\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
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\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
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%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
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\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
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  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

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  \bigskip
  \qu}
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\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
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%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
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\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP16 R\'esultants\hspace{1cm}}\hfill   agreg 2010 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(1);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); #radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% !s!<c>
%--------------------------------------------Exercice---courbes param\'etr\'ees---------------------------------
%!s!
\exotitre{Equation d'une courbe param\'etr\'ee}
On consid\`ere la courbe plane param\'etr\'ee: $$t\mapsto (t.(t^2-1)^2,t^2+1)$$%
\qu Quelle est son \'equation cart\'esienne de son adh\'erence dans le plan affine r\'eel?
% XT:=t*(t^2-1)^2;YT:=t^2+1;
% eq:=resultant(XT-x,YT-y,t);
% !s!<c>
% On remarque que si YT est reel, alors t^2 aussi, donc si XT est aussi reel,
% XT/(t^2-1) aussi donc t  aussi. donc si (XT,YT) est une solution reelle de
% l'equation cartesienne trouvee, alors elle elle provient d'un parametre reel.
%!s!
\qu Faire un dessin \`a partir de la forme param\'etrique et de l'\'equation
cart\'esienne trouv\'ee.
%purge(x,y,u,t);
% dessin1:=plotparam(XT+I*YT,t=-2..2);
% dessin2:=implicitplot(eq=0,x=-5..5,y=-5..5,xstep=0.01,ystep=0.01);
\qu M\^eme question avec la courbe param\'etr\'ee: $$t \mapsto
(\frac{\cos(t)+1}{\sin(t)+2},\frac{\sin^3(t)}{\sin(t)-3}$$
% !s!<c>
%Pour la fraction rationnelle  trigonom\'etrique, on exprime x et y en fonction
%d'un fraction rationnelle en u=tan(t/2), puis on elimine u avec le resultant.
% !s!
% F1:=normal(halftan((cos(t)+1)/(sin(t)+2)));#on exprime tout avec tan(t/2)
% F1u:=subst(F1,tan(t/2)=u);
% F2:=normal(halftan((sin(t)^3)/(sin(t)-3)));
% F2u:=subst(F2,tan(t/2)=u);
% eq:=resultant(denom(F1u)*x-numer(F1u),denom(F2u)*y-numer(F2u),u);
% dessinpara:=plotparam([F1,F2],t=-2*Pi..2*Pi);
% dessinimpli:=implicitplot(eq,x=0..2,y=-1..1,ystep=0.01);#on ajuste un peu pour que  implicitplot s'en sorte.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%----------------------------------------Exercice---Intersections et projection--------------------------------------
%!s!
\exotitre{Intersections de courbes planes}
On consid\`ere les courbes d'\'equation:
\begin{center}
$C_1:xy=4$ et $C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)$.
\end{center}
\qu Tracer $C_1,C_2$ avec des couleurs diff\'erentes.
%purge(x,y);
% C1:=x*y-4;C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
% d1:=implicitplot(C1,x=-7..7,y=-8..8,color=red+line_width_2):
% d2:=implicitplot(C2,x=-7..7,y=-8..8,color=blue+line_width_2,xstep=0.01,ystep=0.01):
% (d2,d1);
\qusqu Donner une \'equation de  la projection de $C_1
\cap C_2$ sur l'axe des $x$ selon $(Oy)$. Factoriser la sur $\reel$.
% eqx:=resultant(C1,C2,y); #On elimine y
% !s!<c>
%Astuce: pour ne pas passer en flottants via le menu deroulant, on lui donne une
%extention de corps sous forme d'un flottant.
%!s!
% factor(eqx,1.1); # on obtient 5 points reels.
\squ Pourquoi ne trouve t'on pas 6 points?
% !s!<c>
%c'est de degre 5 car le centre de projection (0,1,0) est solution.
%!s!
\qusqu Etudier la projection sur l'axe des $y$ de $C_1\cap C_2$ depuis le point
$(1,1)$. Ce point est il solution du syst\`eme?
% !s!<c>
%  on parametre la droite passant par les points [1,1] et [0,y] grace au vecteur
%  directeur (-1,y-1): 
%!s!
