\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
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  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
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  \noindent{\bf Exercice
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%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
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%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP15 \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}\\
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\def\code#1{{\tt #1}}
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\exotitre{Mini texte sur le grand th\'eor\`eme de Poncelet\footnote{Cf
    Samuel. Appendice sur les correspondances (2,2)}}
%interface(warnlevel=0,screenwidth=120);
\newtheorem{proposition}{Proposition}

On consid\`ere 2 coniques $C_1$ et $C_2$ non d\'eg\'en\'er\'ees du plan affine
$\reel^2$.

\section{La correspondance biquadratique}
On rappelle que si $C_1$ a pour \'equation: $\left(
  \begin{array}{ccc}
    x & y & 1
  \end{array}\right).B.
\left(\begin{array}{c}
  x\\
  y\\
  1
\end{array}\right)=0
$ o\`u $B$ est sym\'etrique alors la tangente \`a $C_1$ en un point
$(x_0,y_0)$ de $C_1$ a pour \'equation: $\left(
  \begin{array}{ccc}
    x_0 & y_0 & 1
  \end{array}\right).B.
\left(\begin{array}{c}
  x\\
  y\\
  1
\end{array}\right)=0$. On en d\'eduit donc  qu'une droite affine d'\'equation
$u_0.x+u_1y+u_2=0$ est tangente \`a $C_1$ si et seulement si
$\sum_{0\leq i,j \leq 2} a_{i,j}u_i.u_j=0$ o\`u $A$ est
l'inverse\footnote{$B$ est inversible car $C_1$ est non d\'eg\'en\'er\'ee} de
$B$.  On suppose\footnote{Commentez cette hypoth\`ese}  de plus que
$C_2$ est param\'etr\'ee par $(t^2,t)$, on notera $m_t$ le point de $C_2$
correspondant. Pour deux points distincts de $C_2$: $m_t$ et $m_{u}$,
la droite $(m_t m_{u})$ est tangente \`a $C_1$ si et seulement si
$t,u$ v\'erifient une \'equation du type: $P(t,u)=0$ o\`u $P$ est un
polyn\^ome sym\'etrique\footnote{que l'on peut expliciter en fonction de
  $A$} en $t,u$ de degr\'e $2$ en $t$ et aussi en $u$. On notera
$P(t,u)=a(u)t^2+b(u)t+c(u)$.  

Pour $t_0 \in \reel$, on note $\{t_1,t_{-1}\}$ les racines
(\'eventuellement complexes) de $P(t,t_0)=0$. Pour $i\in \nat^*$, on
note $t_{i+1}$ la racine du polyn\^ome\footnote{pourquoi est ce un
  polyn\^ome?} $\frac{P(t,t_{i})}{(t-t_{i-1})}$ et $t_{-i-1}$ la racine du
polyn\^ome $\frac{P(t,t_{-i})}{(t-t_{1-i})}$. On remarquera que si $t_1$
ou $t_{-1}$ est r\'eel, alors $\forall i \in \rela, t_i \in \reel$.

