\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage[french]{babel}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
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\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{13\baselineskip}
\topmargin=-5\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP20 \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2011 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(0);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); //radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%----------------------------Exercice---------------------------------------------
%!s!
\exo
\qu Donner le polyn\^ome minimal de $5^{1/3}+\sqrt{5}$ sur $\ratio$.
%l:=5^(1/3)+sqrt(5);
%P:=resultant((x-y)^3-5,y^2-5,y);
%if(simplify(unapply(P,x)(l))==0) then print("c'est bon") fi;
\qu En utilisant un r\'esultant, donnez le polyn\^ome minimal de
$5^{1/3}+\sqrt{2}+5^{1/7}+1+2^{1/5}$ sur $\ratio$.
%!s!<p>
%pmsomme:=proc(A,B)
%local fA,fB;
%fA:=unapply(A,x)(x-y);
%fB:=unapply(B,x)(y);
%resultant(fA,fB,y);
%end;
%!s!
%l:=5^(1/3)+sqrt(2)+5^(1/7)+1+2^(1/5);
%P1:=pmsomme(x^3-5,x^2-2);
%P2:=pmsomme(P1,x^7-5);
%P3:=pmsomme(P2,(x-1)^5-2);
%nops(factor(P3));
%simplify(unapply(P3,x)(l)); // ca doit etre nul
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%----------------------------Exercice---------------------------------------------
%!s!
\exotitre{Polyn\^ome minimal d'un alg\'ebrique. Cf [BPR] p 121 ou [Coh]}
Soit $\theta$ un \'el\'ement entier sur $\ratio$, et $a$ un \'el\'ement
de $\ratio[\theta]$. Il s'agit de comprendre comment
trouver le polyn\^ome minimal de $a$ sur $\ratio$ connaissant $a$ en
fonction de $\theta$ et le polyn\^ome minimal de $\theta$ sur $\ratio$.
\qu Choisir un polyn\^ome $P$ unitaire irreductible sur $\rela$ de degr\'e $n$
non ridicule (par exemple 4, mais on s'arrangera pour que les instructions
suivantes soient facilement r\'eutilisables apr\`es une r\'eaffectation de $P$). On
note $\theta$ une racine de $P$. On consid\`ere 
l'\'el\'ement $a=\frac{1}{d}(\sum_{i=0}^{n-1}a_i.\theta^i)$. On notera $H$
le polyn\^ome $\sum_{i=0}^{n-1}a_i.x^i)$. (Pour illustrer la m\'ethode, on pourra
laisser des variables formelles pour les $a_i$)
\squ Trouver la matrice de
la multiplication par $a$ dans $\ratio[\theta]=\ratio[X]/(P)$.
% P:=x^4+x+1;
%A:=1/d*add(a[j]*x^j,j=0..degree(P)-1);
%H:=d*A;
%M:=matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^ii,P,x),x,j),ii=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
%M:=matrix(4,4,(ii,j)->coeff(rem(A*x^(j),P),x,ii)); //c'est plus simple
\squ Calculer son polyn\^ome caract\'eristique, et comparez le au
r\'esultant en $y$ de $P(y)$ avec $dx-H(y)$.
%cp:=charpoly(M,x):;
%res:=resultant(subst(P,x=y),d*x-subst(H,x=y),y):; //attention re est un mot reserve
%!s!<c>
%le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%!s!
%normal(d^(degree(P))*cp-res); //ils sont bien egaux
\squ Montrer que $d^{\deg P}.Res_y(P(y),d.x-H(y))$ est une puissance
du polyn\^ome minimal de $a$ sur $\ratio$. Illustrer ceci sur un exemple
o\`u ils ne sont pas \'egaux.
% P:=x^4+1;
% A:=x^2:;H:=A;
% M:=matrix([seq([seq(coeff(rem(A*x^ii,P,x),x,j),ii=0..degree(P)-1)],j=0..degree(P)-1)]);
%cp:=charpoly(M,x):;
%res:=resultant(unapply(P,x)(y),x-unapply(H,x)(y),y):;
%!s!<c>
%le poly caract est 1/d^(deg P) * resultant: verification:
%!s!
%normal(cp-res);
%!s!<c>
%le poly min est une puissance de:
%!s!
% gcd(res,diff(res,x));
% pmin(M,x);//ils sont egaux.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%!s!<c>
%-----------------------------------------------------------------------------
% Exercice:  Contour apparent
%!s!
\exotitre{Contour apparent}
On consid\`ere un ballon mod\'elis\'e par une sph\`ere d'\'equation
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2-4$. Les rayons du soleil arrivent selon le vecteur
$(1,0,2)$. Donnez une \'equation nulle sur le contour de l'ombre port\'ee du ballon
dans le plan $z=0$
%B:=(x-1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2-4;
%M:=[x,y,0]+t*[1,0,2];
%P1:=unapply(B,x,y,z)(op(M));
%P2:=diff(P1,t);
%EQ:=resultant(P1,P2,t);
%D1:=implicitplot(B,[x=-5..5,y=-5..5,z=0..8],display=magenta+rempli):;
%D3:=plan(z=0,couleur=yellow):;
%CYL:=unapply(EQ,x)(x-z/2); // l'equation du cylindre
%D2:=implicitplot(CYL,[x=-5..5,y=-5..5,z=0..10],display=green+line_width_3):;
%D3,D1,D2;
%!s!<c>
%-----------------------------------------------------------------------------
%!s!
%
\newpage
\end{multicols}

\end{document}
