\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage[french]{babel}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{15\baselineskip}
\topmargin=-6\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}

\begin{document}
\columnsep 0.7cm
\noindent{Universit{\'e} de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP5 diviseurs {\'e}l{\'e}mentaires 2\hspace{1cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}
\begin{multicols}{2}[]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
%%\begin{minipage}[t]{0.46\textwidth}
% interface(screenwidth=120);
%with(linalg):with(LinearAlgebra):
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\def\M{{\cal M}}
\exo
\qu Essayer \verb/coeffs(a^2+2,a);/ Comment trouver tous les
coefficients d'un polyn{\^o}me? (y compris ceux nuls) Faire une proc{\'e}dure
\code{mescoeffs(P,a)} qui le fasse pour un polyn{\^o}me $P(a)$.
% a:='a';coeffs(a^2+2,a);# il n'affiche pas les nuls.
% mescoeffs:=proc(P,a)
% [seq(coeff(P,a,i),i=0..degree(P,a))];
% end proc;
\qu Si $M\in\M_{i,l}$ et $N\in\M_{i,k}$ donn{\'e}es sous forme de
\code{Matrix}, comment cr{\'e}er l'{\'e}l{\'e}ment de $\M_{i,l+k}$ correspondant {\`a}
la juxtaposition de $M$ et $N$? Comment ferait on pour une
juxtaposition verticale?
% #astuce, a retenir
% M:=Matrix(2,3)+1;N:=Matrix(2,4)+2;OO:=Matrix(3,3)+3;Matrix([M,N]);Matrix([[M],[OO]]);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\qusqu {\'E}tudier les fonctions graphiques de votre logiciel. Pour maple on
regardera les paquets \code{plots} et \code{plottools}. Dessiner les
segment $[0,0],[30,40]$ en tirets rouges, et le segment
$[0,0],[1,-1]$ en pointill{\'e}s bleus sur le m{\^e}me graphique, dont on
n'affichera que les points dont les coordonn{\'e}es sont dans
$[-5,5]$. 
% #A retenir: plot sur un meme dessin...
% with(plots);with(plottools);
% l1:= line([0,0], [30,40], color=red, linestyle=3);
% l2 := line([0,0], [1,-1], color=blue, linestyle=2);
% display([l1,l2],view=[-5..5,-5..5]);
\squ Dessiner une liste de deux points. Par exemple $(1,1)$ et
$(2,3)$.
% l:=point([1,1],color=red),point([2,3],style=point);
% display(l);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\labelexo{exemplesdivelem}
\exo 
\qu On consid{\`e}re les sous groupes $N_1,N_2,N_3$ de $M=(\rela^4,+)$ engendr{\'e} par les
vecteurs $
\left(\begin {array}{cccc}
    8&4&60&0\\
    8&12&18&36\\
    16&16&32&32\\
    32&32&32&32
  \end {array} \right)$, et $
\left(\begin {array}{cccc}
    8&4&60&0\\
    8&12&18&36\\
    16&16&32&32\\
    24&28&40&68
  \end {array} \right)$, $
\left(\begin {array}{ccccc}
    8&4&60&0&16\\
    8&12&18&36&28\\
    16&16&32&32&32\\
    24&28&40&68&68
  \end {array} \right)$.  D{\'e}composer $M/N_i$ en produit de groupe
cycliques. Quel est le cardinal de $M/N_i$?
% cardi:=A->if Determinant(A)=0 then print("cardinal infini") else
% abs(Determinant(A)) fi;
% A:=Matrix([[2*4,4,15*4,0],[8,12,18,36],[16,16,32,32],[32,32,32,32]]);
% B:=Matrix(ismith(A));cardi(A);
% #M/N=M/image(A) il est donc isomorphe a M/B ou B=ismith(A) le
% #cardinal est donc infini s'il y a un 0 sur la diagnonale de B,
% #sinon c'est le produit des termes diagonaux de B, donc aussi |detB|=|det A| (dans le cas d'une matrice carree)
% abs(Determinant(B)),abs(Determinant(A));#dans les 2 cas, c'est le cardinal.
% A:=Matrix([[2*4,4,15*4,0],[8,12,18,36],[16,16,32,32],[24,28,50,68]]);
% ismith(A);cardi(A);
% A:=Matrix([[2*4,4,15*4,0,16],[8,12,18,36,28],[16,16,32,32,32],[24,28,50,68,68]]);
\qu On consid{\`e}re le r{\'e}seau engendr{\'e} par les vecteurs $v_1=(1,2)$,
$v_2=(-1,1)$, $v_3=(0,2)$.
\squ Dessiner na{\"\i}vement en bleu les points de ce r{\'e}seau de coordonn{\'e}es dans $[-5,5]$
% v1:=Vector([1,2]);v2:=Vector([-1,1]);v3:=Vector([0,2]);
% #On fait quelques combinaisons lineaires au hasard, ca serait mieux de trouver une base (on le fera plus dans l'exercice suivant)
% l:=seq(seq(seq(point(convert(i*v1+j*v2+k*v3,list),color=blue),k=-3..3),j=-4..4),i=-2..2):
% display(l,view=[-5..5,-5..5]);
% ismith(Matrix([v1,v2,v3]));#le reseau engendre est bien Z^2
\squ Rajouter en rouge ceux du r{\'e}seau engendr{\'e} par $v_1,v_2$. idem
avec $v_1,v_3$ et $v_2,v_3$. Peut ont forc{\'e}ment extraire une base d'une
famille g{\'e}n{\'e}ratrice?