De plus, on montre facilement  que $t_{i+1}$ s'exprime  en fonction de
$t_{i-1}$ et de $a(t_i),b(t_i)$, ce qui nous permet d'obtenir les
$t_i$ par r\'ecurrence, et aussi d'affirmer que
$t_i$ sera toujours une fraction rationnelle en $t_1$,  et que
$t_i+t_{-i}$ et $t_i.t_{-i}$ seront des fractions rationnelles en
$t_0$. Nous aurons en fait un r\'esultat plus pr\'ecis que l'on pourra admettre\footnote{On pourra d'abord essayer d'illustrer cette
    proposition graphiquement mais aussi symboliquement. On pourra
    aussi expliquer comment obtenir 
    l'\'equation cart\'esienne d'une conique dont on connait une forme
    param\'etrique de la duale.}:    
% with(LinearAlgebra):with(plots):
\begin{proposition}
  Pour tout $i\in \nat^*$, il existe une conique $\Gamma_i$ telle que
  pour tout choix de $t_0$, si  $t_i$ et $t_{-i}$
  sont distincts et r\'eels, la droite $(m_{t_i}m_{t_{-i}})$ est tangente \`a
  $\Gamma_i$. De plus, si $C_1$ et $C_2$ se coupent en 4 points
  distincts, alors $\Gamma_i$ contient $C_1\cap C_2$.
\end{proposition}
%B:=Matrix(3,3):B[1,1]:=1:B[2,2]:=2:B[3,3]:=3:B[1,3]:=-2:B[3,1]:=-2:B;
%X:=Vector([x,y,1]);C1:=Transpose(X).B.X;C2:=y^2-x;
%IMPL1:=implicitplot(C1=0,x=0..8,y=-3..3,numpoints=1000,color=blue):
%IMPL2:=implicitplot(C2=0,x=0..8,y=-7..7,numpoints=2000,color=red):
%IMPL:=IMPL1,IMPL2:
%#la matrice de C2dual est l'inverse de celle de C2
%A:=B^(-1);
%#equation de mt mu on simplifie par t-u car mt different de m
%dte:=simplify(Determinant(Matrix([[t^2,t,1],[u^2,u,1],[x,y,1]]))/(t-u));
%#coordonnees duales de cette droite:
%DTE:=Vector([coeff(dte,x),coeff(dte,y),subs(x=0,y=0,dte)]);
%#on remarque qu'elles s'expriment facilement avec somme et produit
%P:=expand(Transpose(DTE).A.DTE);
%a:=coeff(P,t^2);b:=coeff(P,t);c:=subs(t=0,P);
%sol1:=solve(P,u);
%s1:=simplify(sol1[1]+sol1[2]);
%p1:=simplify(sol1[1]*sol1[2]);
%D1:=Vector([1,-s1,p1]);
%#D1 decrit donc une conique duale
%simplify(D1*(t^2-25));
%#Pour d2 il faut mieux guider les simplifications
%tmp1:=simplify(expand(subs(u=sol1[1],b)*subs(u=sol1[2],a)+subs(u=sol1[2],b)*subs(u=sol1[1],a)));
%tmp2:=simplify(expand(subs(u=sol1[1],a)*subs(u=sol1[2],a)));
%tmp3:=simplify(expand(subs(u=sol1[1],c)*subs(u=sol1[2],c)));
%s2:=simplify(-2*t-tmp1/tmp2);
%p2:=simplify(tmp3/(tmp2*t^2));
%D2:=Vector([1,-s2,p2]);
%# c'est encore une conique
%denom(D2[2])*D2;
%sol2:=solve(u^2-s2*u+p2=0,u);
%#d3
%tmp1:=simplify(expand(subs(u=sol2[1],b)*subs(u=sol2[2],a)+subs(u=sol2[2],b)*subs(u=sol2[1],a)));
%tmp2:=simplify(expand(subs(u=sol2[1],a)*subs(u=sol2[2],a)));
%tmp3:=simplify(expand(subs(u=sol2[1],c)*subs(u=sol2[2],c)));
%s3:=simplify(-s1-tmp1/tmp2);
%p3:=simplify(tmp3/(tmp2*p1));
%D3:=Vector([1,-s3,p3]);
%# c'est encore une conique dans le plan duale
%denom(D3[2])*D3;
%##############################################################
%#qui enveloppe la conique d'equation: (le lieu des points du plan ou
%#les tangentes a cette conique sont identiques).
%gamma3:=discrim((Matrix([[x,y,1]]).(denom(D3[2])*D3))[1],t);
%#On verifie que l'equation gamma3 est bien une combi lineaire de C1 et C2 Donc gamma3 contient C1 inter C2
%expand(gamma3-coeff(gamma3,x^2)*(C1-coeff(C1,y^2)*C2)-coeff(gamma3,y^2)*C2);
%##########################################################
%G3:=implicitplot([gamma3=0],x=0..8,y=-3..3,numpoints=1000,color=green):#gamma3en vert
%#di
%DI:=proc(tt,i)
%sol:=solve(subs(t=tt,P),u):s0:=2*tt:p0:=tt^2:
%for j from 2 to i do 
%tmp1:=simplify(expand(subs(u=sol[1],b)*subs(u=sol[2],a)+subs(u=sol[2],b)*subs(u=sol[1],a)));
%tmp2:=simplify(expand(subs(u=sol[1],a)*subs(u=sol[2],a)));
%tmp3:=simplify(expand(subs(u=sol[1],c)*subs(u=sol[2],c)));
%s2:=simplify(-s0-tmp1/tmp2);
%p2:=simplify(tmp3/(tmp2*p0));
%s0:=simplify(sol[1]+sol[2]);
%p0:=simplify(sol[1]*sol[2]);
%sol:=solve(u^2-s2*u+p2=0,u);
%end do;
%denom(p2)*Vector([1,-s2,p2]);
%end proc;
%DI(t,3);#c'est le meme
%DI(t,6);#c'est toujours une conique duale.
%#dessin
%dessin:=proc(tt,i)
%sol:=solve(subs(t=tt,P),u):
%T:=[tt,sol[1]];
%for j from 2 to i do
%newt:=-T[j-1]-subs(u=T[j],b)/subs(u=T[j],a):
%T:=[op(T),newt];
%end do;
%T:=[sol[2],op(T)];
%for j from 2 to i do
%newt:=-T[2]-subs(u=T[1],b)/subs(u=T[1],a):
%T:=[newt,op(T)];
%end do;
%T;end proc;
%with(plottools):
%imax:=3;
%l:=dessin(.1,imax):#on dessine t0=0.1 jusque timax
%dte:=(u,t)->line([u^2,u],[t^2,t]):
%dtei:=line([l[1]^2,l[1]],[l[2*imax+1]^2,l[2*imax+1]],color=yellow):
%display(seq(dte(l[i],l[i+1]),i=1..2*imax),IMPL,G3,dtei,view=[0..8,-3..3]);
%#un autre t0
%l:=dessin(1.5,imax):#on dessine t0=1.7 jusque timax
%dte:=(u,t)->line([u^2,u],[t^2,t]):
%dtei:=line([l[1]^2,l[1]],[l[2*imax+1]^2,l[2*imax+1]],color=yellow):
%display(seq(dte(l[i],l[i+1]),i=1..2*imax),IMPL,G3,dtei,view=[0..8,-3..3]);
%#la droite jaune t3t-3 est bien tangente a gamma3
\section{Paires de Poncelet}
On dit que $C_1$ et $C_2$ sont en situation de Poncelet, 
s'il existe un polyg\^one \`a $n$ c\^ot\'es, avec $n\geq 3$ dont les sommets
soient sur $C_2$ et les c\^ot\'es soient tangents \`a $C_1$. (On entend par
polyg\^one la donn\'ee d'un ensemble de $n$ points du plan index\'es par
$\rela/n\rela$. Ces points seront  appel\'es des sommets, et on 
definit les cot\'es du polyg\^one comme les droites passant par 2 sommets
dont la diff\'erence des indices fait $\pm 1$.
Le th\'eor\`eme de
Poncelet affirme que si deux coniques  sont en situation de Poncelet
pour un polyg\^one \`a $n$ c\^ot\'es, alors toute tangente \`a $C_1$ est un cot\'e
d'un polyg\^one ayant ses $n$ sommets sur $C_2$ et ses $n$ cot\'es
tangents  \`a $C_1$.

