\documentclass[a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\newcommand{\solution}[1]{}
\newcommand{\solution}[1]{\par\noindent{\em Solution -- #1}}
%\newcommand{\titre}{Test d'alg{\`e}bre}
\newcommand{\titre}{Un corrig\'e du test d'alg{\`e}bre}


\newcommand{\1}[1]{\`{#1}}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\permutations}{\mathfrak{S}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\qua{  

  \addtocounter{question}{1}\Alph{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }

\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        



\begin{document}
% \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2002-2003 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} \titre\hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{R\'epondre aux questions marqu\'ees par des $*$ \`a la fin.}


\exo
\qu Soit $G$ un groupe. Qu'est-ce qu'un sous-groupe de $G$ ?
\solution{Un sous-groupe de $G$ est une partie $H$ de $G$ telle que $e\in H$, le 
produit de deux \'el\'ements quelconques de $H$ appartient
encore \`a $H$ et l'inverse de tout \'el\'ement de $H$
appartient encore \`a $H$.}


\qu Rappeler la d\'efinition du groupe $GL_2(\R)$.
\solution{Le groupe $GL_2(\R)$ est le couple $(G, *)$, o\`u $G$ est
l'ensemble des matrices carr\'ees inversibles  $2\times 2$ \`a coefficients r\'eels
et la loi de groupe $*: G\times G\ra G$ est donn\'ee par la multiplication des matrices.}


\qu Soit $H\subset GL_2(\R)$ la partie form\'ee de toutes les matrices
\[
\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ko a\in\R.
\]
La partie $H$, est-elle un sous-groupe de $GL(2,\R)$ ? Justifier.
\solution{La matrice identit\'e appartient \`a $H$ (on prend $a=0$).
Quels que soient $a,b\in \R$, on a
\[
\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & b \\ 0 & 1 \end{array} \right)
=
\left(\begin{array}{cc} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{array} \right),
\]
ce qui montre que le produit de deux \'el\'ements quelconques
de $H$ appartient encore \`a $H$. Finalement, pour $a\in\R$,
on a
\[
\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array} \right)^{-1}
=
\left(\begin{array}{cc} 1 & -a \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\]
ce qui montre que l'inverse de tout \'el\'ement de $H$ appartient
encore \`a $H$. Nous avons ainsi v\'erifi\'e que $H$ est bien
un sous-groupe de $GL_2(\R)$.
}

\exo
Dans le groupe $\permutations_n$ des permutations de $\{1, \ldots, 7\}$, consid\'erons
les \'el\'ements
\[
\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7  \\
	            			5 & 6 & 1 & 7 & 3 & 4 & 2
       \end{array} \right) 
\mbox{ et }
\tau=  \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7  \\
				            5 & 4 & 7 & 6 & 3 & 2 & 1
       \end{array} \right).
\]



\qu D\'ecomposer $\sigma$ et $\tau$ en produits de cycles \`a supports disjoints. 
\solution{Nous avons les d\'ecompositions en produits de cycles \`a supports disjoints
\[
\sigma = (1 5 3)(2 6 4 7) \mbox{ et } \tau=(2 4 6)(1 5 3 7).
\]}


\qu Ces deux \'el\'ements sont-ils conjugu\'es~?
\solution{Si $\alpha$ est une permutation quelconque, nous avons la
d\'ecomposition en cycles \`a supports disjoints
\[
\alpha \sigma \alpha^{-1}= (\alpha(1)\, \alpha(5)\, \alpha(3)) (\alpha(2)\, \alpha(6)\, \alpha(4)\, \alpha(7)).
\]
Donc pour
\[
\alpha = \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7  \\
      				        2 & 1 & 6 & 3 & 4 & 5 & 7
       \end{array} \right).
\]
nous avons bien $\alpha \sigma \alpha^{-1} = \tau$.
Cela montre que $\sigma$ et $\tau$ sont conjugu\'es.
}


