\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 0.7cm} TP8 D\'ecomposition de ``Dunford''  \hspace{0.7cm}}\hfill   agreg 2007 (F.Han)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
%%\begin{multicols}{}
% interface(screenwidth=120);
\exo
Lorsque l'on consid\`ere la d\'ecomposition de Dunford d'un endomorphisme $u=d+n$
de $\complex^n$ et sa preuve utilisant les sous espaces
caract\'eristiques, on ne voit pas comment  trouver $d$ et $n$ sans connaitre les
valeurs propres de $u$, et bien que $d$ et $n$ soient des polyn\^omes
en $u$ les propri\'etes des coefficients de $d$ et $n$ en fonction de
ceux de $u$ sont assez dissimul\'ees. Par exemple, on peut trouver un
argument simple pour montrer que si $u$ est r\'eel, $d$ et $n$ aussi,
mais que peut on dire avec  d'autres corps?
\qusqu Trouver la r\'eduction de Dunford rapidement avec votre logiciel,
\'eventuellement en utilisant une r\'eduction de Jordan d\'ej\`a programm\'ee.
%# pour la matrice de passage: Q:=JordanForm(A,output='Q');
\squ Cr\'eer une matrice \`a coefficients r\'eels dont les  valeurs
propres ne sont pas toutes r\'eelles, et trouver sa d\'ecomposition de
Dunford. (On prendra tout de m\^eme un cas non diagonalisable 
$\complex$ assez cons\'equent). Justifier simplement que sa
d\'ecomposition de Dunford est r\'eelle.
% # conjugaison et unicite de la decomp de Dunford
% with(LinearAlgebra):
% C1:=CompanionMatrix((X^3-2)^2);
% C2:=CompanionMatrix((X-sqrt[3](2))^2);
% L2:=Matrix([Matrix(2,6),C2]);
% L1:=Matrix(6,8,C1);
% A:=Matrix([[L1],[L2]]);
% A:=C1;#on prend cet exemple plus simple et plus leger.
% J:=JordanForm(A);
% f:=(i,j)->if i=j then J[i,j] else 0 fi;
% dia:=Matrix(Dimension(J),f);
% Q:=JordanForm(A,output='Q');
% S:=simplify(Q.dia.Q^(-1));N:=A-S;#on remarque que les coeff sont dansle meme corps que ceux de A
% # verification:
% simplify(S.N-N.S);
\squ Recommencer avec une matrice a coefficients entiers et des
valeurs propres non rationnelles. Que constatez vous?
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\def\N{{\cal N}}  
\exotitre{Mini texte\footnote{Cf
  le\c con polyn\^omes d'endomorphismes, \dots} sur la D\'ecomposition de ``Dunford''}
Nous allons donc fournir une preuve algorithmique de cette
d\'ecomposition qui permettra de r\'esoudre   ces probl\`emes.

Soit $k$ un corps de caract\'eristique nulle, et $k[u]$ une $k$-alg\`ebre
de dimension finie. Notons $m$ le polyn\^ome minimal de $u$ sur $k$. (On suppose
$\deg m>1$).  On a alors $k[u]\simeq k[X]/(m)$. Il s'agit de montrer
qu'il existe des \'el\'ements\footnote{d\'ecomposition semi-simple+nilpotent} $s_u,n_u$ de $k[u]$ tels que: $u=s_u+n_u$,
le polyn\^ome minimal de $s_u$ soit sans facteurs multiples, et 
que $n_u$ soit nilpotent. Nous allons pour cela cr\'eer une suite
r\'ecurrente comme dans la m\'ethode de Newton, qui sera
stationnaire de limite $s_u$. Notons $\N$ le radical nilpotent de
$k[u]$, autrement dit l'ensemble des \'el\'ements nilpotents de $k[u]$
(c'est un id\'eal, et on
pourrait montrer que c'est l'intersection des id\'eaux premiers 
de $k[u]$ ce que l'on n'utilisera pas.). Notons $p(u)$ un g\'en\'erateur de $\N$ o\`u $p\in k[X]$. On
remarque alors que $p$ est sans facteurs multiples, nous allons
trouver un \'el\'ement $s$ dans $k[u]$ tel que $p(s)=0$ par la m\'ethode de
Newton (Qui se terminera ici en un nombre fini d'it\'erations).

