\documentclass[10pt,a4paper,A4w]{article}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{t1enc}

\setlength{\textheight}{25cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.5cm}

%\setlength{\textheight}{27cm}

\renewcommand{\hat}[1]{\widehat{#1}}

\newcommand{\Rd}{{\mathbf R}}


%subsublist
\newcounter{subpoint}
\newenvironment{subsublist}{
\begin{list}{(\roman{subpoint})}{\usecounter{subpoint}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.5em}}
}{\end{list}}

%sublist
\newcounter{point}
\newenvironment{sublist}{
\begin{list}{\alph{point})}{\usecounter{point}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}



%liste d'exercices
\newcounter{exo}
\newenvironment{list-of-exercises}{
\begin{list}{\arabic{exo}.}{\usecounter{exo}
\setlength{\itemsep}{0cm}\setlength{\leftmargin}{1.2em}}
}{\end{list}}


\begin{document}
\vspace*{-2cm}
\begin{center}
{\bf Universit\'e Paris 7 -- Denis Diderot \hfill Pr\'eparation au CAPES} \\
\rule[2ex]{\textwidth}{0.5pt}\\[0.5cm]
{\bf Test de g\'eom\'etrie du 15/09/2005}
\end{center}
\begin{center}{\bf Q.C.M.} (plusieurs réponses possibles)\end{center}
\begin{list-of-exercises}
\item Trois points 
$A=(x,y)$, $B=(x',y')$ et $C=(x'',y'')$ du plan affine 
sont sur une même droite si et seulement si
$$\Box\quad \det\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\ x&x'&x''\\
y&y'&y''\end{array}\right)=0\qquad\Box\quad \det\left(\begin{array}{cc}x'-x&
x''-x\\ y'-y&y''-y\end{array}\right)=0\qquad
\Box\quad\mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Soit $(ABC)$ un triangle, $M$, $N$ et $P$ des points appartenant
respectivement aux droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ et diff\'erents de
$A$, $B$ et $C$~. Les droites $(AM)$, $(BN)$, $(CP)$ sont concourantes
si et seulement si
$$\Box\quad
\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1
\qquad\Box\quad
\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1
\qquad \Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre} $$

\item Soit $M$ un point du plan affine euclidien, $d$ une droite et
$M'$ le projet\'e orthogonal de $M$ sur $d$. Alors la distance
$MM'$ est, par rapport \`a toutes les distances $MP$, $P\in d$,
$$\Box\quad \mbox{un minimum} \qquad\Box\quad \mbox{un maximum} \qquad
\Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Les similitudes du plan complexe sont les applications de la forme
$z\mapsto az+b$ avec $a$ et $b$ r\'eels, $a$ non nul.
$$\Box\quad Vrai\qquad\qquad\Box\quad Faux$$

\item Deux triangles $(ABC)$ et $(A'B'C')$ sont semblables si et seulement si
$$\Box\quad \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}\qquad
\Box\quad \mbox{leurs angles sont, au signe près, les mêmes}
\qquad\Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Dans un triangle, on suppose que l'orthocentre et le centre du
cercle circonscrit sont distincts et on consid\`ere la droite affine qui les
contient. Appartien(nen)t aussi à cette droite
$$\Box\quad \mbox{le centre du cercle inscrit}\qquad
\Box\quad \mbox{les centres des cercles exinscrits}\qquad
\Box\quad \mbox{le centre de gravit\'e}$$

\item Soit $A=(x,y)$, $B=(x',y')$ et $C=(x'',y'')$ trois points du plan
affine euclidien. Le déterminant $\det\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\
x&x'&x''\\ y&y'&y''\end{array}\right)$ représente (à une constante
multiplicative absolue près)
$$\Box\quad \mbox{l'aire du triangle (ABC)}\qquad
\Box\quad \mbox{le périmètre du triangle (ABC)}\qquad
\Box\quad \mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item Soit $D_i$ ($1\le i\le 3$) des droites du plan euclidien orienté et
$u_i$ ($1\le i\le 3$) des vecteurs non nuls respectivement de $D_i$. On note
$\hat{D_i,D_j}$ l'angle des droites $D_i$ et $D_j$ et
$\hat{u_i,u_j}$ l'angle des vecteurs $u_i$ et $u_j$. On note $A$ la
propriété
$\hat{D_1,D_2}=\hat{D_1,D_3}$ et $B$ la propriété
$\hat{u_1,u_2}=\hat{u_1,u_3}$. On a
$$\Box\quad A\Rightarrow B\qquad \Box\quad B\Rightarrow A\qquad \Box\quad
\mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que l'angle de droites
$\widehat{MA,MB}$ soit constant est (à l'exception des points $A$ et $B$)
$$\Box\quad \mbox{Un cercle}\qquad\qquad\Box\quad \mbox{Un arc de cercle}\qquad
\Box\quad\mbox{ni l'un ni l'autre}$$

\item La tangente en un point $M$ d'une ellipse de foyers $F$ et $F'$ est
une bissectrice extérieure du triangle $(MFF')$
$$\Box\quad Vrai\qquad\qquad\Box\quad Faux$$

\item L'angle et l'axe d'une rotation dans l'espace la caractérisent
complètement.
$$\Box\quad Vrai\qquad\Box\quad Faux $$
\end{list-of-exercises}

\bigskip

\begin{center}{\bf Question de cours}\end{center}
Donner la liste des isométries d'un t\'etra\`edre
r\'egulier. Quel est le groupe form\'e par ces isom\'etries ?

\bigskip

\hrule

\bigskip

\begin{center}{\bf Exercices}\end{center}
\begin{description}

\item[Géométrie affine plane]\par

D\'emontrer la r\'eponse donn\'ee \`a l'exercice 2.

\item[Géométrie euclidienne plane]\par
On se place dans le plan $\Rd^2$ affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Soit $h$ une homothétie de rapport $k$ et $C$ un cercle de centre 
$\Omega$ et de rayon $R$. Montrer que $h(C)$ est un cercle. 
Quels sont le centre et le rayon de $h(C)$ ?
\item Donner le sommet et l'axe de la parabole d'équation $(3x-y)^2=7x+y+1$.
\item Donner la nature de la conique d'équation $11x^2 + 6xy+3y^2-14 x -6 y$.
\end{enumerate}


\item[Géométrie euclidienne dans l'espace]\par
On se place dans l'espace $\Rd^3$ affine euclidien.
\begin{enumerate}
\item Soit A, B et C les trois points de coordonnées respectives $(1, 3,
1)$, $(1, 9, 5)$ et $(3, 2, 0)$. Trouver les coordonnées de l'intersection
du plan médiateur de [AB] et de la droite passant par C et orthogonale
à ce plan.
\item Trouver la perpendiculaire commune aux droites d'équations cartésiennes
$x-z-3=x+y+2z-4=0$ et $x+y+1=x-y+10z=0$.
\item Exprimer, en fonction de ses coordonnées, la distance d'un point au plan
d'équation cartésienne $x-y+z=1$.
\item Exprimer, en fonction de ses coordonnées, la distance d'un point à la
droite d'équation cartésienne $x-y+z-1=2x-y+3z+2=0$.
\end{enumerate}

\end{description}
\end{document}