\qu Quel est l'ordre de $\sigma$ ? Quel est l'\'el\'ement $\sigma^{145}$ ?
\solution{L'ordre de $\sigma$ est le PPCM des longueurs des cycles qui 
apparaissent dans la d\'ecomposition en produit de cycles \`a supports
disjoints de $\sigma$. Ainsi, $\sigma$ est d'ordre $12$. Comme
$145$ est congru \`a $1$ modulo $12$, nous avons $\sigma^{145}=\sigma^1=\sigma$.}



\qu Quel est le plus petit $n$ tel que $\permutations_n$ contienne un
\'el\'ement d'ordre $14$ ?
\solution{Soit $\sigma\in\permutations_n$ un \'el\'ement d'ordre $14$.
Si $n<14$, la d\'ecomposition en cycles \1a  support disjoint de $\sigma$
doit comporter un cycle de longueur $2$ et un cycle de longueur $7$.
Donc $n\geq 9$. De l'autre c\^ot\'e, la permutation $\sigma=(1 2)(3 4 \ldots 9)$
est bien d'ordre $14$. Donc le nombre $n$ minimal est $9$.}

\exo
\qua Quels sont les \'el\'ements inversibles de l'anneau $\Z/18\Z$ ?
\solution{On sait que la classe d'un entier relatif $x$ est inversible
dans $\Z/m\Z$ si et seulement si $x$ est premier avec $m$. Les \'el\'ements
inversibles de $\Z/18\Z$ sont donc les classes de $1, 5, 7, 11, 13, 17$.}


\qua D\'eterminer le plus petit entier $x\geq 0$ tel que $x$ est congru \`a $1$
modulo $13$ et congru \`a $2$ modulo $14$.
\solution{Nous avons $14-13=1$. Ainsi l'entier $x_0=1\times 14 + 2\times (-13) = -12$
est congru \`a $1$ modulo $13$ et \`a $2$ modulo $14$. Un entier relatif
$x$ quelconque v\'erifie ces conditions si et seulement si $x-x_0$ est multiple
de $PPCM(13,14)=13\times 14 = 182$. Donc $x=x_0 + 182 k= -12+182 k$ pour un entier
relatif $k$. Parmi ces $x$, le plus petit qui soit $\geq 0$ est
$x=-12+182= 170$.}


\exo 
\qua Un polyn\^ome \`a coefficients r\'eels sans racines r\'eelles est-il
irr\'eductible dans $\R[X]$ ?
\solution{Non ! Les seuls \'el\'ements irr\'eductibles de $\R[X]$ sont
les polyn\^omes de degr\'e $1$ et les polyn\^omes DE DEGRE 2 sans racines r\'eelles.
Par exemple, le polyn\^ome $X^4+1$ n'a pas de racines r\'eelles mais il est
r\'eductible~:
\[
X^4+1 = (X^2+\sqrt{2}X + 1)(X^2-\sqrt{2}X +1).
\]
}


% \qu Le polyn\^ome $X^4+1$ admet-il des racines r\'eelles ? Est-il irr\'eductible
% dans $\R[X]$ ? Dans $\C[X]$ ?



\qua Quelle est la partie enti\`ere et quelle est la forme de la d\'ecomposition 
en \'el\'ements simples dans $\R(X)$ de la partie fractionnelle de
\[
\frac{X^6}{(X^2+1)(X-1)^3}
\]
(On ne demande pas de d\'eterminer les coefficients).
\solution{La partie enti\`ere est $X+3$, la forme de la d\'ecomposition en
\'el\'ements simples de la partie fractionnelle est
\[
\frac{aX+b}{X^2+1} + \frac{c}{(X-1)^3} + \frac{d}{(X-1)^2} + \frac{e}{(X-1)}\ko
\]
pour des constantes $a,b,c,d,e\in\R$.}


\exo On consid\`ere un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires \`a coefficients r\'eels homog\`ene
\`a $3$ \'equations et $5$ inconnues. 