% M:=[1,1]+t*[-1,y-1]; 
% P1:=unapply(C1,x,y)(op(M));
% P2:=unapply(C2,x,y)(op(M));
% !s!<c>
% On cherche l'equation de la projection de l'intersection depuis (1,1)  sur
% Oy. Cette   equation est encore de degre 5. Pourtant (1,1) n'est pas
% solution. Mais on a   pris toutes les droites passant par (1,1) sauf (x=1) (ie
% x=z en projectif)  mais le point (0,1,0) est solution de C1 inter C2, et il
% est sur cette droite. On a donc perdu  la ou les solutions qui sont sur la
% droite retir\'ee. 
% !s!
% resultant(P1,P2,t);
\squ Comment tester si la droite $y=-2x+3$ n'a pas de solutions communes (m\^eme
dans $\complex$) avec $C_1\cap C_2$.
% resultant(subs(y=-2*x+3,C1),subs(y=-2*x+3,C2),x); #il n'est pas nul
% gcd((subs(y=-2*x+3,C1),subs(y=-2*x+3,C2),x)); #autre methode le pgcd est   constant.
%!s!<c>
%On a donc verifie que la droite d'equation y=-2x+3 (ie la parallele a y=-2x
%passant par (1,1) ne rencontrait pas C1 inter C2 meme sur un corps
%algebriquement clos.
%!s!
\squ Etudier maintenant la projection depuis le point $(1,1)$ sur la
droite $y=-2x$.
%!s!<c>
% NB: A=(1,1) n'est pas sur la droite y=-2x. Bt=(t,-2t)  eq param de la droite
% (ABt): x=1+l(t-1),y:=1+l(-2t-1)
%!s!
% C1t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C1);
% C2t:=subs(x=1+l*(t-1),y=1+l*(-2*t-1),C2);
%!s!<c>
% la projection est donn\'ee par les points de coordonn\'ee (t,-2t) o\`u t racine
% de. De plus, on a verifie que la parallele a la droite y=-2x passant par (1,1)
% ne contenait aucune solutions de C1 inter C2, ca ne pose donc pas de problemes
% de l'avoir retiree.
%!s!
% p2:=resultant(C1t,C2t,l);
\squ Pourquoi est il de maintenant de degr\'e 6? Pourquoi $(1,-2)$ est il
dans la projection de $C_1\cap C_2$
%!s!<c>
% car le point (1,-2) est l'intersection de y=-2x avec la droite passant par (1,1)
%et le point a l'infini de Oy. Mais le point a l'infini de Oy  etait bien dans
%C1 inter C2. 
%!s!
\squ Trouver une valeur approch\'ee des points de projection, et
dessiner les droites passant par ces points et le centre de
projection.
% sol:=solve(approx(p2),t);#pour basculer en flottants on fait approx.
% pi1:=seq(point(sol[i]-2*I*sol[i],color=black+point_width_3),i=1..6): #les points sur la droite y=-2x
% di1:=seq((droite(1+I,pi1[i],color=green)),i=1..6): # les 6 droites:
% (d1,d2,pi1,di1); #NB un point d'intersection de C1 et C2 est a l'infini.
\qusqu On prend maintenant $C_1:=(x-2)^2+y^2-4$ et
$C_2:y^2=(x-3).(x^2-16)$. Dessiner $C_1,C_2$, et \'etudier le r\'esultant
en $y$ de ces 2 \'equations. (Adapter le nombre de points pour obtenir un dessin assez joli)
%purge(x,y);
% C1:=(x-2)^2+y^2-4;
% C2:=y^2-(x-3)*(x^2-16);
% d1:=implicitplot(C1,x=-1..5,y=-3..3,color=red):
% d2:=implicitplot(C2,x=-5..8,y=-8..8,color=blue):
% (d1,d2);
% eqx:=resultant(C1,C2,y); #On elimine y
% factor(eqx,1.1); # on obtient 5 points reels.
\squ Interpr\'eter les racines de ce r\'esultant en fonction de votre
dessin, et aussi la multiplicit\'e de ces racines.
\squ Factoriser ce r\'esultant de mani\`ere approch\'ee, puis exacte dans
$\reel[x]$. 
% factor(eqx); #On voit qu'il faut introduire le discriminant.
% factor(eqx,sqrt(13));
\squ Trouver les coordonn\'ees exactes des solutions r\'eelles et
complexes de $C_1 \cap C_2$. Dessiner sur l'axe des $Ox$ les racines de ce
r\'esultant en m\^eme temps que les 2 courbes. Que remarquez vous?  
