\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
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  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
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    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP19 \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2010 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(1);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); #radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%-----------------------------------------------Exercice-----------------------------------
%!s!
\exotitre{Quartiques rationnelles, \'elimination}
\qu Choisir $3$ points distincts non align\'es, et diff\'erents de $(0,0)$. On note
$l_1,\dots,l_3$ les \'equations des droites passant par deux de ces points. On
consid\`ere l'id\'eal $I=(l_1.l_2,l_2.l_3,l_3.l_1)$. Quel est l'ensemble des points
annulant tous les \'el\'ements de $I$?
% !s!<c>
% Essayons (1,1) (1,0) (2,1). C'est l'ensemble des points annulant les elements de I.
% !s!
%q1:=(x+y-1)*(y-1);q2:=(x-y-1)*(x-1);q3:=(x-1)*(y-1); #Les coniques contenant les 3 points.
%I1:=[q1,q2,q3]; #l'ideal des 3 points.
\qu D\'ecrire $I^2$. D\'essiner une courbe dont
l'\'equation est un \'el\'ement assez g\'en\'eral de degr\'e $4$ de $I^2$.
% I2:=[q1^2,q1*q2,q2^2,q3^2,q2*q3,q1*q3]; #le carr\'e de l'id\'eal I1.
\qu Trouver  un \'el\'ement irr\'eductible $P$ de $I^2$ de degr\'e $4$ nul en $(0,0)$.
%P:=normal(([1,2,-3,0,-5,6]*transpose(I2))[1]-q2^2);
%factor(P);
%!s!<c>
%P est irreductible sur Q, mais on ne le sait pas sur C. En revanche, le
%dessin suivant ne ressemble ni a la reunion de 2 coniques, ni a la reunion
%d'une droite et d'une cubique. P est donc bien irreductible sur C. 
%!s!
%DP:=implicitplot(P,x=-1..4,y=-4..4,xstep=0.01,ystep=0.01,couleur=blue+line_width_3);
\qu Prendre 2 coniques $C_1,C_2$ passant par les $3$ points choisis et $(0,0)$.
% !s!<c>
% On trouve 2 element de I1 de degre 2 sans terme constant.
%!s!
% C1:=q1-q2;
% C2:=q1-q3;
\qu En projetant l'intersection de $C_1$ et $P=0$ sur $O_x$ et $O_y$, obtenir un
point de la quartique $P=0$ en g\'en\'eral diff\'erent des $4$ donn\'es.
% !s!<c>
%Une conique passant par (0,0) et les 3 autres points coupe la quartique en
%(0,0) et deux fois les 3 autres points. Ceci se voit sur le resultant. IL y a
%un facteur de degre 5 qui ne depend pas de la conique passant par ces 4 points,
%et dont les racines sont les projections des 4 points avec multiplicit\'ees.  
%!s!
% factor(gcd(resultant(P,C1,y),resultant(P,C2,y)));
% quo(resultant(P,C1,y),x*(x-2)^2*(x-1)^4,x);
% quo(resultant(P,C2,y),x*(x-2)^2*(x-1)^4,x);
% dernierfacteurx:=quo(resultant(P,C1+t*C2,y),x*(x-2)^2*(x-1)^4,x);
% xt:=solve(dernierfacteurx,x);
% !s!<c>
% On peut ne pas avoir de chance avec les 2 coniques choisies, ici le pgcd est
% de degre 8 , et pas 7,
%!s!
% factor(gcd(resultant(P,C1,x),resultant(P,C2,x)));
% !s!<c>
%Mais en prenant  une combinaison lineaire generale on voit le facteur
%correspondant aux 1+3*2 racines deja connues, On simplifie donc par ce polynome
%de degre 7. 
%!s!
% factor(resultant(P,C1+t*C2,x));
% dernierfacteury:=quo(resultant(P,C1+t*C2,x),y^3*(y-1)^4,y);
% yt:=solve(dernierfacteury,y);
% !s!<c>
%On verifie graphiquement la parametrisation.
%!s!
% paramplot(xt+I*yt,t=-75..75,tstep=0.01);
% !s!<g>
% t:=element(-10..10,-1,0.1);
% implicitplot(C1+t*C2,x,y);
% DP;
% point(xt+I*yt,couleur=red+point_width_3);
%!s!
\qu En d\'eduire une param\'etrisation rationnelle de la quartique.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%----------------------------Exercice---------------------------------------------
%!s!
\exotitre{Polyn\^ome minimal d'un alg\'ebrique. Cf [BPR] p 121}
Soit $\theta$ un \'el\'ement entier sur $\ratio$, et $a$ un \'el\'ement
de $\ratio[\theta]$. Il s'agit de comprendre comment
trouver le polyn\^ome minimal de $a$ sur $\ratio$ connaissant $a$ en
fonction de $\theta$ et le polyn\^ome minimal de $\theta$ sur $\ratio$.
\qu Choisir un polyn\^ome $P$ unitaire irreductible sur $\rela$ de degr\'e $n$
non ridicule. On note $\theta$ une racine de $P$. On consid\`ere
l'\'el\'ement $a=\frac{1}{d}(\sum_{i=0}^{n-1}a_i.\theta^i)$. On notera $H$
le polyn\^ome $\sum_{i=0}^{n-1}a_i.x^i)$. (Pour illustrer la m\'ethode, on pourra
laisser des variables formelles pour les $a_i$)
\squ Trouver la matrice de
la multiplication par $a$ dans $\ratio[\theta]=\ratio[X]/(P)$.
% P:=x^4+x+1;
%A:=1/d*add(a[i]*x^i,i=0..degree(P)-1);
%H:=d*A;
%M:=matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^i,P,x),x,j),i=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
%M:=matrix(4,4,(i,j)->coeff(rem(A*x^(j-1),P),x,i-1)); #c'est plus simple
\squ Calculer son polyn\^ome caract\'eristique, et comparez le au
r\'esultant en $y$ de $P(y)$ avec $dx-H(y)$.
%cp:=charpoly(M,x):
%res:=resultant(subs(x=y,P),d*x-subs(x=y,H),y): #attention re est un mot reserve
%!s!<c>
%le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%!s!
%normal(d^(degree(P))*cp-res); #ils sont bien egaux
\squ Montrer que $d^{\deg P}.Res_y(P(y),d.x-H(y))$ est une puissance
du polyn\^ome minimal de $a$ sur $\ratio$. Illustrer ceci sur un exemple
o\`u ils ne sont pas \'egaux.
% P:=x^4+1;
% A:=x^2:H:=A;
% M:=matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^i,P,x),x,j),i=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
%cp:=charpoly(M,x):
%res:=resultant(subs(x=y,P),x-subs(x=y,H),y):
%!s!<c>
%le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%!s!
%normal(cp-res);
%!s!<c>
%le poly min est une puissance de:
%!s!
% gcd(res,diff(res,x));
% pmin(M,x);#ils sont egaux.




\newpage
\end{multicols}

\end{document}
