Représentations des algèbres de Jordan de rang 2 et fonctions zêta associées.

Par Dehbia Achab à Paris 6

0.Introduction.

Dans un travail précédent (cf. [1], [2]), nous avons défini et étudié les fonctions zêta des représentations des algèbres de Jordan euclidiennes déployées, pour lesquelles nous avons démontré la convergence dans un demi-plan, établi un prolongement analytique et une équation fonctionnelle scalaire. De manière plus précise, soient V une algèbre de Jordan euclidienne simple de rang m et de dimension n, E un espace euclidien de dimension N, ϕ une représentation auto-adjointe de V dans E, Ω le cône symétrique associé à V, et G(Ω) le groupe des automorphismes du cône, c’est à dire

G(Ω) = {g ∈ GL(V) | g(Ω) = Ω}

Soit Q la forme quadratique vectorielle associée à ϕ, déterminée par

< Q(ξ), x >= (ϕ(x)ξ | ξ) ∀ξ ∈ E, ∀x ∈ V.

Nous supposons que les hypothèses suivantes sont vérifiées (H_{1}): V, E et ϕ sont définis sur Q, (H_{2}) La Q-structure V_{Q} de V est déployée, c’est à dire qu’il existe un système complet de m idempotents primitifs deux à deux orthogonaux dans V_{Q}. Soit F (ϕ) le groupe algébrique défini par

F (ϕ) = {h ∈ GL(E) | ∃ρ(h) ∈ G(Ω) | Q(hξ) = ρ(h)Q(ξ)∀ξ ∈ E}

Alors ρ : F (ϕ) → G(Ω) est un morphisme de groupes algébriques dont l’image est notée G(ϕ) (cf.[1], chapitre 1). L étant un réseau dans E_{Q}, soit Γ_{∘} le sous-groupe arithmétique de F (ϕ) défini par

Γ_{∘} = {γ ∈ F (ϕ) | γ(L) = L}.

La fonction zêta ζ_{L} associée à la représentation ϕ et au réseau L a été définie ( dans [1], chapitre 1) par

ζ_{L}(s) = ∑_{l∈Γ_{∘}\L′} det(Q(l))^{−s} s ∈ C,

où L′ = {l ∈ L | det(Q(l)) ≠ 0}. Si Γ̃_{∘} est un sous-groupe d’indice fini de Γ_{∘}, on peut aussi considérer la fonction zêta

ζ̃_{L}(s) = ∑_{l∈_{Γ_{∘}}\L′} det(Q(l))^{−s} s ∈ C.

Les séries zêta ci-dessus convergent absolument pour Re(s) > \frac{N}{2m} (cf.[1], chapitre 1), admettent un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur C, et vérifient une équation fonctionnelle (cf [1], chapitre 2). Ces fonctions zêta ont déjà été étudiées dans les cas où V = Sym(m, R) (fonction zêta de Kœcher, cf. [6] ) et V = Herm(m, H) (cf. [7]). L’objet de cet article est l’étude explicite du cas d’une algèbre de Jordan de rang 2 qui

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donne lieu à de nouvelles fonctions zêta. Nous allons notamment décrire les groupes F (ϕ) et G(ϕ).

1. Préliminaires

a/ Algèbres de Clifford. Soit U un espace vectoriel réel de dimension finie n muni d’une forme quadratique non dégénérée F, soit e_{1}, e_{2},…, e_{n} une base orthogonale pour F. On désigne par T (U) l’algèbre tensorielle de U, et par I l’idéal de T (U) engendré par les éléments de la forme x ⊗ x − F (x). L’algèbre quotient C(F) = T (U)/I s’appelle l’algèbre de Clifford de F. On a une injection canonique de U dans C(F). On sait que l’algèbre de Clifford C(F) est l’algèbre associative engendrée par e_{1},…, e_{n}, sujette aux relations

e_{j}e_{k} + e_{k}e_{j} = 0 1 ≤ j, k ≤ n j ≠ k

e_{j}^{2} = F (e_{j}).1 ∀j, 1 ≤ j ≤ n.

