\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
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\def\complex{{
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\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
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\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
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  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP15 R\'esultants\hspace{1cm}}\hfill   agreg 2008 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(1);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); #radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% !s!<c>
%----------------------------Exercice---------------------------------------------
%!s!
\exotitre{Polyn\^ome minimal d'un alg\'ebrique. Cf [BPR] p 121}
Soit $\theta$ un \'el\'ement entier sur $\ratio$, et $a$ un \'el\'ement
de $\ratio[\theta]$. Il s'agit de comprendre comment
trouver le polyn\^ome minimal de $a$ sur $\ratio$ connaissant $a$ en
fonction de $\theta$ et le polyn\^ome minimal de $\theta$ sur $\ratio$.
\qu Choisir un polyn\^ome $P$ unitaire irreductible sur $\rela$ de degr\'e $n$
non ridicule. On note $\theta$ une racine de $P$. On consid\`ere
l'\'el\'ement $a=\frac{1}{d}(\sum_{i=0}^{n-1}a_i.\theta^i)$. On notera $H$
le polyn\^ome $\sum_{i=0}^{n-1}a_i.x^i)$. (Pour illustrer la m\'ethode, on pourra
laisser des variables formelles pour les $a_i$)
\squ Trouver la matrice de
la multiplication par $a$ dans $\ratio[\theta]=\ratio[X]/(P)$.
% P:=x^4+x+1;
%A:=1/d*add(a[i]*x^i,i=0..degree(P)-1);
%H:=d*A;
%M:=matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^i,P,x),x,j),i=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
%M:=matrix(4,4,(i,j)->coeff(rem(A*x^(j-1),P),x,i-1)); #c'est plus simple
\squ Calculer son polyn\^ome caract\'eristique, et comparez le au
r\'esultant en $y$ de $P(y)$ avec $dx-H(y)$.
%cp:=charpoly(M,x):
%res:=resultant(subs(x=y,P),d*x-subs(x=y,H),y): #attention re est un mot reserve
%!s!<c>
%le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%!s!
%normal(d^(degree(P))*cp-res); #ils sont bien egaux
\squ Montrer que $d^{\deg P}.Res_y(P(y),d.x-H(y))$ est une puissance
du polyn\^ome minimal de $a$ sur $\ratio$. Illustrer ceci sur un exemple
o\`u ils ne sont pas \'egaux.
% P:=x^4+1;
% A:=x^2:H:=A;
% M:=matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^i,P,x),x,j),i=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
%cp:=charpoly(M,x):
%res:=resultant(subs(x=y,P),x-subs(x=y,H),y):
%!s!<c>
%le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%!s!
%expand(cp-res);
%!s!<c>
%le poly min est une puissance de:
%!s!
% gcd(res,diff(res,x));
% pmin(M,x);#ils sont egaux.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% !s!<c>
%--------------------------------------------Exercice------------------------------------
%!s!
\exotitre{Equation d'une courbe param\'etr\'ee}
On consid\`ere la courbe plane param\'etr\'ee: $$t\mapsto (t.(t^2-1)^2,t^2+1)$$%
\qu Quelle est son \'equation cart\'esienne?
% XT:=t*(t^2-1)^2;YT:=t^2+1;
% eq:=resultant(XT-x,YT-y,t);
\qu Faire un dessin \`a partir de la forme param\'etrique et de l'\'equation
cart\'esienne trouv\'ee.
% dessin1:=plotparam(XT+I*YT,t=-2..2);
% dessin2:=implicitplot(eq=0,x=-5..5,y=-5..5,xstep=0.01,ystep=0.01);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%----------------------------------------Exercice-----------------------------------------
%!s!
\exotitre{Intersections de courbes planes}
On consid\`ere les courbes d'\'equation:
\begin{center}
$C_1:xy=4$ et $C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)$.
\end{center}
\qu Tracer $C_1,C_2$ avec des couleurs diff\'erentes.
% C1:=x*y-4;C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
% d1:=implicitplot(C1,x=-7..7,y=-8..8,color=red+line_width_2):
% d2:=implicitplot(C2,x=-7..7,y=-8..8,color=blue+line_width_2,xstep=0.01,ystep=0.01):
% (d2,d1);
\qusqu Donner une \'equation de  la projection de $C_1
\cap C_2$ sur l'axe des $x$ selon $(Oy)$. Factoriser la sur $\reel$.
% eqx:=resultant(C1,C2,y); #On elimine y
% !s!<c>
%Astuce: pour ne pas passer en flottants via le menu deroulant, on lui donne une
%extention de corps sous forme d'un flottant.
%!s!
% factor(eqx,1.1); # on obtient 5 points reels.
\squ Pourquoi ne trouve t'on pas 6 points?
% !s!<c>
%c'est de degre 5 car le centre de projection (0,1,0) est solution.
%!s!
\qusqu Comment tester si la droite $y=-2x$ n'a pas de solutions communes (m\^eme
dans $\complex$) avec $C_1\cap C_2$.
% resultant(subs(y=-2*x,C1),subs(y=-2*x,C2),x); #il n'est pas nul
\squ Etudier maintenant la projection depuis le point $(1,1)$ sur la
droite $y=-2x$.
%!s!<c>
% NB: A=(1,1) n'est pas sur la droite y=2x. Bt=(t,-2t)  eq param de la droite
% (ABt): x=1+l(t-1),y:=1+l(-2t-1)
%!s!
% C1t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C1);
% C2t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C2);
%!s!<c>
% la projection est donn\'ee par les points de coordonn\'ee (t,-2t) o\`u t racine de:
%!s!