% eqred:=gcd(eqx,diff(eqx,x));
% rac:=[solve(approx(eqred),x)];
% !s!<c>
%On constate qu'il y a un point qui ne semble pas correspondre a une projection
%d'un point d'instersection. Nous allons l'interpr\'eter maintenant.
%!s!
% (d1,d2,seq(point(i,couleur=black+point_width_3),i=rac)); 
% solx:=[solve(eqred,x)];
% soly:=seq(gcd(subs(x=solx[i],C1),subs(x=solx[i],C2)),i=1..3);
% !s!<c>
% les ordonn\'ees des points d'abscisse solx[i] sont:
%!s!
% seq(cSolve(soly[i],y),i=1..3);
%!s!<c>
% On constate que pour solx[3] les ordonn\'ees des points de C1 inter
%  C2 ayant cette abscisse sont complexes conjuguees bien que solx[3]
% soit reel ce qui explique pourquoi le dessin ne nous donnait que 4 points.%!s!



%!s!<c>
%----------------------------------------Exercice---Intersections de quadriques--------------------------------------
%!s!
\exotitre{intersection de surfaces}
\qu On consid\`ere les deux quadriques: $S_1:x^2+y^2/4+z^2/9=1$ et
$S_2:x^2+y^2+z^2=u$, d\'ependantes d'un param\`etre $u$.
\squ Etudier la projection de l'intersection $S_1\cap S_2$ selon $Oy$. Que
remarquez vous? Pour quelles valeurs de $u$ est ce d\'eg\'en\'er\'e?
%purge(u);
% S1:=x^2+1/4*y^2+1/9*z^2-1
%S2:=x^2+y^2+z^2-u;
%projy:=resultant(S1,S2,y);
%factor(projy);#c'est une conique double a cause de la symetrie en y.
%coni:=factors(projy)[2][1,1];
%!s!<c>
%Pour retrouver les coniques degeneree, on cree la forme quadratique associee en
%homog\'en\'eisant son \'equation, puis on trouve la matrice de la forme quadratique
%avec les d\'eriv\'ees partielles. on regarde ensuite son son determinant.
%!s!
\squ Bien qu'il l'\'equation soit tres simple, comment trouve t'on si une conique
est d\'eg\'en\'er\'ee en fonction d'un d\'eterminant.
%q:=normal(x[3]^2*unapply(coni,x,y)(x[1]/x[3],x[2]/x[3]));
%Mq:=matrix(3,3,(i,j)->diff(q,x[i],x[j]));#le determinant est bien nul pour u=4.
\squ Faites des dessins.
%purge(u);
%DS1:=implicitplot(S1,x,y,z,couleur=13+rempli):
%!s!<h>
%DS1;
%u:=element(1..9,4)
%DS2:=implicitplot(S2,x,y,z,couleur=jaune+rempli);
%!s!
\squ Pour $u=3$; \'etudier la projection de $S_1\cap S_2$ sur le plan $(xOy)$
depuis le point $(5,5,10)$.
% purge(t);
%u:=3;
% M:=[5,5,10]+t*[x-5,y-5,0-10];#la droite passant par [5,5,10] et [x,y,0]
%proj2:=resultant(unapply(S1,x,y,z)(op(M)),unapply(S2,x,y,z)(op(M)),t);
\squ Puis ajustez votre dessin. Pensez vous que l'\'equation de cette projection
est irr\'eductible sur $\complex$?
% !s!<c>
%La projection pour u=3 depuis (5,5,10) a brise la sym\'etrie que l'on avait en
%projetant selon Oz sur les solutions du systeme. On n'a donc plus le carr\'e
%d'une conique. D'autre part, bien que l'on voie 2 nappes r\'eelles, elles ne
%ressemblent pas du tout a des coniques ni a des droites, l'equation de degre 4
%est donc irreductible sur les complexes.
%!s!
% implicitplot(proj2,x=-2..2,y=-2..2,xstep=0.01);
\qu Remarquez que les 3 projections de $S_1\cap S_2$ selon Ox, Oy, Oz sont des
coniques doubles. Comment ferait on avec $S_3=7x^2+4xy+4xz+5y^2+12yz+6z^2+1$ et
$S_4=-x^2-2xy-2xz-4y^2-6yz-3z^2-2$ pour trouver $4$ 
points tels que les projections de $S_3\cap S_4$depuis ces points soient des
coniques doubles?
% !s!<c>
%on cherche une quadrique degeneree contenant S3 inter S4 
%!s! 