\qu Quelle peut \^etre la dimension de l'espace des solutions ?
\solution{Elle peut \^etre $5,4,3$ ou $2$ ("chaque \'equation diminue la dimension de
l'espace des solutions de $1$ au plus"). En effet, on sait que la dimension de l'espace
des solutions est $5-r$ o\`u $r$ est le rang de la matrice du syst\`eme. Comme il
s'agit d'une matrice $3\times 5$ le nombre $r$ varie entre $0$ et $3$.}


\qu Donner un exemple de syst\`eme d'\'equations pour chaque valeur possible
de la dimension de l'espace des solutions.
\solution{Notons $x_1, \ldots, x_5$ les inconnues. Les syst\`emes
\[
\begin{array}{ccc}
x_1 & = & 0 \\
x_2 & = & 0 \\
x_3 & = & 0 
\end{array} \quad\ko\quad
\begin{array}{ccc}
x_1 & = & 0 \\
x_2 & = & 0 \\
x_2 & = & 0 
\end{array} \quad\ko\quad
\begin{array}{ccc}
x_1 & = & 0 \\
x_1 & = & 0 \\
x_1 & = & 0 
\end{array} \quad\ko\quad
\begin{array}{ccc}
0 & = & 0 \\
0 & = & 0 \\
0 & = & 0 
\end{array}
\]
ont des espaces de solutions qui sont respectivement de dimension $2,3,4$ et $5$.
}


\exo Soient $A$ et $B$ des matrices $n\times n$ \`a coefficients r\'eels.
D\'evelopper $(A+B)^2$.
\solution{
\[
(A+B)^2= (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2.
\]
}



\exo Soit $S\subset \R^4$ le sous-espace engendr\'e par les colonnes de la matrice
\[
A= \left(\begin{array}{cccc} 1 &  2 & 0 & 1 \\
                          2 &  3 & 1 & 0 \\
                         -1 &  3 & 3 & 1 \\
                        -2  & -1 & 1 & 0
\end{array} \right) \;\; .
\]


\qu Quelle est la dimension de $S$ ? Combien d'\'equations faut-il pour caract\'eriser
les vecteurs de $S$ ? 
\solution{Effectuons des op\'erations \'el\'ementaires sur les colonnes de la
matrice $A$ :
\[
\left(\begin{array}{cccc} 1 &  2 & 0 & 1 \\
                          2 &  3 & 1 & 0 \\
                         -1 &  3 & 3 & 1 \\
                        -2  & -1 & 1 & 0
\end{array} \right) \mapsto
\left( \begin{array}{cccc}
 1  &  0  &  0 &  0 \\
 2  & -1  &  1 & -2 \\
-1 &  5  & 3   &  2 \\
-2 &  3  & 1   &  2 
\end{array} \right) \mapsto
\left(\begin{array}{cccc}
1  &  0  &  0  &  0  \\
2  &  1  &  0  &  0   \\
-1 & -5  &  8  & -8  \\
-2 & -3  &  4  & -4  
\end{array} \right) \mapsto
\left(\begin{array}{cccc}
1  &  0  &  0  &  0  \\
2  &  1  &  0  &  0  \\
-1 & -5  &  1  &  0  \\
-2 & -3  & 1/2 &  0 
\end{array} \right)
\]
La derni\`ere matrice est UNE forme \'echelonn\'ee par rapport aux
colonnes (=cef=column echelon form). Pour une telle matrice, le sous-espace
engendr\'e par les colonnes est de dimension \'egale au nombre de
colonnes non nulles. Donc il est de dimension $3$. Comme les op\'erations
\'el\'ementaires laissent inchang\'e le sous-espace engendr\'e par
les colonnes, le sous-espace $S$ est de dimension $3$. Il faut
donc $4-3=1$ e\'quation pour caract\'eriser les vecteurs de $S$.
}