Pour une partie H de {1, 2,…, n}, on pose

e_{H} = e_{h_{1}} … e_{h_{q}} où H = {h_{1},…, h_{q} | h_{1} < … < h_{q}}

avec e_{∅} = 1. On démontre que les 2^{n} éléments e_{H} forment une base de C(F) (comme espace vectoriel réel). Dans C(F), on a trois involutions :

i) ′ définie par : e_{ν} ↦ −e_{ν} 1 ≤ ν ≤ n, appelée automorphisme principal. ii) ∗ définie par : e_{ν_{1}} … e_{ν_{k}} ↦ e_{ν_{k}} … e_{ν_{1}}, appelée antiautomorphisme principal. iii) ¯ définie par : ā = (a′)^{∗} = (a^{∗})′ ∀a ∈ C(F), appelée involution principale.

Les éléments de C(F) de la forme x = ∑_{i=0}^{n} x_{i}e_{i} (où e_{0} = 1) sont appelés vecteurs.

Dans toute la suite on suppose F définie positive et on s’interesse aux algèbres de Clifford associées à F et −F,

C_{n}^{+} = C(F), C_{n}^{−} = C(−F).

Remarquons que i/ C_{n}^{+} est l’algèbre associative engendrée par e_{1},…, e_{n} sujette aux relations

e_{j}^{2} = 1 1 ≤ j ≤ n et e_{j}e_{k} + e_{k}e_{j} = 0, k ≠ j.

ii/C_{n}^{−} est l’algèbre associative engendrée par f_{1},…, f_{n}, sujette aux relations

f_{j}^{2} = −1 1 ≤ j ≤ n et f_{j}f_{k} + f_{k}f_{j} = 0, k ≠ j.

L’espace des vecteurs de C_{n}^{±} sera noté V_{n}. Pour tout entier 1 ≤ p ≤ n, on notera V_{p} l’espace des vecteurs de l’algèbre de Clifford C_{p}^{±} = C(F_{p}), où F_{p} est la restriction de F au sous-espace U_{p} de U, qui est engendré par e_{1},…, e_{p}. Un élément a de C_{n}^{−} est dit transformateur si pour tout x dans V_{n}, il existe y dans V_{n} tel que ax = ya′. Tout vecteur est transformateur et tout produit de transformateurs est un transformateur. Si a est un transformateur, alors le nombre N(a) = aā est un réel positif et N(a) = 0 si et seulement si a = 0. De plus, tout transformateur a de C_{n}^{−} se décompose comme suit en produit de vecteurs

a = a_{1}a_{2} … a_{n} où a_{p} ∈ V_{p} pour tout p, 1 ≤ p ≤ n.

(cf. [8] ).

b/ Algèbres de Jordan euclidiennes de rang 2. U étant comme ci-dessus, soit V_{n} = R ⊕ U et notons B la forme bilinéaire associée à F. Sur V_{n}, on considère les produits suivants :

(λ, u) ∘ (μ, v) = (λμ + B(u, v), λv + μu).

< (λ, u); (μ, v) >= λμ + B(u, v).

Munie de ces deux produits, V_{n} est une algèbre de Jordan euclidienne de rang 2, de dimension n + 1 dont l’unité est e = (1, 0) (cf. [3], [5]).

2. Construction d’une représentation de V_{n} dans C_{n}^{+}

Pour tout ξ_{−} = ∑_{H} ξ_{H}f_{H} dans C_{n}^{−}, on associe canoniquement l’élément ξ_{+} = ∑_{H} ξ_{H}e_{H} de C_{n}^{+}. On peut alors réaliser l’algèbre de Clifford C_{n}^{+} comme l’espace E des matrices

ξ = ( \begin{matrix}α_{−} & β_{−} \\ β′_{−} & α′_{−} \end{matrix} ) α_{−}, β_{−} ∈ C_{n−1}^{−}.

(C_{n−1}^{−} étant la sous-algèbre de C_{n}^{−} engendrée par f_{1},…, f_{n−1}). L’isomorphisme linéaire entre C_{n}^{+} et E est défini par

Ψ : E → C_{n}^{+}
ξ = ( \begin{matrix}α_{−} & β_{−} \\ β′_{−} & α′_{−} \end{matrix} ) ↦ α_{+} + β_{+}e_{n}.

