Université de Paris 7 2002-2003 CAPES: Ecrit

Test d’algèbre

Exercice I:

1) Soit G un groupe. Qu’est-ce qu’un sous-groupe de G ?

2) Rappeler la définition du groupe GL_{2}(ℝ).

3) Soit H ⊂ GL_{2}(ℝ) la partie formée de toutes les matrices

( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , a ∈ ℝ.

La partie H, est-elle un sous-groupe de GL(2, ℝ) ? Justifier.

Exercice II:

Dans le groupe 𝔖_{n} des permutations de {1, …, 7}, considérons les éléments

σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 6 & 1 & 7 & 3 & 4 & 2 \end{matrix} ) et τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 4 & 7 & 6 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) .

1) Décomposer σ et τ en produits de cycles à supports disjoints.

2) Ces deux éléments sont-ils conjugués ?

3) Quel est l’ordre de σ ? Quel est l’élément σ^{145} ?

4) Quel est le plus petit n tel que 𝔖_{n} contienne un élément d’ordre 14 ?

Exercice III:

A) Quels sont les éléments inversibles de l’anneau ℤ/18ℤ ? B) ^{∗} Déterminer le plus petit entier x ≥ 0 tel que x est congru à 1 modulo 13 et congru à 2

modulo 14.

Exercice IV:

A) Un polynôme à coefficients réels sans racines réelles est-il irréductible dans ℝ[X] ? B) Quelle est la partie entière et quelle est la forme de la décomposition en éléments simples

dans ℝ(X) de la partie fractionnelle de

\frac{X^{6}}{(X^{2} + 1)(X − 1)^{3}}

(On ne demande pas de déterminer les coefficients).

Exercice V:

On considère un système d’équations linéaires à coefficients réels homogène à 3 équations et 5 inconnues.

1) Quelle peut être la dimension de l’espace des solutions ?

2) Donner un exemple de système d’équations pour chaque valeur possible de la dimension de l’espace des solutions.

Exercice VI:

Soient A et B des matrices n × n à coefficients réels. Développer (A + B)^{2}.

Exercice VII:

Soit S ⊂ ℝ^{4} le sous-espace engendré par les colonnes de la matrice

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ −1 & 3 & 3 & 1 \\ −2 & −1 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

1) Quelle est la dimension de S ? Combien d’équations faut-il pour caractériser les vecteurs de S ?

2) ^{∗} Donner un système d’équations homogène dont S est l’ensemble des solutions.

Exercice VIII:

Soit E l’espace des fonctions y : ℝ → ℝ de classe C^{2} solutions de l’équation différentielle y′′ + y = 0.

1) Donner une base de E.

2) Soit x_{0} ∈ ℝ et soit ϕ_{x_{0}} : E → ℝ^{2} l’application qui, à y ∈ E, associe (y(x_{0}), y′(x_{0})). Montrer que ϕ_{x_{0}} est linéaire et bijective.

3) Déterminer la matrice dans la base canonique de l’application ϕ_{x_{0}} ∘ ϕ_{0}^{−1}.

Exercice IX:

Soit la matrice

A = ( \begin{matrix}2 & −2 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

1) Trouver les valeurs propres de A.

2) La matrice A, est-elle diagonalisable sur ℂ ? Sur ℝ ?

3) La matrice A^{8}, est-elle diagonalisable sur ℂ ? Sur ℝ ?

Exercice X:

A) Quelle est la signature de la forme quadratique q(x, y, z) = x^{2} + 2yz − xz ? B) Soit b la forme bilinéaire symétrique de matrice

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} )

dans la base canonique de ℝ^{3}. Montrer que b est définie positive. Compléter le vecteur e_{1} = ^{t}(1, 0, 0) en une base orthonormée pour b.