\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\1}[1]{\`{#1}}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\reel}{\R}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\complex}{\C}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\nat}{\N}
\newcommand{\permutations}{\mathfrak{S}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

\def\.{\par\noindent$\bullet$}
\def\im{{\rm Im}}
\def\mat{{M}}
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\hilb{\mbox{Hilb}}
\def\al{\mbox{Al}}
\def\Ext{{\cal E}xt }
\def\Tor{{\cal T}or }
\def\ext{\mbox{Ext}}
\def\hom{\mbox{Hom}}
\def\prefix#1{\mbox{{\footnotesize $( #1 )$}-}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}

%\renewcommand\contentsname{Table des mati{\`e}res}
%\renewcommand\refname{Bibliographie}
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%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
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\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\OO}{{\cal O}}
\newcommand{\Op}{{{\cal O}_{\proj_3}}}
%%%%%%%
\def\kercoker#1{\!\!\!\stackunder{
    \begin{array}{c}
        \phantom{.}\searrow \phantom{M} \nearrow \phantom{.}\\
         #1 \\
        \phantom{.}\nearrow \hfill \searrow\phantom{.} \\
       ^0\hfill ^0
    \end{array}}{\longrightarrow }\!\!\!}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\begin{document}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill CAPES
  Ecrit:  2002-2003\smallskip} \hrule
\setcounter{section}{1}\setcounter{subsection}{2}\setcounter{page}{2}

\medskip
\. {\bf Th{\'e}or{\`e}me,D{\'e}finition:} Soit $E$ un espace vectoriel engendr{\'e}
par une famille finie. Alors toutes les bases de $E$ ont m{\^e}me
cardinal. On appelle \textsf{dimension} de $E$ ce nombre.
\. {\bf D{\'e}finition:} On appelle \textsf{rang d'une application
  lin{\'e}aire} la dimension de son image.

\noindent{\it Soient $E$ et $F$ des  espaces vectoriels
de dimension finie, et $f$ une application lin{\'e}aire de $E$ dans
$F$.}
\. {\bf Th{\'e}or{\`e}me du rang:} On a $\dim E=rang(f)+\dim(\ker(f))$
\. {\bf Matrice d'une application lin{\'e}aire:} Soient ${\cal B}$ et
${\cal B'}$ des bases de $E$ et $F$. On appelle \textsf{matrice} de
$f$ dans les bases ${\cal B}$ et ${\cal B'}$ la matrice dont la
$j$-i{\`e}me colone est constitu{\'e}e des coordonn{\'e}es dans ${\cal B'}$ de
l'image par $f$  du  $j$-i{\`e}me vecteur de ${\cal B}$.
\. {\bf Matrice de passage:} Extrait du programme: ``La matrice de
passage de la base ${\cal B}$ {\`a} la base ${\cal C}$ est la matrice dont la $j$-i{\`e}me
colonne est form{\'e}e des coordon{\'e}es dans ${\cal B}$ du $j$-i{\`e}me vecteur de
${\cal C}$''.
\. {\bf Propri{\'e}t{\'e} de la trace:} On a $trace(AB)=trace(BA)$ o{\`u}
$A\in\mat_{n\times p}(k)$ et $B\in\mat_{p\times n}(k)$.\\
\dots
\subsection{Polyn{\^o}mes, fractions rationnelles}
\subsubsection{Quelques propri{\'e}t{\'e}s de $k[X]$}
\. {\bf Formule de Taylor:} Soit $P\in k[X]$, alors:
$\displaystyle \forall a\in k: P(X)=\sum_{i=0}^{\deg
  P}\frac{P^{(i)}(a)}{i!}(X-a)^i$  
\. Division Euclidienne,PGCD,PPCM,...
\. {\bf Th{\'e}or{\`e}me:} Les id{\'e}aux de $k[X]$ sont principaux.
\. {\bf Th{\'e}or{\`e}me de Bezout:} Soient $A$ et $B$ des {\'e}l{\'e}ments de $k[X]$,
alors $A$ et $B$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe
$U$ et $V$ dans $k[X]$ tels que $AU+BV=1$
\. {\bf Polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles:} Un polyn{\^o}me $P$ de $k[X]$ non constant est
irr{\'e}ductible s'il ne peut pas se d{\'e}composer dans $k[X]$ en un produit
de 2 polyn{\^o}mes non constants.
\. {\bf Propri{\'e}t{\'e}:} Dans $k[X]$, un polyn{\^o}me de degr{\'e} 2 ou 3 est
irr{\'e}ductible si et seulement si il n'a pas de racines dans $k$.


\subsubsection{Les cas r{\'e}el et complexe}
\. {\bf Th{\'e}or{\`e}me de d'Alembert:} Tout {\'e}l{\'e}ment de $\complex[X]$ non
constant a une racine.
\. {\bf Corollaire:} Les polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles de $\complex[X]$ sont
les polyn{\^o}mes de degr{\'e} 1.
\. {\bf Corollaire:} Les polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles de $\reel[X]$ sont
les polyn{\^o}mes de degr{\'e} 1, et les polyn{\^o}mes de degr{\'e} 2 sans racines.  
\subsubsection{Fractions rationnelles}
\. {\bf D{\'e}finition:} On appelle \textsf{d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments
  simples} d'un {\'e}l{\'e}ment de $k(X)$ une {\'e}criture de la forme
  $\displaystyle P(X)+\sum_{n=0}^N\sum_{j=1}^{i_n}\frac{P_{n,j}(X)}{Q_n(X)^j}$ o{\`u} les
  $Q_n$ sont des irr{\'e}ductibles de $k[X]$, o{\`u} $P(X)$ est un polyn{\^o}me
  appel{\'e} \textsf{partie enti{\`e}re} de la fraction et o{\`u} $\forall
  n\in\{0,...,N\}, \forall 
  j\in\{1,...,n\},P_{n,j}\in k[X],\deg P_{n,j}<\deg Q_n$ .
\. {\bf Th{\'e}or{\`e}me:} La famille $\left\{\frac{1}{(X-a)^i}|a\in \complex, i\in
\nat^*\right\}\cup \left\{X^i|i\in\nat\right\}$ est une base de $\complex(X)$.
\. {\bf Remarque:} D{\'e}composer en {\'e}l{\'e}ments simples un
{\'e}l{\'e}ment de $\complex(X)$ revient \`a l'{\'e}crire comme combinaison lin\'eaire
  des vecteurs de cette base. 
\. {\bf Corollaire:} Tout {\'e}l{\'e}ment de $\reel(X)$ peut s'{\'e}crire de
mani{\`e}re unique sous la forme:\\
$\displaystyle P(X)+\sum_{n=0}^N\sum_{j=1}^{i_n}\frac{a_{n,j}}{(X-b_n)^{j}}+\sum_{n=0}^{N'}\sum_{j=1}^{i'_n}\frac{c_{n,j}X+d_{n,j}}{(B_{n})^j}$
o{\`u} les $B_n$ sont des polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles de degr{\'e} 2, o{\`u} $P(X)\in
  \reel[X]$, et o{\`u} les $a_{n,j},b_{n,j},c_{n,j},d_{n,j}$ sont des r{\'e}els.  
\end{document}