L’algèbre de Jordan V = V_{n} est l’espace des vecteurs de C_{n}^{+}, c’est à dire les x de la

forme x = ∑_{i=0}^{n} x_{i}e_{i}. Pour tout x dans V, notons x̂ l’élément de E de la forme

x̂ = ( \begin{matrix}x_{0} & x_{1} + x_{2}f_{1} + … + x_{n}f_{n−1} \\ x_{1} − x_{2}f_{1} −… − x_{n}f_{n−1} & x_{0} \end{matrix} )

la correspondance x ↦ x̂ est un isomorphisme. Soit ϕ l’application définie par

ϕ : V → End(E)
x ↦ ϕ(x) : ξ ↦ x̂ξ

où x̂ξ est le produit matriciel des éléments de E.

2.1 Proposition. ϕ est une représentation de l’algèbre de Jordan V dans E. Preuve: Il est clair que ϕ est linéaire. Soient x, y ∈ V, vérifions que

ϕ(xy) = \frac{1}{2}(ϕ(x)ϕ(y) + ϕ(y)ϕ(x)).

Cela revient à montrer que

x̂y = \frac{1}{2}(x̂ŷ + ŷx̂)

ce qui est vrai car, si x = (x_{0}, u) et y = (y_{0}, v) où u = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} et v = ∑_{i=1}^{n} y_{i}e_{i}, on a

xy = (∑_{i=0}^{n} x_{i}y_{i}, x_{0}v + y_{0}u)

et alors

x̂y = ( \begin{matrix}∑_{i=0}^{n} x_{i}y_{i} & (x_{0}y_{1} + y_{0}x_{1}) + … + (x_{0}y_{n} + y_{0}x_{n})f_{n−1} \\ (x_{0}y_{1} + y_{0}x_{1}) −… − (x_{0}y_{n} + y_{0}x_{n})f_{n−1} & ∑_{i=0}^{n} x_{i}y_{i} \end{matrix} )

par ailleurs,

\frac{1}{2}(x̂ŷ + ŷx̂)

= \frac{1}{2}( \begin{matrix}x_{0} & x_{1} + … + x_{n}f_{n−1} \\ x_{1} −… − x_{n}f_{n−1} & x_{0} \end{matrix} )( \begin{matrix}y_{0} & y_{1} + … + y_{n}f_{n−1} \\ y_{1} −… − y_{n}f_{n−1} & y_{0} \end{matrix} )

+ \frac{1}{2}( \begin{matrix}y_{0} & y_{1} + … + y_{n}f_{n−1} \\ y_{1} −… − y_{n}f_{n−1} & y_{0} \end{matrix} )( \begin{matrix}x_{0} & x_{1} + … + x_{n}f_{n−1} \\ x_{1} −… − x_{n}f_{n−1} & x_{0} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}α_{−} & β_{−} \\ β′_{−} & α′_{−} \end{matrix} )

où α_{−} = ∑_{i=0}^{n} x_{i}y_{i}, β_{−} = (x_{0}y_{1} + y_{0}x_{1}) + … + (x_{0}y_{n} + y_{0}x_{n})f_{n−1}.

(Le produit des coefficients des matrices de E étant celui de C_{n−1}^{−}.)

Pour tout ξ = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) , α, β ∈ C_{n−1}^{−}, on pose

ξ̃ = ξ̄^{t} = ( \begin{matrix}ᾱ & β̄′ \\ β̄ & ᾱ′ \end{matrix} )

On vérifie facilement que pour ξ, η ∈ E, on a ˜(ξη) = η̃ξ̃ et alors l’application ξ ↦ ξ̃ est un antiautomorphisme de E. Pour tout ξ = ∑ ξ_{H}e_{H}, ou ξ = ∑ ξ_{H}f_{H} on note Re(ξ) = ξ_{∅}. On considère sur E le produit scalaire

(ξ | η) = \frac{1}{2}ReT r(ξη̃).