\qu Donner un syst\`eme d'\'equations homog\`ene dont $S$ est l'ensemble des
solutions.
\solution{Continuons les op\'erations \'el\'ementaires sur les colonnes
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1  &  0  &  0  &  0  \\
0  &  1  &  0  &  0  \\
9  &  -5 &  1  &  0  \\
4  &  -3 & 1/2 &  0 
\end{array} \right) \mapsto
\left(\begin{array}{cccc}
1    &  0   &  0   &  0  \\
0    &  1   &  0   &  0  \\
0    &  0   &  1   &  0  \\
-1/2 & -1/2 & 1/2  &  0 
\end{array} \right).
\]
La derni\`ere matrice est LA forme \'echelonn\'ee 
r\'eduite suivant les colonnes (=rcef=reduced column echelon form).
Nous lisons sur la forme r\'eduite que l'espace $S$ est
form\'e des vecteurs
\[
t_1 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1/2 \end{array} \right] +
t_2 \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1/2 \end{array} \right] +
t_3 \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1/2  \end{array} \right] =
\left[\begin{array}{c} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \\ -t_1/2 -t_2/2 + t_3/2 \end{array}\right].
\]
Il s'ensuit que les vecteurs de $S$ sont caract\'eris\'es par l'\'equation
\[
x_4 = -x_1/2 -x_2/2 + x_3/2 \ko
\]
ou, de mani\`ere \'equivalente, par
\[
x_1 +x_2 - x_3 + 2 x_4 =0.
\]
}



\exo Soit $E$ l'espace des fonctions $y: \R \ra \R$ de classe $C^2$ solutions de l'\'equation
diff\'erentielle $y''+y=0$. 
\qu Donner une base de $E$.
\solution{Les fonctions $x\mapsto \sin(x)$ et $x\mapsto \cos(x)$ forment une base
de $E$.}



\qu Soit $x_0\in \R$ et soit $\phi_{x_0} : E \ra \R^2$ l'application qui, \`a
$y\in E$, associe $(y(x_0), y'(x_0))$. Montrer que $\phi_{x_0}$ est lin\'eaire et bijective.
\solution{Si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions et $a_1,a_2\in \R$, on a
\begin{eqnarray*}
\phi_{x_0}(a_1 y_1+ a_2 y_2) & = & 
\left[\begin{array}{c} (a_1 y_1+a_2 y_2)(x_0) \\
                 (a_1 y_2+a_2 y_2)'(x_0) 
\end{array} \right] =
\left[\begin{array}{c} a_1 y_1(x_0) +a_2 y_2(x_0) \\
                 a_1 y_1'(x_0) + a_2 y_2'(x_0) \end{array} \right]
= a_1 \, \left[\begin{array}{c} y_1(x_0) \\ y_1'(x_0) \end{array} \right] + a_2\,
         \left[\begin{array}{c} y_2(x_0) \\ y_2'(x_0) \end{array} \right]  \\
& = & a_1 \phi_{x_0}(y_1) + a_2 \phi{x_0}(y_2).
\end{eqnarray*}
Donc $\phi_{x_0}$ est lin\'eaire de $E$ dans $\R^2$. On sait que pour tous
$(a,b)\in \R^2$, il existe une solution et une seule de l'\'equation $y''+y=0$
telle que $y(x_0)=a$ et $y'(x_0)=b$. Cela signifie que $\phi_{x_0}$ est bijective.
}



\qu D\'eterminer la matrice dans la base canonique de l'application $\phi_{x_0} \circ \phi_0^{-1}$.
\solution{Nous avons $\phi_0(\cos)=(1,0)$ et $\phi_0(\sin)=(0,1)$. Donc
\begin{eqnarray*}
\phi_{x_0}(\phi_0^{-1} (1,0)) & = & \phi_{x_0}(\cos) = (\cos(x_0), -\sin(x_0)) \\
\phi_{x_0}(\phi_0^{-1} (0,1)) & = & \phi_{x_0}(\sin) = (\sin(x_0), \cos(x_0))
\end{eqnarray*}
Ainsi, la matrice recherch\'ee est
\[
\left(
\begin{array}{cc}  
\cos(x_0) & \sin(x_0) \\
-\sin(x_0) & \cos(x_0)
\end{array} 
\right).
\]
}



