Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Géométrie affine euclidienne I

Isométries affines du plan et de l’espace - Angles - Similitudes planes

Exercice I:

Soit E un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormé d’origine notée O. Soit f une application de E dans E qui conserve les distances.

1. Montrer que pour tous (X, Y) ∈ E^{2}, ⟨f(X) − f(O), f(Y) − f(O)⟩ = ⟨X − O, Y − O⟩.

2. En déduire que l’application f est affine.

Exercice II:

Déterminer le groupe des isométries du plan affine euclidien laissant globalement invariant :

1. un rectangle non carré ;

2. la réunion de deux droites parallèles et distinctes.

Exercice III:

Soit f un glissement du plan affine euclidien P. Soit D la droite telle que f = t\overrightarrow{u} ∘ s = s ∘ t\overrightarrow{u} où s est la symétrie orthogonale par rapport à D et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de D.

1. Montrer que D est l’unique droite telle que f(D) = D.

2. Montrer que pour tout point P de P et tout point M de D, on a

d(P, f(P)) ≥ d(M, f(M)).

Exercice IV:

1. Soit f un antidéplacement du plan affine euclidien P. Montrer que f^{2} est une translation.

2. Soient f_{1}, f_{2}, f_{3} des symétries orthogonales par rapport à des droites de P. On pose f = f_{2} ∘ f_{3} ∘ f_{1} ∘ f_{2} ∘ f_{3}. Montrer que f^{2} est une translation ; en déterminer la direction.

Exercice V:

L’espace affine euclidien E de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé R = (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}). Dans chacun des cas suivants, reconnaître l’application f : E → E qui à M(x, y, z) associe f(M)(x′, y′, z′) et préciser ses éléments caractéristiques.

(a) \{ \begin{matrix}x′ = −z + 1 \\ y′ = −x \\ z′ = y − 2 \end{matrix}  (b) \{ \begin{matrix}x′ = \frac{1}{9}(x − 8y − 4z + 1) \\ y′ = \frac{1}{9}(−8x + y − 4z + 2) \\ z′ = \frac{1}{9}(−4x − 4y + 7z + 3) \end{matrix}  (c) \{ \begin{matrix}x′ = −z + 1 \\ y′ = x \\ z′ = y − 2 \end{matrix}

Exercice VI:

On considère dans le plan affine euclidien un triangle OAB isocèle en O. On désigne par C un cercle de centre O et de rayon R tel que R < OA. On mène par A et B des tangentes à C non symétriques par rapport à la hauteur issue de O du triangle OAB ; on note C et D leurs points de contacts avec C et M leur point d’intersection. On note aussi H le projeté orthogonal de O sur (AB).

1. Montrer qu’une rotation de centre O transforme toute tangente au cercle C en une tangente au cercle C.

2. Soit r la rotation de centre O telle que r(B) = A. Montrer que l’on a r(D) = C. En déduire que M appartient au cercle circonscrit au triangle OAB.

3. Montrer que les bissectrices du couple de droites ((MA), (MB)) sont les droites (OM) et (O′M), où O′ est le point diamétralement opposé à O sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

4. Montrer qu’il existe une similitude directe s de centre O telle que s(B) = D et s(A) = C, puis que H est l’image par s d’un point de la droite (AB). En déduire que la droite (CD) passe par H.

Exercice VII:

On se donne, dans le plan affine euclidien, deux droites orthogonales D_{1} et D_{2} et l’on note O leur point d’intersection. Soit Δ une droite sécante avec D_{1} et D_{2}, ne passant pas par O, qui coupe D_{1} et D_{2} respectivement en A_{1} et A_{2}.

1. Soit I un point de Δ différent de A_{1} et A_{2}. Montrer qu’il existe une unique droite passant par I, ne passant pas par O, qui coupe les droites D_{1} et D_{2} en M_{1} et M_{2} respectivement, tels que IM_{1} = IM_{2}.

Indication : On utilisera les points I_{1} et I_{2}, projetés orthogonaux de I sur les droites D_{1} et D_{2}, respectivement.

2. Soit F le symétrique de O par rapport à la droite Δ. Montrer que les points M_{1}, M_{2}, O et F sont cocycliques.

3. Soit H le projeté orthogonal de F sur la droite (M_{1}M_{2}) et soit J le milieu de [OF].

(a) Montrer que l’on a { \atop HF M_{1}} = { \atop OA_{2}J}.

(b) Soit s la similitude directe de centre F, d’angle { \atop JA_{2}O} et de rayon \frac{JA_{2}}{OA_{2}} . Quel est l’image

de M_{1} par s ?

(c) On fait varier le point I sur la droite Δ. Quel est le lieu du point H ? Indication : On introduira les points F_{1} et F_{2}, projetés orthogonaux de F sur les droites D_{1} et D_{2}, respectivement.