\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
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  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP21 Courbes rationnelles\hspace{1cm}}\hfill   agreg 2011 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(0);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); //radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%----------------------------Exercice---------------------------------------------
%!s!
\exotitre{Param\'etrisation d'une conique.}
\qu Cr\'eer une conique lisse de $\proj_2$ au hasard passant
par le point $(1,1,1)$. (ie donnez une forme quadratique non d\'eg\'en\'er\'ee nulle en
$(1,1,1)$ ). Astuce: on utilisera les variables \verb/x[0],x[1],x[2]/  
% !s!<c>
%On prend une conique passant par (0,0,1),  puis on change de variable.
%!s!
% C:=add(add(rand(20)()*x[ii]*x[jj],ii=0..2),jj=0..1);
% C:=normal(subst(C,x[0]=x[0]-x[2],x[1]=x[1]-x[2]));
% !s!<c>
% On cree la fonction associee a l'equation de la conique. On verifie qu'elle
% contient: (1,1,1)
%!s!
% c:=unapply(C,x);c([1,1,1]);
\qu Trouver une param\'etrisation par des
fractions rationnelles de la conique affine ${\cal C}$ priv\'ee d'un point.  Trouver aussi
une param\'etrisation de  ${\cal C}$ par $\proj_1$. V\'erifiez votre r\'esultatavec
l'\'equation cart\'esienne.
% purge(u,v,a);M:=[1,1,1]+a*[u,v,0];
% s:=simplify(c(M)/a);
% para:=-coeff(s,a,1)*[1,1,1]+coeff(s,a,0)*[u,v,0];
% normal(c(para));  // verification:
% Caff:=normal(c(x,y,1)); // l'equation affine.
% normal([para[0]/para[2],para[1]/para[2]]); // la forme parametrique affine parametree par  P1
% normal(subst([para[0]/para[2],para[1]/para[2]],v=1));// la conique affine moins un point  parametree par R
\qusqu Trouver une forme param\'etrique de la tangente en un point g\'en\'eral
de ${\cal C}$.
% !s!<c>
% la tangente au point para est la droite AB
%!s!
% A1:=[seq(diff(para[j],u),j=0..2)];
% B1:=[seq(diff(para[j],v),j=0..2)];
% AB:=simplify(a*A1+b*B1);
% factor(c(AB));   // On trouve bien une racine double
\squ Trouver son \'equation cart\'esienne.
% tgte:=add(unapply(diff(C,x[j]),x)(para)*x[j],j=0..2);
%% tgte:=add(subst(x[1]=para[1],x[2]=para[2],x[3]=para[3],diff(C,x[i]))*x[i],i=1..3);
% !s!<c>
%verification: ca doit etre nul.
%!s!
% simplify(unapply(tgte,x)(A1));
% simplify(unapply(tgte,x)(B1));
\squ Dessiner une partie affine de ces constructions. On
pourra cr\'eer une fonction \code{paff} qui converti des coordonn\'ees homog\`enes en
l'affixe du point affine correspondant.
%paff:=w->subst((w[0]+i*w[1])/w[2],v=1);
% DC:=plotparam(paff(para),u=-5..5,affichage=bleu+line_width_2);
% !s!<c>
%La version implicite est ici  plus jolie car on fait bouger le parametre dans un segment
%au lieu de R
%!s!
%DC:=implicitplot(Caff,x,y,affichage=bleu+line_width_2);
% !s!<g>
% DC;
% u:=element(-3..3);
% droite(paff(A1),paff(B1));
%!s!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%----------------------------Exercice---------------------------------------------
%!s!
\exotitre{Cubique plane rationnelle}
\newcommand{\PP}{{\rm I} \! {\rm P}}
Une courbe plane d'\'equation $P(x,y)=0$ passant par $(1,1)$ est dite singuli\`ere en
ce point si $\frac{\partial P }{\partial x}$ et $\frac{\partial P}{\partial y}$
s'annulent en ce point.
\qu Remarquer que cette courbe est singuli\`ere en $(2,1)$ si et seulement si $P$
est dans l'id\'eal $((x-2)^2,(x-2)(y-1),(y-1)^2)$. Cr\'eer un \'el\'ement  de degr\'e $3$
avec de petits coefficients entiers al\'eatoires\footnote{on pourra utiliser add et rand}dans cet id\'eal, et essayer de dessiner la courbe d'\'equation $P(x,y)=0$.
%P:=normal(add((rand(1,-5,5)[0]*x+rand(1,-5,5)[0]*y+rand(1,-5,5)[0])*(x-2)^j*(y-1)^(2-j),j=0..2));
%implicitplot(P,x,y,xstep=0.01);
\qu Pour $(a,b)\neq (0,0)$, on note $d_{a,b}$ la droite passant par $(2,1)$
et le point $(a+2,b+1)$.  Calculer l'intersection de la droite $d_{a,b}$ avec la
courbe pr\'ec\'edente. Montrer qu'il y a une racine double connue et un point
r\'esiduel not\'e $M_{a,b}$. Justifiez ces expressions en terme de racines d'un
polyn\^ome \`a une variable.