Comme $p$ et $p'$ sont premiers entre eux, on peut \'ecrire $p'(u)$
comme la somme d'un \'el\'ement nilpotent et d'un inversible, ce qui
prouve que c'est un inversible de $k[u]$.

On consid\`ere alors la suite r\'ecurrente d'\'el\'ements  de $k[u]$:
$$u_0=u,u_{n+1}=u_n-p(u_n)/p'(u_n)$$
On peut montrer de l'on a dans $k[X,Y]$:
$$p(X+Y)-p(X)-Y.p'(X) \in (Y^2)$$
On en d\'eduit donc que si la suite est bien d\'efinie jusqu'\`a l'entier
$n$ (ie $p'(u_{n-1})$ est inversible dans $k[u]$), alors  $p(u_n) \in
\N^{2^n}$. Nous pouvons alors montrer que 
$u_{n+1}$ existe encore lorsque $n$ est sup\'erieur \`a $1$ puisque
$p'(u_{n})-p'(u_{n-1})$ est nilpotent. Il est en effet
dans l'id\'eal engendr\'e par $u_{n}-u_{n-1}$ qui est inclus dans 
$(p(u_{n-1}))\subset \N$, et comme l'anneau $k[u]$ est commutatif, la somme
d'un nilpotent et d'un inversible est un inversible.
% #pour obtenir l'inverse de 1+n on regarde la serie: 1/(1+n)
On peut donc conclure que $p'(u_n)$ est inversible et donc que $u_{n+1}$ existe. 


Il est maintenant clair que la suite $u_n$ est constante \`a
partir d'un certain rang, notons $s_u$ sa limite, alors l'\'el\'ement
$n_u=u-s_u$ est nilpotent 
% #n_u est dans l'ideal N car c'est la somme des u_n-u_{n+1} qui sont tous dans N, donc n est nilpotent. 
et $p$ est le polyn\^ome minimal de $s_u$.
% #r(x) est somme de r(s) et d'un element de N, donc r(s)=0 implique
% #que r(x) est dans N et donc que p divise r par definition de p. donc p est le pol min de s 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\qu Expliquer pourquoi $p$ est sans facteurs multiples, et comment
trouver facilement $p$ \`a partir de $m$. Justifier la caract\'eristique nulle.
% # p = m/D ou D est le pgcd de m et m'
% # NB:en caract q K=F_q(T), m=X^q-T, alors m'=0, mais p n'est pas 1 car
% # l'algebre n'a pas de nilpotents.
\qu On pourra expliquer pourquoi dans un anneau commutatif la somme
d'un inversible et d'un nilpotent est un inversible
\qu Pourquoi $n_u$ est il nilpotent, et pourquoi $p$ est il le
polyn\^ome minimal de $s_u$
\qusqu Expliquer le lien avec la d\'ecomposition de Dunford.
\squ Montrer que l'on peut travailler avec le polyn\^ome caract\'eristique
\`a la place du polyn\^ome minimal. Programmez le.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% m:=(x^3-2)^5;
% Dunford:=proc(A)
% m:=CharacteristicPolynomial(A,x);
% p:=y->subs(x=y,simplify(m/(gcd(m,diff(m,x)))));
% dp:=y->subs(x=y,diff(p(x),x));
% u:=x;
% #on itere
% while rem(p(u),m,x) <> 0 do
% gcdex(m,dp(u),x,'s','t');
% invdp:=t;
% u:=rem(u-p(u)*invdp,m,x); 
% od;
% S:=0;
% for i from  0 to degree(u) do S:=S+coeff(u,x,i)*A^i od:
% S;end proc;
% #
% A:=CompanionMatrix(m);
% S:=Dunford(A);
% N:=A-S; 
% #verification:
% N.S-S.N;# S et N commuttent bien
% JordanForm(S);
%% \newpage
%%\end{multicols}
\end{document}
