\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
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\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
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\def\complex{{
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\def\ratio{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP0: Exemple d'illustration\hspace{1cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\begin{minipage}[t]{0.46\textwidth}
% interface(screenwidth=120);
\exo
Imaginez un texte vous expliquant la d\'ecomposition de Jordan pour une
matrice nilpotente. Il s'agit ici de l'illustrer en montrant d'abord comment
cr\'eer un bon exemple, et ensuite en illustrant la m\'ethode par une
r\'esolution pas \`a pas de votre exemple. Notamment la fa\c con de choisir
les vecteurs de base, et les conditions qu'ils doivent v\'erifier. On
pourrait par exemple faire ainsi:
\qu Evidemment, pour cr\'eer un bon exemple, il faut partir de la
r\'eponse voulue!
\squ Cr\'eer (sans taper tous les coefficients) une matrice sous forme
de Jordan de taille $8\times 8$ dont le module associ\'ee soit
$k[X]/X^8$ o\`u $k$ est le corps de base.
% with(LinearAlgebra):
% # Construction de l'exemple: on veut une reponse de ce type:
% f:=(i,j)->if(i=j-1) then 1 else 0 fi;
% J:=Matrix(8,8,f);#forme classique d'ordre 8.
\squ Le cas pr\'ec\'edent \'etant trop simple pour expliquer la m\'ethode,
annuler quelques coefficients dans la matrice pr\'ec\'edente pour obtenir
une matrice $J_{3,3,2}$ dont le module\footnote{On utilise souvent $\oplus$ \`a la place de
  $\times$. Il faut alors pouvoir r\'epondre \`a la question d'oral:
  ``quelle est la d\'efinition de $\oplus$?'', ou bien, ``pourquoi y a
  t'il 2 symboles?''} associ\'e soit:
$k[X]/X^3\times k[X]/X^3\times k[X]/X^2$  
% J[3,4]:=0:J[6,7]:=0:J;#2 blocs d'ordre 3 et un d'ordre 2.
\qusqu Pour $i\neq j$, cr\'eer une fonction cr\'eant une matrice de transvection:
$T(i,j,a)=I+a.E$. (o\`u $E_{k,l}=1$ si $(i,j)=(k,l)$, $0$ sinon). 
% #On veut faire un changement de base simple. Ex det=1 pour garder  des coeffs entiers.
% #on cree une transvection:
% f:=(i,j)->if(i=j) then 1 else 0 fi;
% T:=proc(i,j,a)
% A:=Matrix(8,8,f):A[i,j]:=a;A;
% end proc;
\squ Expliquer/illustrer le lien entre ces matrices et les op\'erations sur les
lignes et les colonnes d'une matrice.
% B:=Matrix(8,8,b);
% # faire Li<-Li+aLj c'est multiplier a gauche par T(i,j,a).
% # Par exemple L3<- L3+aL2 c'est multiplier a GAUCHE par: T(3,2,a);
% T(3,2,a).B;
% #En revanche: C2<-C2+aC3 c'est multplier a DROITE par T(3,2,a)
% B.T(3,2,a);
\squ Quel est  l'inverse de $T(i,j,a)$? Que repr\'esente la conjugaison
par $T(i,j,a)$ en terme d'op\'erations lignes/colonnes?
% # Remarquer que l'inverse de T(i,j,a) est T(i,j,-a)
% T(3,2,a)^(-1);
% # Donc conjuguer par T(i,j,a) c'est faire:
% # Li <- Li+aLj et Cj <- Cj-aCi
\squ En utilisant par exemple 4 transvections, cr\'eer une matrice de
passage $P$ et un exemple non trivial mais tout de m\^eme r\'ealisable \`a
la main de matrice $N$ conjugu\'ee \`a $J_{3,3,2}$. (On donnera la liste
des op\'erations lignes/colonnes que l'on 
aurait fait \`a la main pour faire $P.J_{3,3,2}.P^{-1}$).
% P:=T(6,7,2).T(4,5,1).T(3,2,2).T(1,2,1):
% P,P^(-1);
% # Donc faire a l'ordinateur:
% N:=P.J.P^(-1):
% # est identique a faire a la main a partir de J:
% # L1 <- L1+L2 ; C2<-C2 - C1 puis
% # L3 <- L3+2L2 ; C2 <- C2 -2C3
% # L4 <- L4+L5 ; C5 <- C5 -C4
% # L6 <- L6 +2 L7; C7 <- C7 -2 C6
\qu Expliquer maintenant pas \`a pas la mise sous forme de Jordan de
$N$. (Justifier avec soins les ind\'ependances de certains vecteurs.)
% # On a maintenant trouve un bel exercice: Trouver la forme de
% # jordan de N et une matrice de passage pour l'obtenir.
% # On calcule N^2 et son noyau.
% N,N^2;
% N2:=NullSpace(N^2);
% #on choisit a et b  independants modulo ker N^2 (qui est aussi im
% # N). (attention a et b hors de ker N^2 est insuffisant).
% a:=Vector([0,0,1,0,0,0,0,0]):b:=Vector([0,0,0,0,0,1,0,0]):
% Rank(Matrix([op(N2),a,b]));# doit etre dim ker N^2 +2.
% N1:=NullSpace(N);
% #dim ker N^2 -dim ker N= 6-3=2+1 donc N.a,N.b doit etre complete par c
% # tq N.a,N.b,c indep modulo ker N. Par exemple on prend celui la:
% c:=Vector([0,0,0,0,0,0,0,1]):
% #On verifie qu'il convient:
% Rank(Matrix([op(N1),N.a,N.b,c]));
% # dim ker N - dim ker N^0=3 c'est donc engendr\'e par
% # N^2.a,N^2.b,N.c. Il n'y a plus rien a faire, et l'on prend
% # la base suivante:
% Q:=Matrix([(N^2).a,N.a,a,(N^2).b,N.b,b,N.c,c]);
% #On sait maintenant que Q^(-1).N.Q doit donner J. verifification:
% Q^(-1).N.Q;

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.46\textwidth}

\end{minipage}
\end{document}
