\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
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\def\max{{\cal M}}
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%%%%%%%
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\def\petitcomplex{{
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\def\complex{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP11 \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% interface(screenwidth=120);
\def\P{{{\rm I} \! {\rm P}}}
\exo
On notera $\P_2$ le compl{\'e}t{\'e} projectif de $\reel^2$. On note $O_1$ le
point $(0,0,1)$ et $O_2$ le point $(0,1,0)$ (on pourra pr{\'e}voir de
pouvoir changer facilement $O_2$, pour ensuite essayer
de le faire pour  $O_2=(1,0,1)$).
\qusqu Donner deux fa\c cons de param{\'e}trer par $\P_1$ les droites passant
par un point. (L'une adapt{\'e}e aux {\'e}quations cart{\'e}sienne, l'autre
adapt{\'e}e {\`a} une forme param{\'e}trique)
% #On peut param{\'e}trer les equations cart{\'e}siennes, ie on en choisit 2
% # ind{\'e}pendantes et on regarde leur combinaisons lineaire, ou bien on
% #considere une droite projective d ne passant pas par le point O, et
% #l'on  identifie les droites passant par O aux droites (OM) lorsque M decrit D
\squ Cr{\'e}er une homographie $h$ {\`a} coefficients formels du
faisceau des droites passant par $O_1$ dans celui des droites passant
par $O_2$. 
% with(LinearAlgebra):
% A:=Matrix(2,2,a);
% #sx+ty=0 -> dte passant par O_2 et V=(s',t',t') ou (s',t')=h(s,t)
% V:=A.Matrix([[s],[t]]);
% #On etudie O_2+l.V inter sx+ty=0
% xo2:=0;yo2:=1;zo2:=0;# les coordonees de O_2
\qusqu D{\'e}terminer (sous forme parametrique) l'intersection d'une droite et de son image par
$h$. (On choisira bien la fa\c con de param{\'e}trer les droites par $O_1$ et $O_2$)
% #c'est plus simple de prendre 1 forme cartesienne, et une parametrique.
% X:=xo2+l*V[1,1];Y:=yo2+l*V[2,1];Z:=zo2+l*V[2,1];
% L:= solve(s*X+t*Y=0,l);#Attention solve travaille generiquement: par exemple si a(1,1) est nul, il faudrait simplifier par t
% # NB det(A) n'est pas nul, donc sa seconde ligne non plus.
% # Pb solve a suppose que l'un des 2 coeffs de la seconde ligne est nul en s=0 ou t=0
% # le point d'intersection est:
% S:=Vector([xo2+L*V[1,1],yo2+L*V[2,1],zo2+L*V[2,1]]);
\squ Quels cas de matrice $A$ inversible vous pose probl{\`e}me?
% # a(1,1)=0 pose PB.
\qu En d{\'e}duire l'{\'e}quation homog{\`e}ne du lieu d{\'e}crit par ce point;
Commentez.
% S:=simplify(S*%1);#si a(1,1)=0 ca n'est pas bon, il faut simplifier par t
% #version affine  z=1
% #Moralement X:=S[1]/S[3];Y:=S[2]/S[3];
% X:='X':Y:='Y':Z:='Z':
% P:=subs({t=1},X*S[3]-S[1]);Q:=subs({t=1},Y*S[3]-S[2]);
% R:=resultant(P,Q,s);
% #equation homogene:
% factor(Z^2*subs({X=X/Z,Y=Y/Z},R));
% #detA se factorise et il  est non nul
% eq:=simplify(%/Determinant(A));
% f:=(x,y,z)->subs({X=x,Y=y,Z=z},eq);
\squ Donner des solutions {\'e}videntes.
% f(0,0,1);f(xo2,yo2,zo2);#sont solutions evidentes.
\squ Que se passe t'il si $h(O_1O_2)=(O_1O_2)$? Donner une CNS pour que
cette condition soit r{\'e}alis{\'e}e. 
% # la droite (O_1O_2) a pour equation yo2.x-xo2.y=0, ie (s,t)=(yo2,-xo2) dans le
% #faisceau sx+ty=0. En revanche on a parametre le faisceau en O_2
% #grace au point (s',t',t') qui est sur la droite (O_1O_2) ssi s'.yo2-xo2.t'=0.
% # on doit donc exprimer h(yo2,-xo2) proportionnel a (xo2,yo2).
% V1:=A.Matrix([[yo2],[-xo2]]);
% V2:=Matrix([[xo2],[yo2]]);
% casparticulier:=Determinant(Matrix([V1,V2]));
% subs({casparticulier=0},f(x,y,z));
%#l'equation de degre 2 se  factorise par  x ssi A[1,1]=0 ssi h(O_1O_2)=(O_1O_2)
% # on recommence avec un autre O_2
% xo2:=1;yo2:=0;zo2:=1;# les coordonees de O_2
% X:=xo2+l*V[1,1];Y:=yo2+l*V[2,1];Z:=zo2+l*V[2,1];
% L:= solve(s*X+t*Y=0,l);
% # NB det(A) n'est pas nul, donc sa seconde ligne non plus.