% l2:=seq(seq(point(convert(i*v1+j*v2,list),color=red),j=-4..4),i=-3..3):
% display(l2,l,view=[-5..5,-5..5]);# ca ne rempli pas tout
% #aucun des 3 determinants (v1,v2) (v1,v3) (v2,v3) n'est inversible dans Z, on ne peut donc pas en extraire une base.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{Anneaux d'entiers}
\qusqu On consid{\`e}re maintenant l'anneau $R=\rela[i.\sqrt{5}]$. et $I$
l'id{\'e}al engendr{\'e} par $2$ et $3+3i\sqrt{5}$. Donner une famille g{\'e}n{\'e}ratrice
de $I$ en tant que groupe ab{\'e}lien. Quel est le cardinal de $R/I$ (On
appellera ce nombre la norme de l'id{\'e}al $I$).
% #Famille generatrice de I comme Z module: les generateurs  et leurs multiples par Isqrt(5)
% M:=Transpose(Matrix([[2,0],[3,3],[0,2],[-15,3]]));
% ismith(M);#Donc N(I)=2
\squ soit $z\in R$. Quelle est la matrice de la multiplication par $z$
de $R$ dans $R$? Quel est son d{\'e}terminant et le cardinal de $R/(z)$
(ie la norme de $z$). L'id{\'e}al $I$ est il principal?
\squ Dessiner sur un m{\^e}me graphique le r{\'e}seau associ{\'e} {\`a} $I$ et celui
de $\rela[i\sqrt{5}]$.
% l1:=[seq(line([-10,i*sqrt(5)],[10,i*sqrt(5)],color=red,linestyle=2),i=-10..10)]:#les lignes du reseau.
% c1:=[seq(line([i,-10],[i,10],color=red,linestyle=2),i=-10..10)]:#les colonnes du reseau.
% #Pour le reseau associe a I on cherche d'abord une base de I comme Z module, soit avec ismith soit de tete par operation sur les colonnes de M
% M:=Matrix([[2,1],[0,1]]);#est une base de I
% l2:=[seq(line([2*i-10,-10*sqrt(5)],[2*i+10,10*sqrt(5)],color=blue,linestyle=3),i=-10..10)]:
% c2:=[seq(line([-10+i,i*sqrt(5)],[10+i,i*sqrt(5)],color=blue,linestyle=3),i=-10..10)]:
% display(l2,c2,l1,c1,view=[-5..5,-5..5]);
\squ Completer:\\ Une similitude conserve les
\framebox{\phantom{angles}}. D{\'e}duire du dessin que $I$ n'est pas principal.
\qu On prend maintenant $R=\rela[i.\sqrt[4]{5}]$ et
$I=(2,1+\sqrt{5})$. Calculer la norme de $I$ et celle d'un {\'e}l{\'e}ment
$z$ (On remarquera que c'est encore le d{\'e}terminant de la
multiplication par $z$). L'id{\'e}al $I$ est il  principal?
% #base de R: (1,a,a^2,a^3) ou a=i.5^(1/4). Il faut une famille
% #generatrice de I comme Z-module. I=(2,1-a^2). R=Z[a]/(a^4-5)
%M:=Matrix(4)+2;N:=Matrix([[1,0,-5,0],[0,1,0,-5],[-1,0,1,0],[0,-1,0,1]]);
%#verification:
%a:='a';
%Transpose(Matrix(4,1,(i,j)->a^(i-1))).N;
%seq(rem(a^(i)*(1-a^2),a^4-5,a),i=0..3);
%M:=Matrix([M,N]);#est generatrice de I comme Z module
%ismith(M);# Donc R/I est de cardinal 4.
% (i,j,k,l):='i','j','k','l';#on libere i,j,k,l
% z:=i+j*a+k*a^2+l*a^3;
% MM:=Transpose(Matrix([seq(mescoeffs(rem(expand(a^(u)*z),a^4-5,a),a),u=0..3)]));
% normez:=det(MM);
% normez mod 5; # -1=x^4 mod 5 n'a pas de solutions, donc on ne peut pas avoir N(I)=N(z) puisque c'est impossible mod 5
\exotitre{base adapt{\'e}e} Lorsque $M$ est un $\rela$-module de type fini et $N$ un sous
module de $M$, on dit que $e_1,\dots,e_n$ est une base adapt{\'e}e de $M$
pour $N$ si l'ensemble $\{m_1e_1,\dots,m_ne_n\}$ priv{\'e} de $0$ est une
base de $N$ o{\`u} les $(m_i)$ sont les diviseurs {\'e}l{\'e}mentaires de $N$
{\'e}ventuellement compl{\'e}tes par des z{\'e}ros. Remarquer que si $N$ est
engendr{\'e} par l'image de $A$, pour trouver une base adapt{\'e}e il faut
avoir conserv{\'e} les op{\'e}rations sur les lignes. En utilisant une
fonction int{\'e}gr{\'e} dans le logiciel, trouver une base adapt{\'e}e aux
modules de l'exercice \refexo{exemplesdivelem}.
