\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\usepackage[french]{babel}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
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\def\ratio{{
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\def\petitratio{{
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    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP20? Id\'eaux et g\'eom\'etrie \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2010 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(1);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); #radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%-----------------------------------------------Exercice-----------------------------------
%!s!
\exotitre{id\'eaux,dualit\'e, simplifications}
\qu Cr\'eer une liste des mon\^omes de degr\'e au plus $2$ en $u_1,u_2$ o\`u l'on ajoute
1. Idem avec ceux de degr\'e au plus $3$.  
% L:=[];d:=2;purge(x);
%for i from 0 to d do for j from 0 to d-i do L:=[op(L),x[1]^i*x[2]^j] od; od; 
\qusqu Prendre un polyn\^ome $P$ de degr\'e 2 en $x,y$ et nul en 5 points \`a
coordonn\'ees enti\`eres, l'un d'entre eux \'etant $(1,1)$. 
% !s!<c>
%On prend une liste de 5 points entiers, dont (1,1), et on cherche la conique
%passant par ces points.
%!s!
% M:=[[1,1],[-3,2],[2,2],[1,5],[-6,3],[x,y]];
%f1:=unapply(L,x);
%% P:=det(matrix([seq([M[i,1]^2,M[i,1]*M[i,2],M[i,2]^2,M[i,1],M[i,2],1],i=1..6)]));
% P:=det(matrix([seq(f1(M[i]),i=1..6)]));
\squ Calculer un vecteur directeur $v$ de la tangente \`a $P=0$ en $(1,1)$.
% D2:=unapply(diff(P,y),x,y);
% D1:=unapply(diff(P,x),x,y);
% v:=[-D2(1,1),D1(1,1)];
\squ Trouver un polynome $Q$ de degr\'e 3 passant par ces 5 points tels que les
courbes affines d'\'equation $P(x,y)=0$ et $Q(x,y)=0$ soient tangentes en
$(1,1)$. (On pourra commencer par en trouver un passant par ces 5 points ainsi
que par $(1,1)+t.v$).
% !s!<c>
%On rajoute un point sur la tangente dependant de t, et 2 autre point au
%hazard. On s'assurera que la situation est assez generale, par exemple, pas 4
%points alignes. Le determinant trouve est divisible par t, et on en cherche la
%limite lorsque t tend vers 0, autrement dit, on cheche le coeff de t du determinant.
%!s!
% M:=[op(M),[1,1]+t*v,[-3,1],[3,4]];
% L:=[];d:=3;purge(x);
%for i from 0 to d do for j from 0 to d-i do L:=[op(L),x[1]^i*x[2]^j] od; od; 
%f1:=unapply(L,x);
% (matrix([seq(f1(M[i]),i=1..9)]));
% EQ:=matrix([seq(f1(M[i]),i=1..9)]);
% Q:=coeff(det(EQ),t);#pour que 0 soit racine double.
% !s!<c>
% Autre m\'ethode pour trouver Q avec une tangente imposee en 1,1, on derive par
% rapport a t la ligne correspondante, et l'on remplace.
%!s!
% EQ[7]:=unapply(diff(EQ[7],t),t)(0);
% simplify(det(EQ)/Q); # c'est bien constant.
\squ Faire le dessin. 
\squ Rendre les polyn\^omes $P$ et $Q$ homog\`enes en $x,y,z$.
%%Q:=y*z-x^2;
% P:=normal(z^2*subs(y=y/z,x=x/z,P));
% Q:=normal(z^3*subs(y=y/z,x=x/z,Q));
%DP:=implicitplot(subs(z=1,P),x=-5..5,y=-5..5,couleur=bleu):
%DQ:=implicitplot(subs(z=1,Q),x,y,xstep=0.01,ystep=0.01):
%DP,DQ;
\squ Calculer le resultant en $t$ de $P(ta_1+a_2,tb_1+b_2,tc_1+c_2)$ et de
$Q(ta_1+a_2,tb_1+b_2,tc_1+c_2)$. (on l'appelera $R$). 