Vérifions que c’est effectivement un produit scalaire. Il est clair que c’est une forme bilinéaire. Elle est symétrique car Re(T r(ξη̃)) = Re(T r(η̃ξ̃)) = Re(T r(ηξ̃)). Elle est définie positive car

(ξ | ξ) = Re(αᾱ + ββ̄)
f′_{H} = (−1)^{|H|}f_{H} et f_{H}^{∗} = (−1)^{\frac{|H|(|H|−1)}{2}} f_{H}

donc

f̄_{H} = (−1)^{\frac{|H|(|H|+1)}{2}} f_{H}

si α = ∑ α_{H}f_{H} est dans C_{n−1}^{−}, alors ᾱ = ∑ α_{H}(−1)^{\frac{|H|(|H|+1)}{2}} f_{H} et alors Re(αᾱ) = ∑ α_{H}^{2}.

2.2 Proposition. La représentation ϕ est autoadjointe pour ce produit scalaire.

Preuve: Montrons d’abord que pour ξ, η ∈ E, on a Re(T r(ξη)) = Re(T r(ηξ))

en effet, si ξ = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) , η = ( \begin{matrix}λ & μ \\ μ′ & λ′ \end{matrix} ), alors

T r(ξη) = αλ + βμ′ + β′μ + α′λ′ et T r(ηξ) = λα + μβ′ + μ′β + λ′α′

Il ne reste plus qu’à montrer que Re(λα) = Re(αλ), ∀λ, α ∈ C_{n−1}^{−}, ce qui est vrai car si α = ∑ α_{H}f_{H} et λ = ∑ λ_{H}f_{H}, alors

Re(αλ) = ∑ α_{H}λ_{H} = Re(λα).

Montrons maintenant que la représentation est auto-adjointe, en effet

(ϕ(x)ξ | η) = \frac{1}{2}ReT r(x̂ξη̃) = \frac{1}{2}ReT r(ξη̃x̂)

= \frac{1}{2}ReT r(ξ ˜(x̂η)) = (ξ | ϕ(x)η).

Revenons au produit scalaire sur V : pour x, y ∈ V on a < x, y >= ∑_{i=0}^{n} x_{i}y_{i}. On vérifie

facilement que

< x, y >= (x̂ | ŷ) pour tout x, y ∈ V.

Soit Q la forme quadratique vectorielle associée à ϕ ; Q : E → V est déterminée par

< Q(ξ), x >= (ϕ(x)ξ | ξ)∀x ∈ V, ξ ∈ E.

Or

< Q(ξ), x >= (Q̂(ξ) | x̂) = \frac{1}{2}ReT r(Q̂(ξ)x̂)

et

(ϕ(x)ξ | ξ) = \frac{1}{2}ReT r(x̂ξξ̃) = \frac{1}{2}ReT r(ξξ̃x̂).

Ceci ne nous permet pas de conclure que Q̂(ξ) = ξξ̃ pour tout ξ dans E car ξξ̃ n’est pas toujours un vecteur de C_{n}^{+}. Notons V ect(η) la partie vecteur pour tout η dans C_{n}^{±} et soit p la projection de E sur V définie par :

Pour tout ξ = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) dans E, on lui associe p(ξ) dans V tel que

p̂(ξ) = ( \begin{matrix}Re(α) & V ect(β) \\ \overline{V ect(β)} & Re(α) \end{matrix} )

alors

Q(ξ) = p(ξξ̃).
3. Le groupe F_{n}

Dans ce qui suit, nous explicitons le sous-groupe arithmétique associé à ϕ et à un réseau L de E. Nous commençons d’abord par décrire les groupes F (ϕ) et G(ϕ) définis dans l’introduction.

3.1 Proposition. L’ensemble F_{n} des matrices

( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) , α, β transformateurs dans C_{n−1}^{−} tels que
βᾱ′ ∈ V_{n−1} et N(α) − N(β) ≠ 0

est un groupe. Il est engendré par les ϕ(x), x inversible dans V.

Preuve: Remarquons d’abord que si βᾱ′ ∈ V_{n−1}, alors son conjugué α′β̄ ∈ V_{n−1} et alors l’image de ce dernier par ′, αβ̄′ ∈ V_{n−1}.

D’autre part, si x = ∑_{i=0}^{n} x_{i}e_{i} est dans V_{n}, alors x est inversible si et seulement si

q(x) = x_{0}^{2} − x_{1}^{2} −… − x_{n}^{2} ≠ 0.