% A:=Matrix([[2*4,4,15*4,0],[8,12,18,36],[16,16,32,32],[32,32,32,32]]);
% B:=ismith(A,U,V);
% evalm(U.A.V-B);#verification.
% evalm(U^(-1)),evalm(U^(-1).B);#est une base de M resp N;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{$k[x]$-modules de type fini}
\qu On consid{\`e}re la matrice sous forme de Jordan {\footnotesize$M=\left( \begin {array}{ccccccc} 1&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0
&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1
\\0&0&0&0&0&0&0\end {array} \right)
$}. R{\'e}pondre de t{\^e}te aux questions suivantes: Quel est son polyn{\^o}me
minimal, le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique? Les diviseurs {\'e}l{\'e}mentaires?
\qu En d{\'e}duire la forme de smith de $M-x.Id$, et v{\'e}rifier votre
r{\'e}ponse avec le logiciel.
% M:=Matrix(7,7,(i,j)->if i=j-1 then 1 else 0 fi):M[1,1]:=1:M[2,2]:=1:M[2,3]:=0:M[4,5]:=0:M;
% smith(M-x,x);
\newpage
\end{multicols}
\exo Comprendre, illustrer, commenter, appliquer, (comme s'il s'agissait d'un
texte sur ce th{\`e}me)\footnote{Cf le\c con: op{\'e}rations sur les lignes \dots}  le th{\'e}or{\`e}me suivant:
 Soit $A$ une matrice $n\times n$ {\`a} coefficients dans un corps
 commutatif $k$. On note $I$ la matrice identit{\'e} de taille $n$. On
 munit l'espace vectoriel $k^n$ d'une structure de $k[x]$ module de la
 fa\c con suivante: on d{\'e}finit $P.v$ pour $P\in k[x]$ et $v\in k^n$ comme
 l'image de $v$ par l'application lin{\'e}aire $P(A)$. On note $M$ ce
 module\footnote{En tant qu'ensembles $M$ et $k^n$ sont {\'e}gaux}. On
 consid{\`e}re\footnote{A partir d'une famille g{\'e}n{\'e}ratrice {\`a} $n$ {\'e}l{\'e}ments
   $(e_i)$ de $M$, on    construit une surjection de $k[x]^n$ sur $M$}
 le morphisme de $k[x]$ module  d{\'e}finit ainsi $\phi: k[x]^n\to M,
 E_i\mapsto e_i$ o{\`u} $(E_i)$ est la base  canonique du module libre
 $k[x]^n$ et $(e_i)$ la base canonique du $k$-espace vectoriel
 $k^n$. Alors le noyau de $\phi$ est  l'image de l'application de
 $k[x]^n \to k[x]^n$ de matrice $A-x.I$ dans la $k[x]$-base  $(E_i)$.
 \qu Ex: Quelle est l'image par $\phi$ de $x.E_i$?
 \qu Expliquer et illustrer des cons{\'e}quences de ce r{\'e}sultat sur la
 r{\'e}duction des endomorphismes de $k^n$
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\vect#1#2{\left(\begin{array}{c}
  #1\\
  \vdots\\
  #2
\end{array}\right)}
\vfill
\qu D{\'e}monstration: (Dans un premier temps, essayez de
faire l'exercice II sans lire cette preuve, car le texte ne la contiendrait
probablement pas.)

Comme $\phi(x^i.E_i)=A^i(e_i)$, on obtient imm{\'e}diatement
le fait que l'image de $A-x.I$ est incluse dans $\ker(\phi)$.

Il s'agit donc de d{\'e}montrer l'autre inclusion. Soit $P_i=\sum_{j=0}^l
p_{i,j}x^j$. (quitte {\`a} rajouter des coefficients nuls, on s'est ramen{\'e}
au cas o{\`u} $l$ ne d{\'e}pend pas de $i$). On suppose que
$\phi(\vect{P_1}{P_n})=0$. Notons
$v_j=\vect{p_{1,j}}{p_{n,j}}$. L'hypoth{\`e}se donne $\sum_{j=0}^l
A^j(v_j)=0$. On a donc dans $k[x]^n$:
$\sum_{j=0}^lA^j(v_j)-\sum_{j=0}^lx^j.v_j=\vect{P_1}{P_n}$ et donc
$\sum_{j=1}^l (A^j-x^j.I)(v_j)=\vect{P_1}{P_n}$. (apr{\`e}s simplification
des termes en $j=0$). Comme pour $j\geq 1$,
$A^j-x^j.I=(A-x.I).(\sum_{k=0}^{j-1}x.^{j-k}A^k)$, on en d{\'e}duit que
$\vect{P_1}{P_n}$ est dans l'image de $A-x.I$

\end{document}

