\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
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\def\ratio{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP05 Polyn\^ome caract\'eristique\hspace{1cm}}\hfill   agreg 2009 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(1);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); #radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
% !s!<c>
%-------------------Polynome caracteristique et mineurs diagonaux------------------------------------------------------------------------------
%!s!
\exotitre{Polyn\^ome caract\'eristique; Mineurs diagonaux}
 Commencer par poser \code{n:=5;}, on le fera \'eventuellement augmenter
apr\`es. Cr\'eer l'ensemble $I_n=\{1,\dots,n\}$. Comment retirer
l'ensemble $\{2,4\}$ de $I_n$.
%n:=5; In:={seq(i,i=1..n)}; In minus {2,4};
\qu En utilisant 2 fois \code{seq} cr\'eer une proc\'edure \code{extr} de
$(A,I,J)$ qui retourne la matrice $A_{i\in I,j\in J}$
% !s!<m>
% extr:=proc(A,II,JJ)
% matrix([seq([seq(A[i,j],j=JJ)],i=II)]);
% end_proc;
% !s!
\qu On condid\`ere une matrice
$A$, formelle de taille $n$, et la matrice diagonale formelle
\verb/d:=diag(seq(x[i],i=1..n));/
\squ Etudier la documentation sur les d\'eriv\'ees, d\'eriv\'ees partielles,
d\'eriv\'ees d'ordre sup\'erieur et liste des d\'eriv\'ees partielles.
% !s!<c>
%Attention, diff(f,x,y) derive en x puis y, alors que diff(f,[x,y])
%donne la liste des derive en x et en y.
%!s!
%diff(x*y,x,y);diff(x*y,[x,y]);
\squ Comparer quelques  mineurs diagonaux de taille 3 avec $\frac{\partial
  \det(A-d)}{\partial x[i] \partial x[j]}$ \'evalu\'e en $0$
% purge(a,x);
% n:=5;A:=matrix(n,n,(i,j)->a[i,j]);
% d:=diag(seq(x[i],i=1..n));
% II:=In minus {1,3};# on essaye (i,j)=(1,3)
% extr(A,II,II);
% dij:=diff(det(A-d),x[1],x[3]);
% normal(det( extr(A,II,II)) - subs(x=[0,0,0,0,0],dij));
% II:=In minus {2,3};# on essaye (i,j)=(2,3)
% extr(A,II,II);
% dij:=diff(det(A-d),x[2],x[3]);
% normal(det( extr(A,II,II)) - subs(x=[0,0,0,0,0],dij));
% II:=In minus {4,5};# on essaye (i,j)=(4,5)
% extr(A,II,II);
% dij:=diff(det(A-d),x[4],x[5]);
% normal(det( extr(A,II,II)) - subs(x=[0,0,0,0,0],dij));
\squ On note $P=\det(A-x*I)$ le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. Quels
sont ses coefficients en fonction de ses d\'eriv\'ees?
% B:=A-x*identity(n);
% d:=seq(normal(subs(x=0,diff(det(B),x,i))/i!),i=n..1);
% P:=charpoly(A);
\squ Conclure\footnote{Pour une application de cette formule, TP graphes,
nombre de triangles dans un graphe, ... prop 3.3, 3.6, 3.7} que le coefficient de $x^{n-i}$ de $P$ est $(-1)^{n-i}$
fois la somme des mineurs\footnote{il y en a $C_n^i$} diagonaux de taille $i$ de $A$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\exotitre{Polyn\^ome Caract\'eristique\footnote{On pourra penser \`a ces
    m\'ethodes pour la le\c con sur les d\'eterminants.}; Th Cayley-Hamilton. M\'ethode de Faddeev}  
Soit $A$ une matrice de taille $n$, $I$ l'identit\'e de taille $n$, et
$M=X.I-A$. Nous allons d\'eduire de la formule
$$^tM^{adj}.M=M. ^tM^{adj}=\det(M).I\ (*)$$ une
m\'ethode pour calculer le polyn\^ome caract\'eristique de $A$, et aussi une
preuve du th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton. (o\`u $M^{adj}$ est la matrice
adjointe ou comatrice de $M$)

On note $\det(M)=P_A(X)=\sum_i a_i.X^i$ le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. On
\'ecrit $^tM^{adj}=\sum_{i=0}^{n-1} B_i.X^i$ o\`u $B_i$ est une matrice de
taille $n$. On d\'eduit de la formule $(*)$:
$$a_i.I=B_{i-1}-B_i.A \ (**)$$ et $B_{n-1}=a_n.I=I$