Soit x ∈ V_{n} inversible, alors x̂ appartient à F_{n}, en effet

x̂ = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) telle que α = x_{0} et β = x_{1} + x_{2}e_{1} + … + x_{n}e_{n−1}

Il est clair que βα^{∗} ∈ V_{n−1}. De plus

N(α) − N(β) = x_{0}^{2} − x_{1}^{2} −… − x_{n}^{2} ≠ 0 car x est inversible.

Soient maintenant x, y ∈ V inversibles et montrons que x̂ŷ ∈ F_{n}, en effet,

x̂ŷ = ( \begin{matrix}x_{0} & x̄ \\ ¯x̄ & x_{0} \end{matrix} )( \begin{matrix}y_{0} & ȳ \\ ¯ȳ & y_{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ),

tels que

x̄ = x_{1} + … + x_{n}f_{n−1}, α = x_{0}y_{0} + x̄¯ȳ, β = x_{0}ȳ + y_{0}x̄.

Vérifions que αβ^{∗} ∈ V_{n−1}, en effet

αβ^{∗} = x_{0}^{2}y_{0}ȳ + x_{0}y_{0}^{2}x̄ + x_{0}x̄¯ȳȳ + y_{0}x̄¯ȳx̄

il est clair que les trois premiers termes sont dans V_{n−1}, quant au dernier, il existe z dans V_{n−1} tel que y_{0}x̄¯ȳx̄ = y_{0}zx̄′x̄ et appartient donc à V_{n−1}. De plus, on montre que

N(α) − N(β) = (x_{0}^{2} − N(x̄))(y_{0}^{2} − N(ȳ) = q(x)q(y) ≠ 0.

Nous allons maintenant montrer que si ξ = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) ∈ F_{n}, x ∈ V_{n} inversible, alors x̂ξ ∈ F_{n}. En effet,

x̂ξ = ( \begin{matrix}x_{0} & x̄ \\ ¯x̄ & x_{0} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ & μ \\ μ′ & λ′ \end{matrix} )

tels que λ = x_{0}α + x̄β′ et μ = x_{0}β + x̄α′. Il est clair que μ et λ sont des transformateurs de C_{n−1}^{−}, montrons que μλ^{∗} ∈ V_{n−1}. En effet,

μλ^{∗} = x_{0}^{2}βα^{∗} + x_{0}N(β)x̄ + x_{0}x̄N(α) + x̄α′β̄x̄

les trois premiers termes sont dans V_{n−1} car βα^{∗} et x̄ le sont, quant au dernier terme, comme α′β̄ est dans V_{n−1}, alors il existe y dans V_{n−1} tel que x̄α′β̄x̄ = N(x̄)y et appartient donc à V_{n−1}. De plus, en utilisant le fait que αβ̄′ = βᾱ′ et β′ᾱ = α′β̄, on montre que

N(λ) − N(μ) = (x_{0}^{2} − N(x̄))(N(α) − N(β)) = q(x)(N(α) − N(β)) ≠ 0. Nous avons donc montré que le groupe engendré par les ϕ(x), x inversible dans V, est contenu dans F_{n}. Il reste à montrer que tout ξ de F_{n} s’écrit comme produit d’un nombre fini de x̂, x inversible dans V. Pour cela, nous allons utiliser le fait que tout transformateur a de C_{n−1}^{−} se décompose a = a_{1}a_{2} … a_{n−1} où a_{p} ∈ V_{p}, pour tout 1 ≤ p ≤ n − 1. On a : α = α_{1} … α_{n−1} et β = β_{1} … β_{n−1} tels que α_{p}, β_{p} ∈ V_{p}. Donc α = aα_{n−1} et β = bβ_{n−1} où a, b ∈ T_{n−2}^{−} (T_{n}^{−} désignant l’ensemble des transformateurs de C_{n}^{−}.) Comme N(α) − N(β) ≠ 0, alors N(α) et N(β) ne sont pas simultanément nuls.

