$f(v) = (\cos \theta) v + (1-\cos\theta)<u,v> u + \sin\theta (u \wedge v).$$
  \qu Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ qui admet dans une certaine
      base la matrice
      $$\matiii{1}{0}{0}{0}{\cos\theta}{-\sin\theta}{0}{\sin\theta}{\cos\theta}$$
  \qu Interpr{\'e}ter g{\'e}om{\'e}triquement la formule d{\'e}finissant $f$.


\exo Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension 3. On consid{\`e}re les
transformations g{\'e}om{\'e}triques $f$, $g$ et $h$ de $E$ dont les matrices
respectives dans la base canonique sont
$$A = \frac13 \matiii{-1}{2}{2}{2}{-1}{2}{2}{2}{-1} \qquad B =
\matiii{0}{0}{-1}{-1}{0}{0}{0}{1}{0} \qquad C = \frac14
\matiii{3}{1}{\sqrt{6}}{1}{3}{-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}}{\sqrt{6}}{2}.$$
Reconna{\^\i}tre $f$, $g$ et $h$ et donner leurs {\'e}l{\'e}ments 
caract{\'e}ristiques.


\exo Soit $G$ un sous-groupe distingu{\'e} du groupe sp{\'e}cial orthogonal
$SO_3(\R)$. On suppose que $G$ n'est pas trivial.
  \qu Soit $f \in G - \{ {\rm{id}}_E \}$.
    \squ Pour tout $n \in \N$, on note $\theta_n$ la mesure dans $[-\pi, \pi]$ de
         l'angle de la rotation $f^{2^n}$. Montrer que si $\cos \theta_n \ge 0$ 
         pour tout $n \in \N$, alors $\theta_0 = 0$.
    \squ D{\'e}duire qu'il existe une rotation $g \in G$ d'angle $\theta$ 
         telle que $\cos \theta < 0$.
    \squ Montrer qu'il existe $\vect{x} \in E \setminus \{ 0 \}$ tel que
         $\vect{x}$ et $g(\vect{x})$ soient orthogonaux.
    \squ On note $\rho$ le retournement autour de $\R \vect{x}$ et $r = \rho 
         \circ g \circ \rho \circ g^{-1}$. Etablir que $r$ est un retournement 
         et que $r \in G$. 

On a ainsi prouv{\'e} que $G$ contient au moins un retournement.

  \qu Soit $s$ un retournement de $E$ autre que $r$. On note $\vect{u}$
      (resp. $\vect{v}$) un vecteur directeur norm{\'e} de l'axe du retournement 
      $r$ (resp. $s$).
    \squ Montrer qu'il existe un retournement $\sigma$ tel que $\sigma(\vect{u}) 
         = \vect{v}$ et $\sigma(\vect{v}) = \vect{u}$.
    \squ Etablir $s = \sigma \circ r \circ \sigma^{-1}$.
    \squ En d{\'e}duire que $G$ contient tous les retournements de $E$, puis que
         $G = SO_3(\R)$.

On a ainsi prouv{\'e} que $SO_3(\R)$ est un groupe simple.

\exo Pour toute partie $F$ d'un espace vectoriel euclidien $E$ de dimension 3 on
note $I(F)$ l'ensemble des isom{\'e}tries $f$ de $E$ qui v{\'e}rifient
$f(F)=F$. V{\'e}rifier que $I(F)$ est un sous-groupe de $O(E)$ et le
d{\'e}terminer dans les cas suivants (d{\'e}crire ses {\'e}l{\'e}ments et 
si possible montrer que le groupe est isomorphe {\`a} un groupe connu) :
  \qu $F$ est un polygône r{\'e}gulier {\`a} $n$ côt{\'e}s contenu dans un 
      plan vectoriel de $E$ et centr{\'e} en $0$.
  \qu $F$ est un t{\'e}tra{\`e}dre r{\'e}gulier centr{\'e} en 0.
  \qu $F$ est un cube centr{\'e} en 0.


\exo Dans l'espace euclidien $\R^n$ muni de sa base canonique $(e_i)$ on
consid{\`e}re l'ensemble ${\cal H}$ des hyperplans $H_{i,j}$ d'{\'e}quations 
$x_i = x_j$ pour $1 \le i < j \le n$.
  \qu Quel est le cardinal de ${\cal H}$ ?
  \qu Montrer que si $\sigma \in {\cal S}_n$, alors l'application $H_{i,j}
      \longmapsto H_{\sigma(i),\sigma(j)}$ d{\'e}finit une bijection sur 
      ${\cal H}$.
  \qu Soit $r_{i,j}$ la r{\'e}flexion d'hyperplan $H_{i,j}$. Montrer que 
      pour tout $x \in \R^n$, $r_{i,j}(x) = x - (x_i-x_j)(e_i-e_j)$.
  \qu Pour $\sigma \in {\cal S}_n$, soit $f_\sigma$ l'unique endomorphisme de
      $\R^n$ qui envoie chaque $e_i$ sur $e_{\sigma(i)}$. D{\'e}terminer 
      $f_\sigma$ lorsque $\sigma$ est une transposition.
  \qu En d{\'e}duire que l'application $\sigma \longmapsto f_\sigma$ 
      r{\'e}alise le groupe ${\cal S}_n$ comme le groupe engendr{\'e} par 
      les $n-1$ r{\'e}flexions hyperplanes $r_{i,{i+1}}$.



\end{document}