Université de Paris 7 2003-2004 CAPES: Ecrit

Extraits du Capes 89

Exercice I:

Soit d un entier supérieur ou égal à 2. On désigne par M_{d} l’espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels, à d lignes et d colonnes. Si A est un élément de M_{d} et i, j deux entiers de {1, ..., d}, on note A(i, j) le coefficient de la matrice A situé à la i-ième ligne et à la j-ième colonne. On appelle I_{d} la matrice identité de M_{d}. On pose: A^{0} = I_{d}, A^{1} = A, et pour tout entier k ≥ 2, A^{k} = A.A^{k−1}. Une matrice A de M_{d} est dite nilpotente s’il existe un entier k ≥ 1 tel que A^{k} = 0; le plus petit entier r ≥ 1 vérifiant A^{r} = 0 est alors appelé l’ordre de nilpotence de A.

On suppose désormais que A est une matrice non nulle de M_{d} nilpotente d’ordre r.

1) Montrer que zéro est la seule valeur propre complexe de la matrice A. Quel est le polynôme caractéristique de A? En déduire que r ≤ d.

2) On désigne par e(A) le sous espace vectoriel de M_{d} engendré par les matrices {A^{k}, k ≥ 0}. Montrer que b = {I_{d}, A, ..., A^{r−1}} est une base de e(A)

3) Soit s un élément de IN.

a) Montrer que la matrice (I_{d} − A)^{s+1} appartient à e(A); donner ses coordonnées dans la base b.

b) Montrer que la matrice (I_{d} − A)^{s+1} est inversible, et que son inverse, notée

(I_{d} − A)^{−(s+1)}, est égale à ∑_{0≤k≤r−1} C_{s+k}^{s}A^{k}

4) On appelle J_{d} la matrice d’ordre d définie par:

∀(i, j) ∈ \{1, ..., d\}^{2}, J_{d}(i, j) = \{ \begin{matrix}1 si j − i = 1 \\ 0 sinon \end{matrix}

a) Pour k ≥ 2, calculer la puissance k-ième de la matrice J_{d}. En déduire que J_{d} est une matrice nilpotente et préciser son ordre de nilpotence.

b) Pour s ∈ IN, et λ ∈ IR, expliciter la matrice (I_{d} − λJ_{d})^{−(s+1)}. Exercice II:

Soient N et M deux entiers supérieurs ou égaux à 1. Soit p ∈]0, 1[. On considère les sous ensembles de IN^{2} suivant: R = {(x, y) ∈ IN^{2}|0 ≤ x ≤ N − 1, 0 ≤ y ≤ M − 1}, F_{1} = {(x, M)|0 ≤ x ≤ N − 1}, F_{2} = {(N, y)|0 ≤ y ≤ M − 1}, F = F_{1} ∪ F_{2} ∪ {(N, M)} et R̄ = R ∪ F. On désigne par E l’ensemble des fonctions définies sur R̄ à valeurs dans IR vérifiant l’équation fonctionnelle (∗):

(∗)∀(l, k) ∈ R, f(l, k) = pf(l + 1, k) + (1 − p)f(l, k + 1)

Si f est une fonction sur R̄ à valeurs réelles, on note M(f) la matrice M(f) = (f(i, j))_{0≤i≤N,0≤j≤M}.

Pour k et l vérifiant 0 ≤ k ≤ M et 0 ≤ l ≤ N, on pose: C_{k}(f) = [ f(0, k) ; f(1, k) ; ⋮ ; f(N, k) ] et

L_{l}(f) = [f(l, 0), f(l, 1), …, f(l, M)]

A) Etude de E

1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel réel des fonctions définies sur R̄ à valeurs réelles.

2) a) Soit k un entier tel que 0 ≤ k ≤ M − 1. Si f ∈ E, montrer que la matrice colonne C_{k}(f) est déterminée par la donnée de la colonne C_{k+1}(f) et du réel f(N, k).

b) En déduire que tout élément f de E est déterminé de façon unique par la donnée des valeurs {f(l, M)|0 ≤ l ≤ N} et {f(N, k)|0 ≤ k ≤ M − 1}. Autrement dit, tout élément f de E est déterminé par sa restriction à F.

Pour tout entier i vérifiant 0 ≤ i < N, on désigne par ϕ_{i} l’unique élément de E tel que:

∀(k, l) ∈ F, ϕ_{i}(l, k) = \{ \begin{matrix}1 si (l, k) = (i, M) \\ 0 sinon \end{matrix}

Pour tout entier j vérifiant 0 ≤ j < M, on désigne par ψ_{j} l’unique élément de E tel que:

∀(k, l) ∈ F, ψ_{j}(l, k) = \{ \begin{matrix}1 si (l, k) = (N, j) \\ 0 sinon \end{matrix}

enfin on note ξ l’unique élément de E tel que:

∀(k, l) ∈ F, ξ(l, k) = \{ \begin{matrix}1 si (l, k) = (N, M) \\ 0 sinon \end{matrix}

3) Montrer que (ϕ_{0}, …, ϕ_{N−1}, ξ, ψ_{0}, …, ψ_{M−1}) est une base de E

4) Déterminer l’élément ξ de E en explicitant la matrice M(ξ)

B) Calcul des fonctions ϕ_{i} et ψ_{j} Soient i et j deux entiers vérifiant 0 ≤ i < N et 0 ≤ j < M

5) a) En conservant les notations I_{d} et J_{d} de l’exercice I, pour d = N + 1 (resp. d = M + 1), montrer que pour tout entier k vérifiant 0 ≤ k < M et pour tout entier l vérifiant 0 ≤ l < N, on a: (1 − p)C_{k+1}(ϕ_{i}) = (I_{N+1} − pJ_{N+1})C_{k}(ϕ_{i}) et pL_{l+1}(ψ_{j}) = L_{l}(ψ_{j})(I_{M+1} − (1 − p)^{t}J_{M+1}) où ^{t}J_{M+1} désigne la transposée de la matrice J_{M+1}

b) Expliciter pour tout élément (l, k) de R les valeurs de ϕ_{i}(l, k) et ψ_{j}(l, k)