% !s!<c>
% On cree les fonctions de x,y,z avec unapply. attention avec cette syntaxe
% ([x,y,z]), P1 sera une fonction de (x,y,z) et non d'un vecteur: [x,y,z], d'ou
% le op(v) dans la suite.
%!s!
% P1:=unapply(P,[x,y,z]);
% Q1:=unapply(Q,[x,y,z]);
% v:=t*[a1,b1,c1]+[a2,b2,c2];
% P1(op(v));
% R:=resultant(P1(op(v)),Q1(op(v)),t);
\squ Comparez $R$ avec le resultant en $t$ de $P(a_1+ta_2,b_1+tb_2,c_1+tc_2)$ et de
$Q(a_1+ta_2,b_1+tb_2,c_1+tc_2)$.
% P1:=unapply(P,[x,y,z]);
% Q1:=unapply(Q,[x,y,z]);
% vv:=[a1,b1,c1]+t*[a2,b2,c2];
% simplify(resultant(P1(op(vv)),Q1(op(vv)),t)/R);
\qu Elimination et base de Grobner.
\squ On note $A,B,C$ les mineurs $2\times 2$ de la matrice $
\left(\begin{array}{ccc}
  a_1&b_1&c_1\\
  a_2&b_2&c_2
\end{array}\right)$. Comment calculer les mineurs de cette matrice? Comment
transformer une matrice en une liste?
% M:=matrix([[a1,b1,c1],[a2,b2,c2]]);
% !s!<c>
%Pour creer une matrice  en rayant une colonne, on utilise delcols. Pour
%convertir une matrice en une liste, il y a mat2list.
%!s! 
% det(delcols(M,2..2));
% mat2list(M); 
% L:=[A-det(delcols(M,3..3)),B-det(delcols(M,2..2)),C-det(delcols(M,1..1))];
\qu Expliquer comment transformer un polyn\^ome en $a_1,\dots,c_2$ en un polyn\^ome
en $A,B,C$ lorsque c'est possible. (On se servira des instructions utilisant une
base de grobner).   
%GBL:=gbasis(L,mat2list(M));
%!s!<c>
%sous maple on utilise gbasis et normalf du paquet Grobner
%!s!
\squ Obtenir $R$ sous forme d'un polyn\^ome en $A,B,C$.
%duale:=greduce(R,GBL,mat2list(M));
\squ Factoriser ce polyn\^ome, et dessiner la courbe.
% !s!<c>
%On obtient bien une equation de degre: dP.dQ dont les facteurs irrreductibles
%sur C sont les equations des droites duales des points solutions du systeme:
%P(x,y)=Q(x,y)=0. 
%!s! 
% factor(duale);
% !s!<c>
% On enleve le gros coefficient constant en divisant par le contenu du
% polynome
%!s!
%duale:=quo(duale,content(duale,A));
% factor(duale);
% !s!<c>
% Pour le dessin implicite, il vaut mieux bien mieux donner une forme
% FACTORISEE, sinon c'est trop long, et pire on abandonne si on lui fait
% chercher les bornes en A et B sans les donner avec A= ..
%!s! 
%implicitplot(subs(C=1,factor(duale)),A,B);
\squ Expliquer la bijection (sur $\complex$) entre l'intersection de $P$ et $Q$
et les facteurs 
irreductibles de $R$\footnote{$R$ est l'equation de la courbe duale du groupe de
points}, et obtenir ainsi une d\'efinition de la notion de multiplicit\'e
d'intersection de 2 courbes planes en un point, et commenter le th\'eor\`eme de
Bezout.
% !s!<c>
% soit M un point du plan, et LM l'equation de la droite duale de M. la
% multiplicite de M dans l'intersection de P et Q sera par definition la
% multiplicite du facteur LM dans le polynome R de degre dP.dQ en A,B,C. Par
% construction, le theoreme de Bezout sera vrai avec cette definition.
%!s!
% 

\newpage
\end{multicols}

\end{document}

