Université de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-2002

1.4 Réduction des endomorphismes

Dans toute cette partie, on considère un corps commutatif k, un k-espace vectoriel E de dimension finie n, et un endomorphime u de E.

1.4.1 Valeurs propres, propriétés élémentaires

• Définition: Un élément λ ∈ k est une valeur propre de u si l’espace E_{λ} = ker(u − λId) n’est pas réduit à {0}. Dans ce cas, E_{λ} est l’espace propre associé à λ et vecteurs non nuls de E_{λ} sont des vecteurs propres. Le polynôme caractéristique de u est le polynôme P_{u}(X) = det(u − X.id).

• Propriété: Si λ est distinct de μ_{1}, …, μ_{s} alors E_{λ} ∩ (E_{μ_{1}} + … + E_{μ_{s}}) = {0}.

• Définition: u est diagonalisable sur k si E = ⨁_{j=1}^{i} E_{λ_{j}}, où λ_{1}, …, λ_{i} sont les valeurs propres

distinctes deux à deux de u dans k.

Remarque: u est donc diagonalisable si et seulement si ∑_{j=1}^{i} dim E_{λ_{j}} = dim E.

• Proposition: dim E_{λ} est inférieur ou égal à la multiplicité de λ en tant que racine du polynôme caractéristique P_{u}.

• Théorème: u est diagonalisable si et seulement si toutes les racines de P_{u} appartiennent à k et pour toute racine λ de P_{u}, la dimension dim E_{λ} est égale à la multiplicité de λ en tant que racine de P_{u}.

1.4.2 Théorème des noyaux

• Lemme: u, v ∈ L(E), si u ∘ v = v ∘ u alors ker u et Imu sont stables par v.

Exercice: 1) Prouver le lemme. 2) Si u a n valeur propres distinctes et uv = vu, alors u et v sont simultanément diagonalisables.

• Théorème de noyaux: Soient P, Q ∈ k[X] tels que P ∧ Q = 1. Alors ker(P Q(u)) = ker P (u) ⊕ ker Q(u).

• Ex: Diagonalisation par blocs: Si P_{u}(X) = (X^{2} + 1)(X^{2} + 2) montrer qu’il existe une base de E telle que u ait pour matrice dans cette base une matrice diagonale par blocs de format 2 × 2.

1.4.3 Cas où le polynôme caractéristique est scindé

• Théorème: u est trigonalisable sur k si et seulement si P_{u} est scindé sur k.

• NB: Rappelons que lorsque k = ℂ, le polynôme caractéristique est toujours scindé.

• Définition: (Espace caractéristique) Soit λ une valeur propre de u et α sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique P_{u}. L’espace caractéristique de u associé à la valeur propre λ est l’espace ker(u − λid)^{α}.

• Proposition: Avec les notations précédentes, la suite (ker(u − λid)^{j})_{j∈ℕ} est croissante, et stationnaire à partir d’un rang j_{0} tel que j_{0} ≤ α. On a dim ker(u − λid)^{α} = α.

• Proposition: Si P_{u} est scindé, alors E est somme directe de ses sous espaces caractéristiques.

• Théorème: (Décomposition de Dunford) Si P_{u} est scindé, alors ∃!(n, d) ∈ L(E) × L(E) tels que u = n + d, nd = dn, n est nilpotent et d diagonalisable.

1.4.4 Polynômes annulateurs

• Proposition/Définition: L’ensemble des polynômes annulant u est un idéal de k[X], il est donc engendré par un élément. Le polynôme minimal (noté μ_{u}) de u est le générateur unitaire de cet idéal.

Exemple d’application: Calcul de u^{k} pour k ∈ ℕ.

• Théorème: (Cayley-Hamilton) On a P_{u}(u) = 0 et donc μ_{u}|P_{u}.

• Théorème: u est diagonalisable sur k si et seulement si il existe P ∈ k[X] tel que P (u) = 0 et P est scindé sur k à racines simples.