\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage[french]{babel}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{13\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP6 \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
\exotitre{M\'ethode de Newton}
\qu Comment peut on cr\'eer une fonction \`a partir d'un symbole? Par
exemple sous maple, si \verb/f:=x^2+1;/ cr\'eer une fonction $g$ en
utilisant $f$ sans tout retaper.
% #astuce, a retenir
% f:=x^2+1; g:=y->eval(f,x=y);expand(g(x+1));
\qu On consid\`ere la fonction \verb\f:=x->(x^2-2);\ Faites calculer la
d\'eriv\'ee $\frac{df}{dx}$
\qu On cr\'ee la fonction \linebreak\verb\df:=y->eval(diff(f(x),x),x=y)\. V\'erifiez
en calculant \code{df(x);}
% ###############################
% f:=x->(x^2-2);
% df:=y->eval(diff(f(x),x),x=y);
\qu Comment travaille t'on avec $k$ chiffres significatifs? Essayer
d'utiliser une variable d'environnement. Quelle est la valeur minimale
du nombr ede chiffres significatifs pour obtenir $13.26*2$ \`a $10^{-1}$
pr\`es.
% Digits:=1;# un seul chiffre significatif:
% 13*2.;evalf(13*2,1);
% Digits:=3;13.26*2;
\qu On consid\`ere la suite $(u_n)$ obtenue par la m\'ethode de Newton
avec $u_0=1$. Faire \code{U:=1.;} puis affecter \`a $U$ la valeur
suivante de la suite $(u_n)$. En validant cette ligne plusieurs fois,
v\'erifier que votre formule donne bien une valeur approch\'ee de
$\sqrt{2}$.
\qu Comparer avec la m\'ethode de H\'eron d'Alexandrie: On fait la moyenne
deux approximations de $\sqrt{d}$: $u_0=a; u_{n+1}=\frac{u_n+d/u_n}{2}$
\qu NB: Pour faire un calcul sans afficher le r\'esultat on met \code{:}au
lieu de \code{;} On travaille maintenant avec 1000  d\'ecimales par
d\'efaut. Recommencer le calcul des $u_n$ sans les faire afficher, et \`a
chaque \'etape faites afficher \code{U-evalf(sqrt(2));} Grosso modo,
quel est le nombre de d\'ecimales exactes  de $u_{n+1}$ en fonction de
celui de $u_n$. En combien d'\'etapes   obtient on 10000 d\'ecimales
exactes?
% interface(screenwidth=120);
% ###############################
% f:=x->(x^2-2);
% df:=y->eval(diff(f(x),x),x=y);
% Digits:=10000;U:=1.:
% #######################################################
% # On fait 14 iterations de la methode de Newton, et on
% # affiche la difference avec racine de 2
% #######################################################
% x-f(x)/df(x);#On trouve x/2 +1/x c'est donc Heron.
% r:=evalf(sqrt(2)):#on ne le calcule qu'une fois.
% for i from 1 to 14 do
% U:=U/2+1/U:a:=U-r:print(evalf(a,10));
% end do:
% ###
% Digits:=10;
%##############################
\qu Essayer pour d'autres racines carr\'ees, et pour $\sqrt[3]{2}$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\qusqu Trouver une constante $C$ telle que
$|u_{n+1}-\sqrt{2}|<C.|u_n-\sqrt{2}|^2$ o\`u l'on part de $u_0=1$.
% #1<sqrt(2)<2. x,y dans [1,2] |f''(y)/2f'(x)|<1/2=C convient.
\squ Essayer d'optimiser la pr\'ecision de calcul \`a chaque \'etape pour
que le r\'esultat final soit correct.
% #On verifie qu'\`a chaque \'etape la precision choisie suffit.
% Digits:=2;U:=1;
% for i from 1 to 18 do
% U:=U/2+1/U:a:=U-evalf(sqrt(2)):print(evalf(a,10));Digits:=2*Digits-1;
% end do:
% ###
% Digits:=10;
\qu Etudier la m\'ethode de newton pour $x^n-d$, en coloriant de couleur
diff\'erente les points de d\'eparts selon leur limite.
% #pour on ne calcule pas df a chaque fois.
% n:=3;d:=8;f:=x->x^n-d;df:=y->eval(diff(f(x),x),x=y);
% #p =nbre de tours
% testconv:=proc(z,p)
% prec:=20;U:=z;
% for i from 1 to p do U:=evalf(U-f(U)/df(U),prec) od;
% k:=round(argument(U)*n/(2*Pi));[k,abs(evalf(U-exp(2*I*Pi*k/n)*root(d,n),p))];
% end proc;
\exo
CF texte Cox
\newpage
\end{multicols}
\end{document}
