\documentclass[10pt,a4paper,A4w]{article}
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\renewcommand{\hat}[1]{\widehat{#1}}

\newcommand{\Rd}{{\mathbf R}}


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\begin{list}{(\roman{subpoint})}{\usecounter{subpoint}
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}{\end{list}}

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\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
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\begin{list}{\arabic{exo}.}{\usecounter{exo}
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}{\end{list}}


\begin{document}
\vspace*{-2cm}
\begin{center}
{\bf Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot \hfill Pr\'eparation au CAPES} \\
\rule[2ex]{\textwidth}{0.5pt}\\[0.5cm]
{\bf Test de g\'eom\'etrie du 23/09/2004}
\end{center}
\begin{center}{\bf Q.C.M.} (plusieurs r�ponses possibles)\end{center}
\begin{list-of-exercises}
\item Trois points 
$A=(x,y)$, $B=(x',y')$ et $C=(x'',y'')$ du plan affine 
sont sur une m�me droite si et seulement si
$$\Box\quad \det\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\ x&x'&x''\\
y&y'&y''\end{array}\right)=0\qquad\Box\quad \det\left(\begin{array}{cc}x'-x&
x''-x\\ y'-y&y''-y\end{array}\right)=0\qquad
\Box\quad\mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Soit $(ABC)$ un triangle, $M$, $N$ et $P$ des points appartenant
respectivement aux droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ et diff\'erents de
$A$, $B$ et $C$~; ces trois points sont
align�s si et seulement si
$$\Box\quad
\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1
\qquad\Box\quad
\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1
\qquad \Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre} $$

\item Soit $(M,\alpha)$ et $(N,\beta)$ deux points massiques avec
$\alpha+\beta>0$. Leur barycentre est, relativement � la fonction
scalaire de Leibniz,
$$\Box\quad \mbox{un minimum} \qquad\Box\quad \mbox{un maximum} \qquad
\Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Les similitudes du plan complexe sont les applications de la forme
$z\mapsto az+b$ avec $a$ et $b$ complexes, $a$ non nul.
$$\Box\quad Vrai\qquad\qquad\Box\quad Faux$$

\item Deux triangles $(ABC)$ et $(A'B'C')$ sont semblables si et seulement si
$$\Box\quad \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}\qquad
\Box\quad \mbox{leurs angles sont, au signe pr�s, les m�mes}
\qquad\Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Dans un triangle, on suppose que le centre de gravit� et le centre du
cercle circonscrit sont distincts et on consid\`ere la droite affine qui les
contient. Appartien(nen)t aussi � cette droite
$$\Box\quad \mbox{le centre du cercle inscrit}\qquad
\Box\quad \mbox{les centres des cercles exinscrits}\qquad
\Box\quad \mbox{l'orthocentre}$$

\item Soit $A=(x,y)$, $B=(x',y')$ et $C=(x'',y'')$ trois points du plan
affine euclidien. Le d�terminant $\det\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\
x&x'&x''\\ y&y'&y''\end{array}\right)$ repr�sente (� une constante
multiplicative absolue pr�s)
$$\Box\quad \mbox{l'aire du triangle (ABC)}\qquad
\Box\quad \mbox{le p�rim�tre du triangle (ABC)}\qquad
\Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Soit $D_i$ ($1\le i\le 3$) des droites du plan euclidien orient� et
$u_i$ ($1\le i\le 3$) des vecteurs non nuls respectivement de $D_i$. On note
$\hat{D_i,D_j}$ l'angle des droites $D_i$ et $D_j$ et
$\hat{u_i,u_j}$ l'angle des vecteurs $u_i$ et $u_j$. On note $A$ la
propri�t�
$\hat{D_1,D_2}=\hat{D_1,D_3}$ et $B$ la propri�t�
$\hat{u_1,u_2}=\hat{u_1,u_3}$. On a
$$\Box\quad A\Rightarrow B\qquad \Box\quad B\Rightarrow A\qquad \Box\quad
\mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que l'angle de droites
$\widehat{MA,MB}$ soit constant est (� l'exception des points $A$ et $B$)
$$\Box\quad \mbox{Un cercle}\qquad\qquad\Box\quad \mbox{Un arc de cercle}\qquad
\Box\quad\mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item La tangente en un point $M$ d'une ellipse de foyers $F$ et $F'$ est
une bissectrice ext�rieure du triangle $(MFF')$
$$\Box\quad Vrai\qquad\qquad\Box\quad Faux$$

\item L'angle et l'axe d'une rotation dans l'espace la caract�risent
compl�tement.
$$\Box\quad Vrai\qquad\Box\quad Faux $$
\end{list-of-exercises}

\bigskip

\begin{center}{\bf Question de cours}\end{center}
Donner la classification des isom�tries {\bf affines} des espaces de
dimension 2 et 3.

