\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage[french]{babel}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{13\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP13 G\'eom\'etrie II \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% interface(screenwidth=120);
% with(LinearAlgebra):
\exotitre{Parametrisation rationnelle d'une conique.}
\qu Cr\'eer une conique ${\cal C}$ lisse de $\proj_2$ au hasard passant
par le point $(1,1,1)$.
% # On prend une conique passant par (0,0,1)
% C:=add(add(rand(20)()*x[i]*x[j],i=0..2),j=0..1);
% # puis on change de variable.
% subs({x[0]=x[0]-x[2],x[1]=x[1]-x[2]},C);C:=expand(%);
% #fonction associee a l'equation de la conique
% c:=V->subs({x[0]=V[1],x[1]=V[2],x[2]=V[3]},C);
\qu En d\'eduire une param\'etrisation de ${\cal C}$ par $\proj_1$.
% u:='u';v:='v';a:='a';M:=Vector([1,1,1])+a*Vector([u,v,0]);
% s:=simplify(c(M)/a);s:=solve(s,a);d:=denom(s);
% para:=simplify(d*subs({a=s},M));
% # verification:
% expand(c(para));
\qusqu Trouver une forme param\'etrique de la tangente en un point g\'en\'eral
de ${\cal C}$.
% #la tangente au point para est la droite AB
%  A:=Vector([seq(diff(para[i],u),i=1..3)]);
%  B:=Vector([seq(diff(para[i],v),i=1..3)]);
% AB:=simplify(a*A+b*B);
%  # verification:
% factor(c(AB));
\squ Trouver son \'equation cart\'esienne.
% tgte:=add(subs({x[0]=para[1],x[1]=para[2],x[2]=para[3]},diff(C,x[i]))*x[i],i=0..2);
%  #verification:
%  simplify(subs({seq(x[i]=A[i+1],i=0..2)},tgte));
%  simplify(subs({seq(x[i]=B[i+1],i=0..2)},tgte));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
\exo
On consid\`ere la conique $C$ d'\'equation $y^2=x$, et la conique
$E$ d'\'equation $(x+3)^2+y^2=1$   
\qu V\'erifier que ce syst\`eme \`a 4 racines complexes distinctes.
%E:=(x+3)^2+y^2-1;
\qu On consid\`ere la param\'etrisation \'evidente de $C$ donn\'ee par $M_{t}$
le point $(t^2,t)$. Trouver les \'equations 
cart\'esiennes des tangentes \`a $E$ passant par $M_t$.
% # une droite non verticale passant par My. (NB: x=cte ne coupe pas
% #E) sinon il faut travailler sur P1
% du:=(x-t^2)+u*(y-t);
% T:=subs({x=t^2-u*(y-t)},E);
% delta:=coeff(T,y,1)^2-4*coeff(T,y,0)*coeff(T,y,2);
% U:=solve(delta=0,u);
% Ty:={expand(subs({u=U[1]},du)),expand(subs({u=U[2]},du))};
% f:=proc(t,tang)
% tt:=simplify(subs({x=y^2},tang)/(y-t));
% subs(y=0,-1*tt);
% end proc;
% f(t,Ty[1]);
\qu  Etant donn\'e $M_t$ et une tangente $T_t$ \`a $E$ passant par $M_t$,
trouver le point r\'esiduel $M_{t'}$ de l'intersection de $T_t$ avec
$C$. (On d\'efinit $M_{t'}$ ainsi: La restriction de l'\'equation de $C$ \`a
la droite $T_t$ est une \'equation de degr\'e $2$ dont une racine est
donn\'ee par $M_t$, $M_{t'}$ sera par d\'efinition donn\'e par l'autre racine.) 
\qu Quelle forme de $E$ est plus pratique pour trouver "l'autre" tangente \`a
$E$ en $M_{t'}$?
\qu Le faire avec $E: x^2=y$.
% # C est parametree par (t^2,t), E par (u,u^2)
% E:=x^2-y;C:=y^2-x;
% EU:=u->[u,u^2];CT:=t->[t^2,t];#des parametrisations de E et C
% tangente:=(M,F)->(x-M[1])*subs(x=M[1],diff(F,x))+(y-M[2])*subs(y=M[2],diff(F,y));
%#t le parametre de mt, u le parametre d'une tangente a EU passant par mt
% f:=proc(t,u)
% tang:=tangente(EU(u),E);
% nt:=simplify(subs({x=CT(tt)[1],y=CT(tt)[2]},tang)/(tt-t));
% newt:=subs(tt=0,-1*nt);
% #d droite EU,CT
% dir:=EU(uu)-CT(newt);
% d:=-(x-CT(newt)[1])*dir[2]+(y-CT(newt)[2])*dir[1];
% delta:=subs({x=EU(uuu)[1],y=EU(uuu)[2]},d);
% discrim(delta,uuu)/(uu-u);
% end proc;
% 
\newpage
\end{multicols}

\end{document}