\exo Soit la matrice
\[
A = \left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\; .
\]


\qu Trouver les valeurs propres de $A$.
\solution{Nous avons
\begin{eqnarray*}
\det(A - x I_3) = \det
\left[\begin{array}{ccc} 
2-x & -2 & 0 \\
1 & -x & -1 \\
0 & 0 & -x 
\end{array} \right]
& = & x^2(2-x) -2x = -x^3 +2x^2 -2x = -x (x^2-2x +2) \\
& = & -x ((x-1)^2 +1)  = -x (x-1+i)(x-1-i).
\end{eqnarray*}
Les valeurs propres sont donc $0$, $1-i$ et $1+i$.
}



\qu La matrice $A$, est-elle diagonalisable sur $\C$ ? Sur $\R$ ?
\solution{Comme la matrice $A$ est $3\times 3$ et admet trois valeurs propres distinctes,
elle est bien diagonalisable sur $\C$.
Comme certaines valeurs propres de $A$ ne sont pas r\'eelles, elle n'est
pas diagonalisable sur $\R$. 
}


\qu La matrice $A^8$, est-elle diagonalisable sur $\C$ ? Sur $\R$ ?
\solution{Les puissances d'une matrice diagonalisable sont diagonalisables
(pourquoi ?). Donc $A^8$ est encore diagonalisable sur $\C$. Ses valeurs
propres sont $0$,
\[
(1-i)^8 = ((1-i)^2)^4= (-2i)^4 = 16\mbox{ et } (1+i)^8 = (2i)^4 = 16.
\]
Elles sont r\'eelles. Comme la matrice $A^8$ est diagonalisable sur $\C$ et que
ses valeurs propres sont r\'eelles, elle est diagonalisable sur $\R$.
}



\exo 
\qua Quelle est la signature de la forme quadratique
$q(x,y,z)=x^2+2yz-xz$ ?
\solution{Nous avons
\[
x^2+2yz-xz=(x-z/2)^2 -z^2 +2 yz = (x-z/2)^2 -\frac{1}{4}(z-4y)^2 +4y^2.
\]
Comme les trois formes lin\'eaires $x-z/2$, $z-4y$ et $y$ sont 
lin\'eairement ind\'ependantes, la signature de $q$ est $(2,1)$.
}



\qua Soit $b$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique de matrice
\[
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array} \right)
\]
dans la base canonique de $\R^3$. Montrer que $b$ est d\'efinie positive.
Compl\'eter le vecteur $e_1=\;^{t}(1,0,0)$ en une base orthonorm\'ee pour $b$.
\solution{Soit $q$ la forme quadratique associ\'ee \`a $b$. Nous avons
\[
q(x,y,z)= x^2+2xz + 4 y^2 + 2yz + 4 z^2 = (x+z)^2 +  + 4(y+z/4)^2  + 11/4\, z^2 .
\]
Comme les formes lin\'eaires $x+z$, $y+z/4$ et $z$ sont lin\'eairement
ind\'ependantes, la forme $b$ est bien d\'efinie positive. Un vecteur
$(x,y,z)$ est orthogonal \`a $e_1$ ssi il v\'erifie
\[
x+z=0.
\]
Le vecteur $v=(\frac{1}{\sqrt{3}},0,\frac{-1}{\sqrt{3}})$ est orthogonal \`a $e_1$ et
v\'erifie $q(v)=1$. Un vecteur est orthogonal \`a $e_1$ et $v$ ssi
il v\'erifie
\begin{eqnarray*}
  x+z & = & 0 \\
-y-3z & = & 0 
\end{eqnarray*}
Il est alors proportionnel au vecteur $w'=(-1,-3,1)$. On a
\[
q(w')= 1 + 2(-1) + 36 -6 + 4 = 33.
\]
Si on pose $w=1/\sqrt{33} \, w'$, les vecteurs $e_1, v,w$ forment
une base orthonorm\'ee pour $b$.
}

\end{document}