% p2:=resultant(C1t,C2t,l);
\squ Pourquoi est il de maintenant de degr\'e 6? Pourquoi $(1,2)$ est il
dans la projection de $C_1\cap C_2$
%!s!<c>
% car c'est l'intersection de y=2x avec la droite passant par (1,1)
%et le point a l'infini de Oy qui etait bien dans C1 inter C2
%!s!
\squ Trouver une valeur approch\'ee des points de projection, et
dessiner les droites passant par ces points et le centre de
projection.
% sol:=solve(p2*1.0,t);
% pi1:=seq(point(sol[i]-2*I*sol[i],color=black+point_width_3),i=1..6): #les points sur la droite y=-2x
% di1:=seq((droite(1+I,pi1[i],color=green)),i=1..6): # les 6 droites:
% (d1,d2,pi1,di1); #NB un point d'intersection de C1 et C2 est a l'infini.
\qusqu On prend maintenant $C_1:=(x-2)^2+y^2-4$ et
$C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)$. Dessiner $C_1,C_2$, et \'etudier le r\'esultant
en $y$ de ces 2 \'equations. (Adapter le nombre de points pour obtenir un dessin assez joli)
% C1:=(x-2)^2+y^2-4;
% C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
% d1:=implicitplot(C1,x=-1..5,y=-3..3,color=red):
% d2:=implicitplot(C2,x=-5..8,y=-8..8,color=blue):
% (d1,d2);
% eqx:=resultant(C1,C2,y); #On elimine y
% factor(eqx,1.1); # on obtient 5 points reels.
\squ Interpr\'eter les racines de ce r\'esultant en fonction de votre
dessin, et aussi la multiplicit\'e de ces racines.
\squ Factoriser ce r\'esultant de mani\`ere approch\'ee, puis exacte dans
$\reel[x]$. 
% factor(eqx); #On voit qu'il faut introduire le discriminant.
% factor(eqx,sqrt(13));
\squ Trouver les coordonn\'ees exactes des solutions r\'eelles et
complexes de $C_1 \cap C_2$. Dessiner sur l'axe des $Ox$ les racines de ce
r\'esultant en m\^eme temps que les 2 courbes. Que remarquez vous?  
% eqred:=gcd(eqx,diff(eqx,x));
% rac:=[solve(approx(eqred),x)];
% !s!<c>
%On constate qu'il y a un point qui ne semble pas correspondre a une projection
%d'un point d'instersection. Nous allons l'interpr\'eter maintenant.
%!s!
% (d1,d2,seq(point(i,couleur=black+point_width_3),i=rac)); 
% solx:=[solve(eqred,x)];
% soly:=seq(gcd(subs(x=solx[i],C1),subs(x=solx[i],C2)),i=1..3);
% !s!<c>
% les ordonn\'ees des points d'abscisse solx[i] sont:
%!s!
% seq(cSolve(soly[i],y),i=1..3);
%!s!<c>
% On constate que pour solx[3] les ordonn\'ees des points de C1 inter
%  C2 ayant cette abscisse sont complexes conjuguees bien que solx[3]
% soit reel ce qui explique pourquoi le dessin ne nous donnait que 4 points.%!s!
\exotitre{Enveloppes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%-----------------------------------------------Exercice-----------------------------------
%!s!
On consid\`ere une famille de courbes alg\'ebriques planes
$(\Gamma(t))_{t\in\reel}$, d\'ependant de mani\`ere diff\'erentiable de $t$. On
d\'efinit l'intersection $E(t)$ d'une courbe $\Gamma(t)$ et de sa "voisine" comme
la limite de l'intersection  $\Gamma(t)\cap \Gamma(u)$  lorsque $u$ tend vers
$t$ par valeurs diff\'erentes de $t$. L'enveloppe de la famille $\Gamma$ sera par
d\'efinition la r\'eunion des ensembles $E(t)$ lorsque $t$ d\'ecrit $\reel$.
\qu Comparer le resultant en $t$ de $t^2.a+tb+c$ avec $2ta+b$ lorsque $a$ est
nul ou pas.
\qusqu Trouver l'\'equation de l'enveloppe de la famille de courbes d'\'equations:
$$t^2.(x^2+y^2-1)+t.(xy+y^2-x^2)+(x^2+2y^2-1)$$
% G:=t^2*(x^2+y^2-1)+t*(x*y+y^2-x^2)+(x^2+2*y^2-1)
%dG:=diff(G,t)
%eq:=resultant(G,dG,t)
\squ Factoriser votre r\'esultant, et expliquer pourquoi l'un des facteurs ne
compte pas dans l'\'equation de l'enveloppe. (Eventuellement corriger votre
r\'esultat pr\'ec\'edent)
% factor(eq); 
%!s!<c> 
%c'est divisible par le coefficient de t^2 dans G! En effet, on a calcule un
%resultant entre un polyn\^ome de degre 2 et un autre de degre 1. Mais en un point
%ou x^2+y^2=1, le degre de ces polynomes chute de 1, et l'on aurait donc du
%prendre pour un tel point une formule de resultant pour degre inferieur. On a
%donc rajoute des solution a notre probleme. l'equation de l'enveloppe est donc:
%!s!
%eqenv:=normal(eq/(coeff(G,t^2)))
%Gt:=unapply(G,t)
%dGt:=unapply(diff(G,t),t)
\qu Dessiner cette enveloppe et quelques courbes $\Gamma(t)$
%envel:=implicitplot(eqenv,x=-7..7,y=-7..7,xstep=0.01,ystep=0.01,affichage=blue+line_width_3):
%!s!<g>
%envel;
%u:=element(-5..5,0);
%C1:=implicitplot(Gt(u),x=-7..7,y=-7..7,color=red+line_width_1);
%!s!

\newpage
\end{multicols}

\end{document}

