\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
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\def\ratio{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP14 \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% interface(screenwidth=120);
\exotitre{Polyn{\^o}me minimal d'un alg{\'e}brique. Cf [BPR] p 121}
Soit $\theta$ un {\'e}l{\'e}ment entier sur $\ratio$, et $a$ un {\'e}l{\'e}ment
de $\ratio[\theta]$. Il s'agit de comprendre comment
trouver le polyn{\^o}me minimal de $a$ sur $\ratio$ connaissant $a$ en
fonction de $\theta$ et le polyn{\^o}me minimal de $\theta$ sur $\ratio$.
\qu Choisir un polyn{\^o}me $P$ unitaire irreductible sur $\rela$ de degr{\'e} $n$
non ridicule. On note $theta$ une racine de $P$. On consid{\`e}re
l'{\'e}l{\'e}ment $a=\frac{1}{d}(\sum_{i=0}^{n-1}a_i.\theta^i)$. On notera $H$
le polyn{\^o}me $\sum_{i=0}^{n-1}a_i.x^i)$
\squ Trouver la matrice de
la multiplication par $a$ dans $\ratio[\theta]=\ratio[X]/(P)$.
%with(LinearAlgebra):
% P:=x^4+x+1;irreduc(P);
%A:=1/d*add(a[i]*x^i,i=0..degree(P)-1);
%H:=d*A;
%M:=Matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^i,P,x),x,j),i=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
\squ Calculer son polyn{\^o}me caract{\'e}ristique, et comparez le au
r{\'e}sultant en $y$ de $P(y)$ avec $dx-H(y)$.
%cp:=CharacteristicPolynomial(M,x):
%re:=resultant(subs(x=y,P),d*x-subs(x=y,H),y):
%#le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%expand(d^(degree(P))*cp-re);
\squ Montrer que $d^(\deg P).Res_y(P(y),d.x-H(y))$ est une puissance
du polyn{\^o}me minimal de $a$ sur $\ratio$. Illustrer ceci sur un exemple
o{\`u} ils ne sont pas {\'e}gaux.
% P:=x^4+1;
% A:=x^2:H:=A;
% M:=Matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^i,P,x),x,j),i=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
%cp:=CharacteristicPolynomial(M,x):
%re:=resultant(subs(x=y,P),x-subs(x=y,H),y):
%#le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%expand(cp-re);
% #le poly min est une puissance de:
% gcd(re,diff(re,x));
% MinimalPolynomial(M,x);#ils sont egaux.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{Equation d'une courbe param{\'e}tr{\'e}e}
On consid{\`e}re la courbe plane param{\'e}tr{\'e}e: $$t\mapsto (t.(t^2-1)^2,t^2+1)$$%
\qu Quelle est son {\'e}quation cart{\'e}sienne?
% XT:=t*(t^2-1)^2;YT:=t^2+1;
% eq:=resultant(XT-x,YT-y,t);
\qu Faire un dessin.
% with(plots):with(plottools):
% dessin1:=plot([XT,YT,t=-2..2],color=red):
% #le fait de faire display apres permet d'ajuster l'echelle plus facilement
% display(dessin1,view=[-5..5,-1..4]);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{Intersections de courbes planes}
On consid{\`e}re les courbes d'{\'e}quation:
\begin{center}
$C_1:xy=4$ et $C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)$.
\end{center}
\qu Tracer $C_1,C_2$ avec des couleurs diff{\'e}rentes.
% C1:=x*y-4;C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
% d1:=implicitplot(C1,x=-7..7,y=-8..8,color=red,numpoints=2000):
% d2:=implicitplot(C2,x=-6..7,y=-8..8,color=blue,numpoints=2000):
% display(d1,d2,view=[-6..6,-8..8]);
\qusqu Donner une {\'e}quation de  la projection de $C_1
\cap C_2$ sur l'axe des $x$ selon $(Oy)$. Factoriser la sur $\reel$.