1) si N(α) ≠ 0, comme N(α) = N(a)N(α_{n−1}) alors N(a) et N(α_{n−1}) sont non nuls. De plus,

( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α_{n−1} & 0 \\ 0 & ᾱ_{n−1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & \frac{1}{N(α)} ᾱβ \\ \frac{1}{N(α)}ᾱ′β′ & 1 \end{matrix} )

et ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{1} & 0 \\ 0 & ᾱ_{1} \end{matrix} )… ( \begin{matrix}α_{n−2} & 0 \\ 0 & ᾱ_{n−2} \end{matrix} ).

On a donc montré, dans le cas où N(α) ≠ 0, que l’élément ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) de F_{n} est dans

le groupe engendré par les ϕ(x), x ∈ V, inversible.

2) Si N(α) = 0, alors α = 0 et notre matrice s’écrit ( \begin{matrix}0 & β \\ β′ & 0 \end{matrix} ), avec N(β) ≠ 0. On a

( \begin{matrix}0 & β \\ β′ & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & b \\ b′ & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}β′_{n−1} & 0 \\ 0 & β_{n−1} \end{matrix} ) avec ( \begin{matrix}0 & b \\ b′ & 0 \end{matrix} ) ∈ F_{n−1}.

Ce qui termine la preuve de la proposition.

Le groupe F_{n} opère sur E par multiplication à gauche

ξ ↦ gξ ∀g ∈ F_{n}, ξ ∈ E.

On a

∀g ∈ F_{n}, ∃ ρ(g) ∈ G(Ω) tel que Q(gξ) = ρ(g)Q(ξ), ∀ξ ∈ E

Ω désignant le cône symétrique associé à l’algèbre de Jordan V, c’est à dire le cône de Lorentz et G(Ω) étant le groupe des automorphismes du cône défini dans l’introduction. Pour g ∈ F_{n}, ρ(g) opère sur V par

x ↦ gx̂g̃ pour tout x dans V

en effet, pour tout x dans V et tout ξ dans E, on a

(Q̂(gξ) | x̂) = \frac{1}{2}ReT r(Q̂(ξ)x̂) = \frac{1}{2}ReT r(x̂gξξ̃g̃)

(gQ̂(ξ)g̃ | x̂) = \frac{1}{2}ReT r(gQ̂(ξ)g̃x̂) = \frac{1}{2}ReT r(Q̂(ξ)g̃x̂g)
= \frac{1}{2}ReT r(ξξ̃g̃x̂g) = \frac{1}{2}ReT r(gξξ̃g̃x̂)

ce qui implique que (Q̂(gξ) | x̂) = (gQ̂(ξ)g̃ | x̂) et alors Q̂(gξ) = gQ̂(ξ)g̃.

Notons G_{n} le sous-groupe de F_{n} formé des g = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) tels que N(α) − N(β) = 1.

On sait que, (cf. [8]), le groupe G_{n} est un revêtement à deux feuillets du groupe orthochrone SO_{∘}(1, n) et ρ(G_{n}) = SO_{∘}(1, n).

Pour tout g = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ) dans F_{n}, notons Δ(g) = N(α)−N(β). Si F_{n}^{+} désigne le sous-

groupe de F_{n} formé des g tels que Δ(g) > 0, alors tout g dans F_{n}^{+} s’écrit g = Δ(g)^{\frac{1}{2}} g_{1} où g_{1} est dans G_{n}. Par suite, si on note ρ(g) la transformation de V qui à x dans V associe y dans V tel que ŷ = gx̂g̃, on montre que pour tout g dans F_{n}^{+}, ρ(g) appartient à G(Ω), car

G(Ω) = R_{+}^{∗} × Λ_{n+1} où Λ_{n+1} = SO_{∘}(1, n) ∪ hSO_{∘}(1, n)

h étant la matrice diagonale d’ordre n + 1 dont les n premiers termes sont égaux à 1 et le dernier à -1. Remarquons que h conserve le cône de Lorentz, et Det(h) = −1. La composante connexe G(Ω)^{∘} de l’identité de G(Ω) s’écrit

G(Ω)^{∘} = R_{+}^{∗} × SO_{∘}(1, n).

