\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage[french]{babel}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{13\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP15 Corps finis \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2011 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(0);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); #radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\F{{\rm I\! F}}
\exo
NB: Pour l'examen, je conseille plutot de n'utiliser que des corps de cardinal
premier, et d'utiliser les op\'erations sur les polyn\^omes \`a coefficients
modulaires telles que \code{powmod} ou \code{rem} pour des extensions sup\'erieures.
\qu Essayez: \verb/(x-1)*(x+1)%5/ et  \verb/factor(x^2-1)%5/ et 
% (x-1)*(x+1)%5;// Attention le % developpe automatiquement
% factor(x^2-1)%5;// ca factorise dans Z puis developpe dans Z/5Z
% factor(x^2-1%5);//ici ca factorise dans Z/5Z
\qu Trouver dans la documentation de xcas une instruction permettant de cr\'eer un
corps  fini, et de travailler dedans. Par exemple, cr\'eer un corps $\F_3[a]$
isomorphe \`a $\F_{3^6}$. Calculer $(1+a)^{17}$.
% F729:=GF(3,6,'a');
% F729((1+a)^17);
% a:=F729(a); //On note a cette classe.
% (1+a)^17
\qu Factoriser $x^3-x+1$ dans $\F_3$ et $F_{3^6}$, et $x^3-x+a$ dans $F_{3^6}$.
% factor(x^3-x+1%3);
% factor(x^3-x+1,a);
% factor(x^3-x+a,a);
\qu Trouver en utilisant  \code{Factor} un polyn\^ome irr\'eductible de degr\'e
$5$. Arrivez vous \`a cr\'eer $\F_{3^{20}}$
% factor((x^(3^5)-x)%3);
% GF(3,20,a); //c'est trop gros:No irreducible primitive polynomial found Error:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{polyn\^omes irr\'eductibles}
\qu Factoriser $X^8+1$ sur $\rela$ et sur $\F_3$
% factor(X^8+1); factor(X^8+1%3);
\qusqu Quelle est la syntaxe pour cr\'eer un ensemble? Affectez \`a \code{l}
l'ensemble \verb/{1,2,3,4,3,4};/ Remarquer 
la diff\'erence avec \verb/l:=[1,2,3,4,3,4];/ et obtenir le
compl\'ementaire de $\{1,3\}$ dans $l$ ainsi que celui de $l$ dans $l$.
% l:=%{1,2,3,4,3,4%};
% l:=set[1,2,3,4,3,4];
% l minus %{1,3%};
% l minus l;
\squ Soit $n$ un entier premier avec $3$. Faire une proc\'edure qui
affiche les orbites de $<3,.>$ agissant sur $\rela/n\rela$ par multiplication.
%!s!<p>
% orbites:=proc(n)
% local a,ii,j,k,l,o,liste;
% liste:=[];
% if n % 3 =0 then print("Erreur: 3 divise",n)
% else
% l:=%{seq(ii,ii=0..n-1)%};
% j:=1;
% while(l<>%{%})
%  {
%   ii:=l[0];
%   o:=%{ ii %};a:=irem(3*ii, n);
%   while(a<>ii){o:=o union %{ a %};a:= irem(3*a, n);}
%%attention avant versions 31/1/2008 mettre un eval devant le minus
%   l:= (l minus o); liste:=[op(liste),o]; 
%  };
% fi;
% liste;
% end proc;
%!s!
\squ Pour plusieurs valeurs de $n$, comparer ces orbites avec la
factorisation de $X^n-1$ dans $\F_3[X]$
% factor(X^32-1%3);
% orbites(32);
% factor(X^14-1%3);
% orbites(14);
%!s!<c>
% On remarque que pour tout i il y a autant d'orbites \`a i elements que de facteurs irreductibles de degre i
%!s!
\squ Pour $n$ allant de $1$ \`a $8$, quel est l'ordre de $3$ dans
$(\rela/2^n\rela)^\times$? Ce groupe est il cyclique? Commentez avec
le cas g\'en\'eral. 
% for ii from 1 to 8 do print(nops(orbites(2^ii)),2^ii) od;

\squ Quel est l'ordre maximal d'un \'el\'ement de
$(\rela/2^n\rela)^\times$? (NB: ce groupe se surjecte sur
$(\rela/4\rela)^\times$)
%!s!<c>
%  (Cf cours)On peut montrer que le noyau de la surjection donn\'ee par la
% reduction mod 4 est cyclique d'ordre 2^(n-2)
% -3=1+4.m ou m est impair, donc -3 est d'ordre maximal donc 3 aussi.
%  En fait les elements d'ordre max sont ceux congrus a 5 ou -5 mod 8
%!s!
% pari();
%znorder(3%8);
% for ii from 1 to 8 do print(znorder(3%2^ii),2^ii) od;
\squ Pour ces $n$, factoriser sur $\rela$ $X^{2^n}-1$. Quels sont les
polyn\^omes cyclotomiques $\Phi_{2^n}$? Sont ils irr\'eductibles sur
$\F_3[X]$?
% for ii from 1 to 8 do print(factor(X^(2^ii)-1),2^ii) od;
%!s!<c>
% le poly cyclo Phi_2^n est phi(n)
%!s!
% phi:=n->X^(2^(n-1))+1;
% for ii from 1 to 8 do print(factor(phi(ii) % 3)) od;
% !s!<c>
% Remarquons aussi que l'ordre de 3 dans le groupe multiplicatif de (Z/2^iZ)
% est le degre des facteurs irreductibles de cyclotomic(2^i) dans Z/3Z[x]
%!s!
\qu Dans cette question nous cherchons \`a construire un corps int\'eressant pour
pouvoir illustrer l'algorithme d'extraction de racine carr\'ee vu en cours. (Cf TP
suivant) 
\squ Trouver un $i$ pour que $3^i-1$ soit divisible par $2^8$ mais pas
par $2^9$. On notera $q$ cette valeur de $3^i$.
% for ii from 1 to 100 do if ((3^ii-1) % 2^8) == 0  then print(ii) fi; od;
%!s!<c>
%on prend ii=64
%!s!
\squ Trouver un polyn\^ome $P$ irr\'eductible de degr\'e $i$ dans $\F_3[X]$, o\`u $i$ est
la valeur choisie dans la question pr\'ec\'edente.
% factor(X^128+1 % 3);
% P:=(X^64+X^32-1)%3;
%% `mod`:=mods; # ne marche pas sous xcas
% factor(P) ; //P convient
\newpage
\end{multicols}

\end{document}