On remarque de plus que $P_A'(X)=tr(M^{adj})=\sum_i tr(B_i).X^i$. On
obtient alors les $B_i$ par r\'ecurence d\'ecroissante \`a partir de $B_n=I$
gr\^ace aux formules\footnote{prendre la trace dans $(**)$}:
$$\left\{\begin{array}{l}
    a_{i}=\frac{tr(B_{i}A)}{i-n}\\
    B_{i-1}=B_i.A+a_i.I
    \end{array}\right.$$
\qusqu Calculer $P_A$ et $A^{adj}$ par cette m\'ethode.
% !s!<p>
% monpolyfaddeev:=proc(A)
% local a,n,B,P;
% n:=dim(A)[1];a:=1:B:=identity(n);P:=[a];
% for i from n-1 to 0 by -1 do 
% B:=normal(B*A);
% a:=trace(B)/(i-n);
% P:=[op(P),a];B:=B+a*identity(n) od; 
% P;
% end proc:
% !s!
\squ V\'erifiez et faites quelques tests.
% n:=30;A:=matrix(n,n,(i,j)->rand(21)-10):
% normal(poly2symb(monpolyfaddeev(A),x));
%  charpoly(A)-monpolyfaddeev(A);
%time(monpolyfaddeev(A));
%time(charpoly(A));
\qusqu Comment obtient t'on le coefficient de $x^3$ de
\verb/3*x^4+2*x^3+y^3/. Comment cr\'eer une matrice ayant les m\^emes
dimensions que la matrice \code{A:=matrix(3,4,2);}
% coeff(3*x^4+2*x^3+y^3,x,3);
% A:=matrix(3,4,2);matrix(op(dim(A)));
\squ Cr\'eer une proc\'edure \code{cf(P,k);} qui retourne
le coefficient 
de $x^k$ de l'\'el\'ement $P\in{\cal M}_n[x]$. \danger Que devient votre
proc\'edure si $x$ est d\'eclar\'e comme un variable locale?
% !s!<p>
% cf:=proc(P,k)
% local i,j;
% matrix(op(dim(P)),(i,j)->coeff(P[i,j],x,k));
% end_proc;
% !s!
\qu Remarquer/illustrer sur un exemple de taille 3 (lignes par lignes, sans
programmer) que l'on peut d\'efinir une division  d'un \'el\'ement $P(X)$ de
${\cal M}_n[X]$ par $X.I-A$ et que son reste est  $P(A)$. On pourra
par exemple prendre pour $P$ un polyn\^ome de degr\'e $4$ dont les
coefficients sont des matrices de petits entiers al\'eatoires, et $A$
une matrice $3\times 3$ formelle.

\danger $P$ est un \'el\'ement de ${\cal M}_n[X]$ qui
n'est pas commutatif. On travaillera donc toujours du m\^eme cot\'e, pour
les divisions et pour donner un sens \`a $P(A)$. Plus pr\'ecis\'ement, on a
le ``th\'eor\`eme de Bezout g\'en\'eralis\'e'' (Cf Gantmacher): Le reste de la
division \`a droite\footnote{On entend par division \`a droite: $P=Q.(xI-A)+R$} de $P(x)$ par $x.I-A$ est $\sum p_i.A^i$ celui de la
division \`a gauche est $\sum A^i.p_i$ o\`u $p_i$ sont les coefficients de
$P$. ($p_i\in{\cal M}_n$).
% P:=matrix(3,3,(i,j)->add(rand(7)*x^l,l=0..4));
%A:=matrix(3,3,(i,j)->a[i,j]);
%cf(P,4);
%R:=P;k:=4;Q:=0;
%R:=normal(R-cf(R,k)*x^(k-1)*(x*identity(3)-A));Q:=cf(R,k)*x^(k-1)+Q:k:=k-1;
%R:=normal(R-cf(R,k)*x^(k-1)*(x*identity(3)-A));Q:=cf(R,k)*x^(k-1)+Q:k:=k-1;
%R:=normal(R-cf(R,k)*x^(k-1)*(x*identity(3)-A));Q:=cf(R,k)*x^(k-1)+Q:k:=k-1;
%R:=normal(R-cf(R,k)*x^(k-1)*(x*identity(3)-A));Q:=cf(R,k)*x^(k-1)+Q:k:=k-1;
%R2:=add(cf(P,i)*A^i,i=0..4);
%normal(R2-R);
En d\'eduire une preuve
du th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton.\footnote{En effet $(*)$ montre que $P$
  est divisible par $X.I-A$}

\newpage
\end{multicols}

\end{document}