Nous avons donc

ρ(F_{n}^{+}) = G(Ω)^{∘}

et d’après la théorie générale (cf. [1] chapitre 1), on a montré que si F (ϕ)^{∘} est la composante connexe de l’identité de F (ϕ) (pour la topologie usuelle), alors

ρ(F (ϕ)^{∘}) = G(Ω)^{∘}

donc

ρ(F_{n}^{+}) = ρ(F (ϕ)^{∘}).

Nous avons déjà vu que pour tout g dans F_{n}^{+}, il existe ρ(g) dans G(Ω), opèrant sur V comme ci-dessus, tel que

Q(gξ) = ρ(g)Q(ξ) pour tout ξ dans E.

Le groupe F_{n}^{+} est donc contenu dans le groupe F (ϕ).

3.2 Proposition. Le noyau Ker(ρ) du morphisme ρ : F (ϕ) → G(Ω), est un sousgroupe du groupe orthogonal O(E) et F (ϕ)^{∘} s’écrit

F (ϕ)^{∘} = F_{n}^{+}K où K est un sous-groupe fermé de Ker(ρ).

Par suite, si L est un réseau de E, alors le sous-groupe Γ̃_{∘} de F_{n}^{+} défini par

Γ̃_{∘} = {γ ∈ F_{n}^{+} | γ(L) = L}

est d’indice fini dans Γ_{∘} = {γ ∈ F (ϕ) | γ(L) = L}.

Preuve: Soit g tel que ρ(g) = id, alors Q(gξ) = Q(ξ) pour tout ξ dans E, donc

ReT r(gξξ̃g̃) = ReT r(ξξ̃)

ce qui implique

(gξ | gξ) = (ξ | ξ) pour tout ξ dans E

g est donc bien dans le groupe orthogonal O(E). Comme ρ(F (ϕ)^{∘}) = ρ(F_{n}^{+}), alors les quotients F (ϕ)^{∘}/F (ϕ)^{∘} ∩ Ker(ρ) et F_{n}^{+}/F_{n}^{+} ∩ Ker(ρ) sont isomorphes. Par suite, comme le noyau Ker(ρ) est compact, alors Γ̃_{∘} est d’indice fini dans le sous-groupe

Γ_{1} = {γ ∈ F (ϕ)^{∘} | γ(L) = L}.

De plus, comme F (ϕ) est un groupe algébrique (cf. [1] chapitre 1), alors, d’après un théorème de Whitney, il admet un nombre fini de composantes connexes pour la topologie usuelle, il s’en suit que F (ϕ)^{∘} est d’indice fini dans F (ϕ) et alors Γ_{1} (donc Γ̃_{∘}) est d’indice fini dans Γ_{∘}. En effet, notons h_{1},…, h_{k} un système de représentants de F (ϕ)/F (ϕ)^{∘} et soit γ ∈ Γ_{∘}. Si γ est dans F (ϕ)^{∘} alors γ ∈ Γ_{1} et alors γΓ_{1} = Γ_{1}. Si γ est dans un certain h_{i}F (ϕ)^{∘} alors il existe γ_{i} ∈ F (ϕ)^{∘} tel que γ = h_{i}γ_{i}. Alors

Γ_{∘}/Γ_{1} = {Γ_{1}, h_{1}γ_{1}Γ_{1},…, h_{k}γ_{k}Γ_{1}},

en effet, remarquons d’abord que les γ_{i} vérifient γ_{i}(L) = h_{i}^{−1}(L). Soit γΓ_{1} ∈ Γ_{∘}/Γ_{1} tel que γ ne soit pas dans Γ_{1}, alors il existe 1 ≤ i ≤ k et γ′_{i} dans F (ϕ)^{∘} tels que γ = h_{i}γ′_{i} et on a

γ_{i}(L) = γ′_{i}(L) = h_{i}^{−1}(L)

donc γ_{i}^{−1}γ′_{i} ∈ F (ϕ)^{∘} et γ_{i}^{−1}γ′_{i}(L) = L et alors γ_{i}^{−1}γ′_{i} est dans Γ_{1}, ce qui entraine γ_{i}Γ_{1} = γ′_{i}Γ_{1}. D’où

γΓ_{1} = h_{i}γ′_{i}Γ_{1} = h_{i}γ_{i}Γ_{1}

et Γ_{∘}/Γ_{1} est fini. Nous en déduisons que Γ̃_{∘} est un sous-groupe arithmétique de F (ϕ).