% # Pb solve a suppose que l'un des 2 coeffs de la seconde ligne est nul en s=0 ou t=0
% # le point d'intersection est:
% S:=Vector([xo2+L*V[1,1],yo2+L*V[2,1],zo2+L*V[2,1]]);
% S:=simplify(S*%1);#ici ca n'est pas correct si a(2,2)=0, et s=0.
\qu Recommencer avec $O_2=(1,0,1)$, mais cette fois obtenir
l'{\'e}quation cart{\'e}sienne directement.
% #pour calculer le resultant on travaille a une variable: ex on fait t=1
% L1:=s*x+y;
% #cette fois, On parametre les droites passant par O_2 via les equations
% #les droites passant par (1,0,1) sont: s'*(x-z)+t'*y
% L2:=(Matrix([x-z,y]).A.Matrix([[s],[1]]))[1,1];
% resultant(L1,L2,s);#On a l'equation cartesienne tout de suite
\qusqu Montrer que la conique est lisse si et seulement si
$h(O_1O_2)\neq (O_1O_2)$.
\squ En d{\'e}duire le th{\'e}or{\`e}me de {\bf g{\'e}n{\'e}ration ponctuelle des coniques}. (On
n'oubliera pas le cas d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}). 
\qu Choisir une homographie, et faire un dessin.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\exo On se donne une homographie $h$ de $\P(\reel^2)$ dans  lui
m{\^e}me.
\qusqu Quelle est la signature d'une conique lisse de $\P_2(\reel)$
n'ayant pas de points r{\'e}els?
% # signature (3,0) pas de sols r{\'e}elles non nulles.
\squ Montrer qu'une conique lisse de $\P_2(\reel)$ de signature
$(2,1)$ peut {\^e}tre param{\'e}tr{\'e}e par cette droite projective.
% #Y^2-XZ=Y^2+1/2(X-Z)^2-1/2(X+Z)^2
% #est parametree par (u,v)->(u^2,uv,v^2)
\qusqu {\'E}tudier
$(Mh(N))\cap (h(M)N)$ lorsque les points $M,N,h(M),h(N)$ de la conique
sont les images des points $m,n,h(m),h(n)$ de $\P_1$ par cette
param{\'e}trisation. (On pourra supposer que $m=(1,0)$, travailler avec un
$n$ formel, calculer les {\'e}quations des droites, commenter les
simplifications\dots 
% H:=Matrix(2,2,h):f:=s->[s[1]^2,s[1]*s[2],s[2]^2];
% #equation de la droite passant par 2 points donnes:
% eqdte:=(V1,V2)->Determinant(Matrix([V1,V2,[x,y,z]]));
% #M:=Vector(2,m);
% M:=Vector([1,0]);N:=Vector(2,n);
% eqdte(f(M),f(H.N));factor(%);
% #On peut simplifier les 2 equations (H bij, N non nul)
% D1:=simplify(eqdte(f(M),f(H.N))/(H.N)[2]);
% factor(eqdte(f(N),f(H.M)));
% D2:=factor(eqdte(f(N),f(H.M)))/(H[1,1]*N[2]-H[2,1]*N[1]);
% #Sous forme parametrique, on voit que c'est de degre 1 en N
% solve({D1=0,D2=0},{x,y,z});
% #equation de la droite:
% e:=solve({D1=0},{N[1]});
%# Lorsque n varie, l'intersection decrit la droite d'equation:
% factor(subs({N[2]=1},subs(e,D2)));
\squ Comparer les r{\'e}sultats obtenus pour le lieu d{\'e}crit par
l'intersection avec \code{solve} et avec \code{resultant}. Interpr{\'e}ter
la diff{\'e}rence.
% # pour obtenir l'equation cartesienne de l'intersection,
% #il suffit d'eliminer les parametres de  N dans les equations D1,D2.
% L:='L':P:=subs({N[1]=L,N[2]=1},D1);Q:=subs({N[1]=L,N[2]=1},D2);
% resultant(P,Q,L):factor(%);
% eqdte(f(M),f(H.M));
% # la droite (Mh(M)) apparait avec le resultant, correspondant au cas N=M
\qu Connaissant cette droite (appel{\'e}e l'axe de l'homographie) en
deduire une construction g{\'e}om{\'e}trique  de l'image d'un point.
\qu Dessins?
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% # On choisit une homographie h pour faire un dessin.
% M:=t->(t^2,t);
% HM:=proc(t)
% h:=Matrix([[1,1],[1,2]]);
% v:=h.Vector([t,1]);
% (v[1]/v[2])^2,v[1]/v[2];
% end proc;
% with(plots):with(plottools):
% C:=plot([M(t),t=-infinity..infinity],numpoints=200):
% #HC:=plot([M(t),t=-infinity..infinity]); #verif C=HC: OK
% #display({C,HC},view=[-5..5,-5..5]);
% #2 point A,M, et les droites (A,HM), (M,HA)
% d1:=(t,c)->line([M(0.)],[HM(t)],color=c);d2:=(t,c)->line([M(t)],[HM(0.)],color=c);
% A:=d1(1.,blue),d2(1.,blue);
% B:=d1(15,green),d2(15,green);
% E:=d1(2.,yellow),d2(2.,yellow);
% display({C,A,B,E},view=[0..1,-1..1]);



\newpage
\end{multicols}

\end{document}