% #On elimine y
% eqx:=resultant(C1,C2,y);
% factor(eqx,real); # on obtient 5 points reels.
\squ Pourquoi ne trouve t'on pas 6 points?
% #c'est de degre 5 car le centre de projection (0,1,0) est solution.
\qusqu Comment tester si la droite $y=2x$ n'a pas de solutions communes (m{\^e}me
dans $\complex$) avec $C_1\cap C_2$.
% resultant(subs(y=2*x,C1),subs(y=2*x,C2),x);#il n'est pas nul
\squ Etudier maintenant la projection depuis le point $(1,1)$ sur la
droite $y=-2x$.
% #NB: A=(1,1) n'est pas sur la droite y=2x. Bt=(t,-2t)
% #eq param de la droite (ABt): x=1+l(t-1),y:=1+l(-2t-1)
% C1t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C1);
% C2t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C2);
% #la projection est donn{\'e}e par les points de coordonn{\'e}e (t,2t) o{\`u} t
% #racine de:
% p2:=resultant(C1t,C2t,l);
\squ Pourquoi est il de maintenant de degr{\'e} 6? Pourquoi $(1,2)$ est il
dans la projection de $C_1\cap C_2$
%# car c'est l'intersection de y=2x avec la droite passant par (1,1)
%#et le point a l'infini de Oy qui etait bien dans C1 inter C2
\squ Trouver une valeur approch{\'e}e des points de projection, et
dessiner les droites passant par ces points et le centre de
projection.
%with(plottools):
% sol:=solve(p2*1.0);
% pi1:=seq(point([sol[i],-2*sol[i]],color=black),i=1..6):#les points sur la droite y=-2x
% # les 6 droites:
% di1:=seq((line([1-10*(sol[i]-1),1-10*(-2*sol[i]-1)],[1+10*(sol[i]-1),1+10*(-2*sol[i]-1)],color=green)),i=1..6):
% display(d1,d2,pi1,di1,view=[-7..7,-8..8]);#NB un point d'intersection de C1 et C2 est a l'infini.
\qusqu On prend maintenant $C_1:=(x-2)^2+y^2-4$ et
$C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)$. Dessiner $C_1,C_2$, et {\'e}tudier le r{\'e}sultant
en $y$ de ces 2 {\'e}quations. (Adapter le nombre de points pour obtenir un dessin assez joli)
% C1:=(x-2)^2+y^2-4;
% C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
% d1:=implicitplot(C1,x=-1..5,y=-3..3,color=red,numpoints=1000):
% d2:=implicitplot(C2,x=-5..8,y=-8..8,color=blue,numpoints=1000):
% display(d1,d2,view=[-5..8,-8..8]);
% #On elimine y
% eqx:=resultant(C1,C2,y);
% factor(eqx,real); # on obtient 5 points reels.
\squ Interpr{\'e}ter les racines de ce r{\'e}sultant en fonction de votre
dessin, et aussi la multiplicit{\'e} de ces racines.
\squ Factoriser ce r{\'e}sultant de mani{\`e}re approch{\'e}e, puis exacte dans
$\reel[x]$.
% factor(eqx);#On voit qu'il faut introduire le discriminant.
% factor(eqx,sqrt(13));
\squ Trouver les coordonn{\'e}es exactes des solutions r{\'e}elles et
complexes de $C_1 \cap C_2$.
% eqred:=gcd(eqx,diff(eqx,x));
% solx:=[solve(eqred)];
% soly:=seq(gcd(subs(x=solx[i],C1),subs(x=solx[i],C2)),i=1..3);
% #les ordonn{\'e}es des points d'abscisse solx[i] sont:
% seq(solve(soly[i]),i=1..3);
% #On constate que pour solx[3] les ordonn{\'e}es des points de C1 inter
% # C2 yant cette abscisse sont complexes conjuguees bien que solx[3]
% #soit reel ce qui explique pourquoi le dessin ne nous donnait que 4 points.
\newpage
\end{multicols}

\end{document}

