\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{3cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{13\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill\framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} TP00 Initiation \hspace{1cm}}\hfill  agreg 2007\\(F.Han)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\code#1{{\tt #1}}
% interface(screenwidth=120); 
\begin{minipage}[t]{0.46\textwidth}
Choisissez un  logiciel capable de travailler en pr{\'e}cision arbitraire,
de faire des calculs formels y compris de l'alg{\`e}bre lin{\'e}aire, quelques
graphiques, et un peu de calcul modulaire. On donne ici quelques
indications pour maple, mais vous pouvez vous poser les m{\^e}mes
questions avec le logiciel choisi.  
\exo
\qu Trouver un endroit pour d{\'e}couvrir rapidement le logiciel {\`a} partir
d'exemples: Ex pour xmaxima, la page d'accueil, pour maple: {\'e}tudier
dans le menu ``introduction'' de l'aide,  le lien 
``How to perform basic task''.
\qusqu Comment obtenir de l'aide sur un mot donn{\'e} (par exemple sqrt) on
fait: \code{?sqrt} A la fin de cette aide il y a la partie ``see
also'' qui permet d'{\'e}tudier des choses voisines. Par exemple, comment
fait on $\sqrt[3]{23}$?
%root[3](23);root(23,3);
%%
\squ Donner une valeur approch{\'e}e des r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents. (Soit en
for\c cant maple a {\^e}tre en flottants (Ex \code{23.}), soit avec \code{evalf}).
\squ Trouver la syntaxe des constantes r{\'e}elles ou complexes $\pi$, $e$,
$i$ (o{\`u} $i^2=-1$). Faire afficher les $1000$ premi{\`e}res d{\'e}cimales de $\pi$.   
%evalf(Pi,1000);
\squ Faire \code{?digits}. Que faut il faire pour travailler par
d{\'e}faut avec $1000$ chiffres?
%Digits:=1000;sqrt(2.0);Digits:=10;sqrt(3.0);
\qusqu Attribuer {\`a} la variable $P$ la forme d{\'e}velopp{\'e}e du polyn{\^o}me
suivant $(2x+1)^2\frac{x^5-1}{x-1}$. (On aura peut {\^e}tre aussi besoin
de faire simplifier les r{\'e}sultats)
% P:=expand(simplify((2*x+1)^2*(x^5-1)/(x-1)));
\squ Essayer \code{factor(P);} Sur quel corps maple a t'il travaill{\'e}?
\squ Factoriser  $x^{12}-1$ dans $\rela[x]$. Quel est le polyn{\^o}me
cyclotomique $\Phi_{12}$?
% factor(X^12-1);
% #phi12 est le facteur qui n'apparait pas dans: 
% factor(X^6-1);factor(X^4-1);
\squ On pose $a=e^{\frac{2i\pi}{12}}$. V{\'e}rifiez que $a^{12}$ vaut bien
$1$ pour maple.
\squ (On pourra faire \code{?factor}). Factorisez $P$ dans $\reel[x]$
et dans $\complex[x]$. A t'on un r{\'e}sultat exact?
%factor(P,complex);factor(P,real);factor(P);
\squ Factoriser $X^{12}-1$ sur $\ratio[\sqrt{3}]$ et sur $\ratio[\sqrt{3},i]$.
% factor(X^12-1,{sqrt(3),I});
\exo
\qu Exprimer $\cos 5a$ en fonction de $\cos a$.
% expand(cos(5*a));
\qu Calculer $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 5x}{2+\sin x}dx$,
ainsi qu'une primitive $P$ de $\frac{\cos 5x}{2+\sin x}$. D{\'e}river $P$
et v{\'e}rifiez que c'est correct.
% int(cos(5*x)/(2+sin(x)),x=0..Pi/2);
%%                     -209 ln(2) + 209 ln(3) - 254/3
%
% P:=int(cos(5*x)/(2+sin(x)),x);
% simplify(diff(P,x)-cos(5*x)/(2+sin(x)));
\qu Calculer $\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx$, et
$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x^n}dx$. 