\bigskip

\hrule

\bigskip

\begin{center}{\bf Exercices}\end{center}
\begin{description}

\item[G�om�trie affine plane]\par
On se donne quatre points non align�s A, B, C et D d'un plan affine. Montrer que
(ABCD) est un parall�logramme si et seulement si [AC] et [BD] se coupent en leur
milieu.

\item[G�om�trie euclidienne plane]\par
On se place dans le plan $\Rd^2$ affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Soit $h$ une homoth�tie de rapport $k$ et $C$ un cercle de centre 
$\Omega$ et de rayon $R$. Montrer que $h(C)$ est un cercle. 
Quels sont le centre et le rayon de $h(C)$ ?
\item Donner le sommet et l'axe de la parabole d'�quation $(x+2y)^2=4x+3y+1$.
\item Donner la nature de la conique d'�quation $5x^2+4xy+2y^2-10x-4y=0$.
\end{enumerate}


\item[G�om�trie euclidienne dans l'espace]\par
On se place dans l'espace $\Rd^3$ affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Soit A, B et C les trois points de coordonn�es respectives (-1 2 1),
(-3 4 5) et (1 2 0). Trouver les coordonn�es de l'intersection du plan m�diateur
de [AB] et de la droite passant par C et orthogonale � ce plan.
\item Trouver la perpendiculaire commune aux droites d'�quations cart�siennes
$x+y-z-3=x+z-2=0$ et $2x+1=y+5z=0$.
\item Exprimer, en fonction de ses coordonn�es, la distance d'un point au plan
d'�quation cart�sienne $x+y+z=1$.
\item Exprimer, en fonction de ses coordonn�es, la distance d'un point � la
droite d'�quation cart�sienne $x+y+z-1=2x-y+3z+2=0$.
\end{enumerate}

\item[Extrait du Bac 2003]\par
On se place dans l'espace $\Rd^3$ rapport� � un rep�re orthonorm�.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les plans $P$ et $Q$ d'�quations 
respectives $x+\sqrt3y-2z=0$ et 
$2x-z=0$ ne sont pas parall�les.
\item Soit $\Delta$ la droite intersection de $P$ et $Q$. 
On consid�re le c�ne de
r�volution $\Gamma$ d'axe $(Ox)$ contenant la droite $\Delta$ 
comme g�n�ratrice.
Montrer que $\Gamma$ admet pour �quation cart�sienne $y^2+z^2=7x^2$.
\end{enumerate}

\item[Extrait du Bac 2003]\par On se place dans le plan complexe
rapport� � un rep�re orthonorm� et orient�. On se donne les points $A$, $B$,
$C$ d'affixes respectives $a=2$, $b=1-i$ et $c=1+i$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $(c-a)/(b-a)$ et en d�duire que $(ABC)$ est 
un triangle rectangle isoc�le.
\item Soit $r$ la rotation de centre A telle que $r(B)=C$. 
D�terminer l'angle de $r$ et calculer l'affixe de $D=r(C)$.
\item Soit $\Gamma$ le cercle de diam�tre $[BC]$ et $M$ un point de $\Gamma$, 
distinct de $C$, d'affixe $z$. Soit $M'$ d'affixe $z'$ son image par $r$. 
Montrer qu'il existe $\theta$ appartenant � $[0,\pi/2[\cup]\pi/2;2\pi[$ 
tel que $z=1+e^{i\theta}$ et exprimer $z'$ en fonction de $\theta$.
\item Montrer que $(z'-c)/(z-c)$ est un r�el. En d�duire que les points 
$C$, $M$, $M'$ sont align�s.
\end{enumerate}

\end{description}
\end{document}
