Développements récents de la
théorie des algèbres de Hall
Du 20 au 24 novembre 2006 au
CIRM
Introduction
La théorie des algèbres de Hall est une théorie en
lien avec la
théorie des représentations et la géométrie
algébrique. Dans un sens
large, une algèbre de Hall est une algèbre permettant de
coder une
catégorie. L'objet de la conférence est de faire le point
sur les
développements récents de la théorie dont nous
présentons ici un
historique succinct.
- La terminologie est due à Ringel, faisant
référence aux travaux de Hall
sur les fonctions symétriques où ce dernier fait
correspondre une algèbre
associative à la catégorie des représentations
nilpotentes du carquois
constitué d'un sommet et d'une boucle. Au début des
années 90, Ringel
donne un nouveau départ à la théorie. Dans le
cadre de catégories
héréditaires, il définit une version quantique des
algèbres de Hall et
réalise ainsi la partie positive des algèbres de
Kac-Moody quantiques. Notons que c'est grâce au lien ainsi fait
entre la géométrie des représentations de
carquois et les groupes quantiques que Lusztig a pu développer
sa théorie
de la base canonique.
- En étudiant une algèbre de Hall associée
à la catégorie des faisceaux
cohérents sur la droite projective, Kapranov ouvre une nouvelle
voie à la
théorie. On peut étendre son étude au cas des
courbes elliptiques, des
surfaces - voir les travaux de Schiffmann et de Kapranov-Vasserot.
- Un autre développement récent de la théorie
consiste à associer une
algèbre de type Hall à des catégories
triangulées, voire des catégories
différentielles graduées (Xiao, Toën,
Caldero-Keller). On peut ainsi
réaliser des algèbres de Lie type Kac-Moody, ainsi que
des algèbres
cluster à partir de certaines catégories
triangulées.
La conférence aura pour but d'une part de réunir quelques
uns des
meilleurs experts sur le sujet et d'autre part d'introduire, de former
les
doctorants et jeunes chercheurs à cette théorie.
Les orateurs suivants ont confirmé leur participation :
P. Baumann,
T. Bridgeland,
I. Burban,
A. Hubery,
B. Keller,
B. Leclerc,
C. M. Ringel,
O. Schiffmann,
B. Toën,
E. Vasserot,
J. Xiao.
Ce colloque est organisé par le
GDR
2432 et soutenu par le réseau de formation par la recherche
Européen Liegrits.
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24 octobre 2005.