Université Paris 7 – Denis Diderot Préparation au CAPES

Test de géométrie du 23/09/2004

Q.C.M. (plusieurs réponses possibles)

1. Trois points A = (x, y), B = (x′, y′) et C = (x′′, y′′) du plan affine sont sur une même droite si et seulement si

□ det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x & x′ & x′′ \\ y & y′ & y′′ \end{matrix} ) = 0 □ det ( \begin{matrix}x′ − x & x′′ − x \\ y′ − y & y′′ − y \end{matrix} ) = 0 □ ni l’un ni l’autre

2. Soit (ABC) un triangle, M, N et P des points appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB) et différents de A, B et C ; ces trois points sont alignés si et seulement si

□ \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} \frac{\overline{P A}}{\overline{P B}} = 1 □ \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} \frac{\overline{P A}}{\overline{P B}} = −1 □ ni l’un ni l’autre

3. Soit (M, α) et (N, β) deux points massiques avec α + β > 0. Leur barycentre est, relativement à la fonction scalaire de Leibniz,

□ un minimum □ un maximum □ ni l’un ni l’autre

4. Les similitudes du plan complexe sont les applications de la forme z ↦ az + b avec a et b complexes, a non

nul.

□ V rai □ F aux

5. Deux triangles (ABC) et (A′B′C′) sont semblables si et seulement si

□ \frac{AB}{A′B′} = \frac{BC}{B′C′} = \frac{CA}{C′A′} □ leurs angles sont, au signe près, les mêmes □ ni l’un ni l’autre

6. Dans un triangle, on suppose que le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont distincts et on considère la droite affine qui les contient. Appartien(nen)t aussi à cette droite

□ le centre du cercle inscrit □ les centres des cercles exinscrits □ l’orthocentre

7. Soit A = (x, y), B = (x′, y′) et C = (x′′, y′′) trois points du plan affine euclidien. Le déterminant

det ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x & x′ & x′′ \\ y & y′ & y′′ \end{matrix} ) représente (à une constante multiplicative absolue près)

□ l’aire du triangle (ABC) □ le périmètre du triangle (ABC) □ ni l’un ni l’autre

8. Soit D_{i} (1 ≤ i ≤ 3) des droites du plan euclidien orienté et u_{i} (1 ≤ i ≤ 3) des vecteurs non nuls respectivement de D_{i}. On note { \atop D_{i}, D_{j}} l’angle des droites D_{i} et D_{j} et { \atop u_{i}, u_{j}} l’angle des vecteurs u_{i} et u_{j}. On note A la propriété { \atop D_{1}, D_{2}} = { \atop D_{1}, D_{3}} et B la propriété { \atop u_{1}, u_{2}} = { \atop u_{1}, u_{3}}. On a

□ A ⇒ B □ B ⇒ A □ ni l’un ni l’autre

9. L’ensemble des points M du plan tels que l’angle de droites { \atop MA, MB} soit constant est (à l’exception des

points A et B)

□ Un cercle □ Un arc de cercle □ ni l’un ni l’autre

10. La tangente en un point M d’une ellipse de foyers F et F′ est une bissectrice extérieure du triangle (MF F′)

□ V rai □ F aux

11. L’angle et l’axe d’une rotation dans l’espace la caractérisent complètement.

□ V rai □ F aux

Question de cours

Donner la classification des isométries affines des espaces de dimension 2 et 3.

Exercices

Géométrie affine plane On se donne quatre points non alignés A, B, C et D d’un plan affine. Montrer que (ABCD) est un parallélogramme si et seulement si [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.

Géométrie euclidienne plane On se place dans le plan R^{2} affine euclidien.

1. Soit h une homothétie de rapport k et C un cercle de centre Ω et de rayon R. Montrer que h(C) est un cercle. Quels sont le centre et le rayon de h(C) ?

2. Donner le sommet et l’axe de la parabole d’équation (x + 2y)^{2} = 4x + 3y + 1.

3. Donner la nature de la conique d’équation 5x^{2} + 4xy + 2y^{2} − 10x − 4y = 0.

Géométrie euclidienne dans l’espace On se place dans l’espace R^{3} affine euclidien.

1. Soit A, B et C les trois points de coordonnées respectives (-1 2 1), (-3 4 5) et (1 2 0). Trouver les coordonnées de l’intersection du plan médiateur de [AB] et de la droite passant par C et orthogonale à ce plan.

2. Trouver la perpendiculaire commune aux droites d’équations cartésiennes x+y −z −3 = x+z −2 = 0 et 2x + 1 = y + 5z = 0.

3. Exprimer, en fonction de ses coordonnées, la distance d’un point au plan d’équation cartésienne x + y + z = 1.

4. Exprimer, en fonction de ses coordonnées, la distance d’un point à la droite d’équation cartésienne x + y + z − 1 = 2x − y + 3z + 2 = 0.

Extrait du Bac 2003 On se place dans l’espace R^{3} rapporté à un repère orthonormé.

1. Montrer que les plans P et Q d’équations respectives x + \sqrt{3}y − 2z = 0 et 2x − z = 0 ne sont pas parallèles.

2. Soit Δ la droite intersection de P et Q. On considère le cône de révolution Γ d’axe (Ox) contenant la droite Δ comme génératrice. Montrer que Γ admet pour équation cartésienne y^{2} + z^{2} = 7x^{2}.

Extrait du Bac 2003 On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé et orienté. On se donne les points A, B, C d’affixes respectives a = 2, b = 1 − i et c = 1 + i.

1. Calculer (c − a)/(b − a) et en déduire que (ABC) est un triangle rectangle isocèle.

2. Soit r la rotation de centre A telle que r(B) = C. Déterminer l’angle de r et calculer l’affixe de D = r(C).

3. Soit Γ le cercle de diamètre [BC] et M un point de Γ, distinct de C, d’affixe z. Soit M′ d’affixe z′ son image par r. Montrer qu’il existe θ appartenant à [0, π/2[∪]π/2; 2π[ tel que z = 1 + e^{iθ} et exprimer z′ en fonction de θ.

4. Montrer que (z′ − c)/(z − c) est un réel. En déduire que les points C, M, M′ sont alignés.