Lorsque $3\leq n\leq 5$, il est tr\`es facile\footnote{Expliquer
  pourquoi. On pourra \'eventuellement produire un tel exemple.} de
produire des exemples de coniques en situation de Poncelet. En
revanche, pour $n\geq 6$ \c ca n'est pas si simple.

\subsection{Exemple: cercles concentriques}
On peut par exemple regarder le cas o\`u $C_i$ a pour \'equation
$x^2+y^2=r_i^2.z^2$, et m\^eme raisonner dans le plan affine r\'eel Euclidien
 avec $r_1<r_2$. Dans ce  cas, le polyg\^one a $n$ c\^ot\'es est forc\'emenent r\'egulier,
 et  il existe si et seulement si ${r_1\over r_2}=\cos({\pi\over
   n})$. Donc deux cercles concentriques ne sont pas toujours en
 situation de Poncelet.

Bien qu'il soit toujours possible de faire un changement de rep\`ere
projectif (sur $\complex$) qui ram\`ene l'\'equation d'une conique non
d\'eg\'en\'er\'ee sous la 
forme $x^2+y^2=r^2.z^2$, il n'est pas toujours possible\footnote{comme
l'indique leur intersection avec la droite d'equation $z=0$} de transformer
simultan\'ement les \'equations de $C_1$ et $C_2$ sous la forme
$x^2+y^2=r_i^2.z^2$. L'\'etude des cercles concentriques est donc trop
restrictive. On peut par exemple produire facilement une paire de
coniques en situation de Poncelet avec $n=3$ qui ne puisse pas \^etre
obtenue depuis l'exemple pr\'ec\'edent par changement de rep\`ere projectif.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