4. Fonction zêta de la représentation ϕ

Prenons le réseau M = ∑_{H∈P({1,... ,n})} Ze_{H} dans l’algèbre de Clifford C_{n}^{+} et considérons

son image L = ψ^{−1}(M) dans E. Nous obtenons un réseau dans E. Nous avons vu ci-dessus, que la forme quadratique vectorielle Q associée à ϕ est telle que pour tout ξ dans E, Q(ξ) est en quelque sorte la partie-vecteur de ξξ̃.

Plus précisement, si ξ = ( \begin{matrix}α & β \\ β′ & α′ \end{matrix} ), alors Q̂(ξ) = ( \begin{matrix}Re(αᾱ + ββ̄) & V ect(αβ̄′ + βᾱ′) \\ \overline{V ect(αβ̄′ + βᾱ′)} & Re(αᾱ + ββ̄) \end{matrix} )

Si on note det le déterminant de l’algèbre de Jordan V, qui est donné par

det(x) = x_{0}^{2} − x_{1}^{2} −… − x_{n}^{2}

alors

det(Q(ξ)) = Re(αᾱ + ββ̄)^{2} − N[V ect(αβ̄′ + βᾱ′)] = ∥ξ∥^{4} − ∑_{i=1}^{n}(e_{i}ξ | ξ)^{2}.

Finalement, la fonction zêta associée à la représentation ϕ et au réseau L est donnée par

ζ_{L}(s) = ∑_{l∈_{Γ_{∘}}\L′}[∥ξ∥^{4} − ∑_{i=1}^{n}(e_{i}ξ | ξ)^{2}]^{−s} s ∈ C

Soit V_{Q} la Q-structure de V définie par V_{Q} = ∑_{i=0}^{n} Qe_{i}. La représentation ϕ est définie

sur Q et on a le théorème suivant :

4.1 Théorème. La série ζ_{L}(s) converge absolument pour Re(s) > 2^{n−2}, elle admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur C et vérifie l’équation fonctionnelle

ζ_{L}(2^{n−2} − s) = vol(L)π^{2^{n−1}−4s} \frac{Γ_{Ω}(s)}{Γ_{Ω}(2^{n−2}−s)}ζ_{L}(s).

où Γ_{Ω} est la fonction gamma du cône de Lorentz.

Preuve: La convergence est une conséquence du théorème 1 de [1], chapitre 1 (on remarquera que dans ce cas, V_{Q} est déployée car la forme quadratique

q(x) = x_{0}^{2} − x_{1}^{2} −… − x_{n}^{2}

admet des solutions rationnelles non triviales, cf [1], chapitre 4). Quant au prolongement analytique et l’équation fonctionnelle, ils découlent du théorème 2 de [1], chapitre 2.

Références.

[1] D.Achab, Fonction zêta des représentations des algèbres de Jordan, thèse Université Paris 6, 1993.

[2] D.Achab, Fonction zêta d’une représentation d’ algèbre de Jordan, C.R.A.S Paris, t. 316, Série I, p. 977-982, 1993.

[3] J.L. Clerc, Représentations d’une algèbre de Jordan, polynômes invariants et harmoniques de Stiefel, J. Reine Angw. Math. 423 (1992), 47-71.

[4] J. Faraut et A. Koranyi, Analysis on symmetric cones.(Preprint).

[5] J. Faraut et G. Travaglini, Generalized Bessel Functions, Journal of Funct. Analysis. 71, N∘. 1, 1987.

[6] M. Kœcher, Uber Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichung,J. Reine Angw. Math. 192 (1953), 1-23.

[7] A. Krieg, Kœcher-Maass- Series for Modular Forms of Quaternions, Manuscripta Math. 66 (1990), 431-451.

[8] R.Takahashi, Série discrète pour les groupes de Lorentz SO_{∘}(2n, 1), Colloque sur les fonctions sphériques et la théorie des groupes, Nancy 1971.

[9] P.L.Waterman, Mobius Transformations in Several Dimensions, Adv. Math. 101, 87-113, 1993.