% S3:=7*x^2+4*x*y+4*x*z+5*y^2+12*y*z+6*z^2+1
% S4:=-x^2-2*x*y-2*x*z-4*y^2-6*y*z-3*z^2-2
% S3h:=normal(x[4]^2*unapply(S3,x,y,z)(x[1]/x[4],x[2]/x[4],x[3]/x[4]));
% S4h:=normal(x[4]^2*unapply(S4,x,y,z)(x[1]/x[4],x[2]/x[4],x[3]/x[4]));
% MS3:=matrix(4,4,(i,j)->diff(S3h,x[i],x[j]));
% MS4:=matrix(4,4,(i,j)->diff(S4h,x[i],x[j]));
% factor(det(l1*MS3+l2*MS4));#les solutions sont (l1,l2) =(1,-1),(2,1),(1,2),(2,19)
% !s!<c>
%Donc les 4 noyaux suivants donnent 4 points de l'espace projectif de dimension
%3 tels que S3 inter S4 soit sur un cone de degre 2 de sommet ce point. cette
%intersection se projette donc en une conique double depuis ces points. Il y en
%a 3 a l'infini et le point (0,0).
% On trouve donc les 3 projections selon les vecteurs (0,1,-1),(0,0,-1),(3,0,-1)
% et la projection centrale de centre (0,0,0). Essayons d'eliminer z avec la
% projections selon (0,1,-1). 
% !s!
% ker(MS3-MS4);ker(2*MS3+MS4);ker(MS3+2*MS4);ker(2*MS3+19*MS4);
% M:=[x,y,0]+t*[0,1,-1];
% proj3:=resultant(unapply(S3,x,y,z)(op(M)),unapply(S4,x,y,z)(op(M)),t);
%factor(proj3);#c'est bien une conique double.
\exotitre{Enveloppes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%-----------------------------------------------Exercice-----------------------------------
%!s!
On consid\`ere une famille de courbes alg\'ebriques planes
$(\Gamma(t))_{t\in\reel}$, d\'ependant de mani\`ere diff\'erentiable de $t$. On
d\'efinit l'intersection $E(t)$ d'une courbe $\Gamma(t)$ et de sa "voisine" comme
la limite de l'intersection  $\Gamma(t)\cap \Gamma(u)$  lorsque $u$ tend vers
$t$ par valeurs diff\'erentes de $t$. L'enveloppe de la famille $\Gamma$ sera par
d\'efinition la r\'eunion des ensembles $E(t)$ lorsque $t$ d\'ecrit $\reel$.
\qu Comparer le resultant en $t$ de $t^2.a+tb+c$ avec $2ta+b$ lorsque $a$ est
nul ou pas.
\qusqu Trouver l'\'equation de l'enveloppe de la famille de courbes d'\'equations:
$$t^2.(x^2+y^2-1)+t.(xy+y^2-x^2)+(x^2+2y^2-1)$$
% G:=t^2*(x^2+y^2-1)+t*(x*y+y^2-x^2)+(x^2+2*y^2-1)
%dG:=diff(G,t)
%eq:=resultant(G,dG,t)
\squ Factoriser votre r\'esultant, et expliquer pourquoi l'un des facteurs ne
compte pas dans l'\'equation de l'enveloppe. (Eventuellement corriger votre
r\'esultat pr\'ec\'edent)
% factor(eq); 
%!s!<c> 
%c'est divisible par le coefficient de t^2 dans G! En effet, on a calcule un
%resultant entre un polyn\^ome de degre 2 et un autre de degre 1. Mais en un point
%ou x^2+y^2=1, le degre de ces polynomes chute de 1, et l'on aurait donc du
%prendre pour un tel point une formule de resultant pour degre inferieur. On a
%donc rajoute des solution a notre probleme. l'equation de l'enveloppe est donc:
%!s!
%eqenv:=normal(eq/(coeff(G,t^2)))
%Gt:=unapply(G,t)
%dGt:=unapply(diff(G,t),t)
\qu Dessiner cette enveloppe et quelques courbes $\Gamma(t)$
%envel:=implicitplot(eqenv,x=-7..7,y=-7..7,xstep=0.01,ystep=0.01,affichage=blue+line_width_3):
%!s!<g>
%envel;
%u:=element(-5..5,0);
%Ce:=implicitplot(Gt(u),x=-7..7,y=-7..7,color=red+line_width_1);
%!s!
\newpage
\end{multicols}

\end{document}

