Université de Paris 7 CAPES Ecrit: 2002-2003

1 Algèbre linéaire, polynômes et fractions rationnelles

1.1 Définitions et propriétés élémentaires

Soit k un corps commutatif (par exemple k = ℝ ou k = ℂ).

• Définition: Un triplet (E, +, .) est un k-espace vectoriel si (E, +) est un groupe abélien et si la multiplication externe: k × E → E, (λ, x) ↦ λ.x vérifie les propriétées suivantes: ∀λ, μ ∈ k, ∀x, y ∈ E : λ.(x + y) = λ.x + λ.y, (λ + μ).x = λ.x + μ.x, (λμ).x = λ.(μ.x), 1.x = x • Soit (E, +, .) un espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel de E est une partie F ⊂ E telle que 0 ∈ F et ∀λ ∈ k, ∀x, y ∈ F : λx ∈ F et x + y ∈ F. Dans ce cas, F est un espace vectoriel pour les lois induites par celles de E.

Dans la pratique, on essaie d’abord de montrer qu’un espace donné est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu.

• Propriété: Soient E un espace vectoriel et I un ensemble quelconque. Pour tout i ∈ I, on se donne un sous-espace vectoriel F_{i} de E. Alors ⋂_{i∈I} F_{i} est un sous espace vectoriel de E.

• Définitions: On appelle sous-espace vectoriel engendré par une partie A d’un espace vectoriel E l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A. La somme F + G de deux sous-espaces F et G de E est l’espace vectoriel engendré par F ∪ G.

• Propriétés: Le sous-espace vectoriel engendré par A est aussi l’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments de A. De plus: F + G = {v ∈ E|∃x ∈ F, y ∈ G, v = x + y}

• Définition: Deux sous-espaces vectoriels F et G sont en somme directe dans E si F ∩ G = {0}. On écrit alors F + G = F ⊕ G. Ils sont supplémentaires si E = F ⊕ G. Autrement dit: E = F + G et F ∩ G = {0}.

• Définitions: Soient E et F des k-espaces vectoriels. Une application f de E dans F est linéaire si ∀λ ∈ k, ∀x, y ∈ E : f(x + y) = f(x) + f(y), f(λ.x) = λ.f(x) On appelle noyau d’une application linéaire f l’image réciproque du vecteur nul (noté ker f).

• Propriété: Le noyau et l’image d’une application linéaire de E dans F sont des sous-espaces vectoriels respectivement de E et F.

• Propriété: Soit f : E → F linéaire. Supposons que G est un supplémentaire de ker f dans E. Alors f induit une application linéaire bijective de G dans Imf.

• Définitions: Une partie de E est génératrice si le sous-espace vectoriel qu’elle engendre est E. Une partie A de E est libre si aucun élément non nul x de A n’est combinaison linéaire d’un nombre fini d’éléments de A distincts de x. Une base de E est une partie libre et génératrice. Des vecteurs e_{1}, ..., e_{n} de E sont linéairement indépendants s’ils forment une partie libre. Dans le cas contraire, ils sont linéairement dépendants ( = liés).

1.2 Espaces vectoriels de dimension finie

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• Théorème: (Existence de bases) Soit E un espace vectoriel engendré par une famille finie. Alors E admet une base finie.

• Théorème: (Base incomplète) Soit E un espace vectoriel admettant une partie génératrice G finie. Soit L une partie libre finie de E. Alors il existe une base B de E telle que L ⊂ B ⊂ L ∪ G.