% int(sin(x)/(x^n),x=0..infinity);
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.46\textwidth}
\qu Faire \code{a:=1;} Calculer
$\int_0^{+\infty}e^{-ax^2}dx$. Pour {\it lib{\'e}rer la variable} $a$, on fait:
\code{a:='a';} Calculer de nouveau l'int{\'e}grale pr{\'e}c{\'e}dente lorsque $a$
est une variable r{\'e}elle positive. (On pourra se renseigner avec
\code{?assume}).
% ##############################################
% # a retenir: comment liberer une variable:
% a:='a';
% assume(a>0); int(exp(-a*x^2),x=0..infinity);
\qu Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$,
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2}$. En d{\'e}duire
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$, et v{\'e}rifier cette r{\'e}ponse. Calculer
aussi $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$.
\qusqu En cherchant un nom propre , ou un mot anglais dans l'aide,
trouver le d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} l'ordre $9$ en $0$ de $\tan$.
% taylor(tan(x),x=0,10);
% series(tan(x),x=0,10);
\squ Quel est le d{\'e}veloppement en s{\'e}rie de Laurent {\`a} l'ordre $3$ de la
fonction m{\'e}romophe: $\frac{\ln(1+ \sin x)}{\sin(\sin(x) -x)}$.
% f:= series(ln(1+sin(x))/(sin(sin(x)-x)),x=0,9);
\squ Etudier \code{convert} pour obtenir une
fraction $F$ {\`a} partir des s{\'e}ries pr{\'e}c{\'e}dentes. (ie enlever le
$O(x^4)$). Etudier \code{Matlab}. Quel paquet faut il charger pour
l'utiliser? Chargez le, et cr{\'e}ez du code Matlab {\`a} partir des r{\'e}sultats
pr{\'e}c{\'e}dents que vous pourrez copier/coller dans Scilab.
% F:=convert(f,polynom);
%# NB: polynom donne tout de m{\^e}me une fraction!
% with(CodeGeneration);
% Matlab(F,output=string);
\squ En utilisant \code{eval} cr{\'e}er une fonction $g$ {\`a} partir de
$F$. Calculer $g(1)$. 
% ###############################################################
% #A retenir: comment creer une fonction a partir d'un symbole:
% g:=a->eval(F,x=a);g(1);
%##########################
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\exo
\qu Sous maple, l'alg{\`e}bre lin{\'e}aire est un paquet {\`a} part qu'il faut
charger, sinon il ne pourra m{\^e}me pas calculer un
d{\'e}terminant. Pour des raisons historiques, il y en a 2: ``linalg'' et
``LinearAlgebra''. On fait donc
\code{with(linalg);}\code{with(LinearAlgebra);}
% with(linalg);
% with(LinearAlgebra);
% A:=Matrix([[1,2],[3,4]]);
% B:=A+1;
\squ On pose \code{A:=Matrix([[1,2],[3,4]]);} et
\code{B:=A+1;}. Calculer $\det A$ et $\det AB$. Quelle est la syntaxe du
produit de matrices? 
% Determinant(A); A.B;
\squ On peut aussi cr{\'e}er des matrices formelles. En utilisant
\code{Matrix} trouver la syntaxe pour cr{\'e}er des matrices de taille
$4\times 4$:
$A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$. Calculer le d{\'e}terminant de
$A.B$. (NB pour lib{\'e}rer la variable $a$, on pourra faire:
\verb\a:='a';\. Remarquer que maple arrive {\`a} le factoriser. V{\'e}rifier que
$\det(AB)=\det(A).\det(B)$.
% a:='a';
% A:=Matrix(4,4,symbol=a);B:=Matrix(4,4,symbol=b);
% d:=Determinant(A.B): factor(d);
\squ On cr{\'e}e une fonction: \verb\f:=(i,j)->a[i-1]^(j-1);\ Calculer
$f(1,2)$, $f(2,4)$. On peut cr{\'e}er une matrice {\`a} partir d'une
fonction. En utilisant \code{?Matrix}, cr{\'e}er {\`a} partir de $f$ une
matrice de vandermonde de taille $6$, calculer son d{\'e}terminant et
remarquer que maple arrive {\`a} le factoriser.
%
% f:=(i,j)->a[i-1]^(j-1);
% A:=Matrix(6,6,f); d:=Determinant(A):factor(d);
%################################

\end{minipage}

\end{document}