% fP:=unapply(P,x,y);
% intersec:=normal(fP(a*t+2,b*t+1)/t^2);
% !s!<c>
% On resout l'equation de degre 1 en t: intersec=0 en recuperant les
% coefficients. C'est toujours plus raisonnable d'eviter  d'utiliser une
% fonction sophistiquee telle que  solve, dont on ne sait pas trop ce quelle
% fait. Meme si ici ca marche tres bien. 
%!s!
% t0:=normal(-coeff(intersec,t,0)/coeff(intersec,t,1));
% xab:=a*t0+2;yab:=b*t0+1; //les coordonn\'ees du point Mab.
% if normal(fP(xab,yab))==0 then print("c'est bon, le point trouve est bien sur la cubique") fi; // verification.
\qu Dessiner cette courbe param\'etr\'ee par $\PP_1$ dans le plan affine.
%Ma:=subst(xab+i*yab,b=1);
% C11:=paramplot(Ma,a=-20..20,affichage=blue);//NB la langue des couleurs peut poser PB
% !s!<g>
% a:=element(-20..20,0);
% point(Ma,affichage=point_width_3);
% droite(Ma,2+i);
% C11;
% !s!
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%!s!<c>
%-----------------------------------------------Exercice-----------------------------------
%!s!
\exotitre{Quartiques rationnelles, \'elimination}
\qu Nous allons cr\'eer un polyn\^ome de degr\'e 4 avec 3 points singuliers. On
explique ici un moyen d'obtenir un exemple assez g\'en\'eral. 
\squ Choisir $3$ points distincts non align\'es, et diff\'erents de $(0,0)$. On note
$l_1,\dots,l_3$ les \'equations des droites passant par deux de ces points. On
consid\`ere l'id\'eal $I=(l_1.l_2,l_2.l_3,l_3.l_1)$. Quel est l'ensemble des points
annulant tous les \'el\'ements de $I$?
% !s!<c>
% Essayons (1,1) (1,0) (2,1). C'est l'ensemble des points annulant les elements de I.
% !s!
%q1:=(x+y-1)*(y-1);q2:=(x-y-1)*(x-1);q3:=(x-1)*(y-1); //Les coniques contenant les 3 points.
%I1:=[q1,q2,q3]; //l'ideal des 3 points.
\squ D\'ecrire $I^2$. D\'essiner une courbe dont
l'\'equation est un \'el\'ement assez g\'en\'eral de degr\'e $4$ de $I^2$.
% I2:=[q1^2,q1*q2,q2^2,q3^2,q2*q3,q1*q3]; //le carr\'e de l'id\'eal I1.
\squ Trouver  un \'el\'ement irr\'eductible $P$ de $I^2$ de degr\'e $4$ nul en $(0,0)$.
%P:=normal(([1,2,-3,0,-5,6]*transpose(I2))[0]-q2^2);
%factor(P);
%!s!<c>
%P est irreductible sur Q, mais on ne le sait pas sur C. En revanche, le
%dessin suivant ne ressemble ni a la reunion de 2 coniques, ni a la reunion
%d'une droite et d'une cubique. P est donc bien irreductible sur C. 
%!s!
%DP:=implicitplot(P,x=-1..4,y=-4..4,xstep=0.01,ystep=0.01,couleur=blue+line_width_3);
\qu Nous allons maintenant param\'etrer cette courbe de degr\'e 4 avec des fractions rationnelles. 
\squ Prendre 2 coniques $C_1,C_2$ passant par les $3$ points choisis et $(0,0)$.
% !s!<c>
% On trouve 2 element de I1 de degre 2 sans terme constant.
%!s!
% C1:=q1-q2;
% C2:=q1-q3;
\squ En projetant l'intersection de $C_1$ et $P=0$ sur $O_x$ et $O_y$, obtenir un
point de la quartique $P=0$ en g\'en\'eral diff\'erent des $4$ donn\'es.
% !s!<c>
%Une conique passant par (0,0) et les 3 autres points coupe la quartique en
%(0,0) et deux fois les 3 autres points. Ceci se voit sur le resultant. IL y a
%un facteur de degre 5 qui ne depend pas de la conique passant par ces 4 points,
%et dont les racines sont les projections des 4 points avec multiplicit\'ees.  
%!s!
% factor(gcd(resultant(P,C1,y),resultant(P,C2,y)));
% quo(resultant(P,C1,y),x*(x-2)^2*(x-1)^4,x);
% quo(resultant(P,C2,y),x*(x-2)^2*(x-1)^4,x);
% dernierfacteurx:=quo(resultant(P,C1+t*C2,y),x*(x-2)^2*(x-1)^4,x);
% xt:=solve(dernierfacteurx,x);
% !s!<c>
% On peut ne pas avoir de chance avec les 2 coniques choisies, ici le pgcd est
% de degre 8 , et pas 7,
%!s!
% factor(gcd(resultant(P,C1,x),resultant(P,C2,x)));
% !s!<c>
%Mais en prenant  une combinaison lineaire generale on voit le facteur
%correspondant aux 1+3*2 racines deja connues, On simplifie donc par ce polynome
%de degre 7. 
%!s!
% factor(resultant(P,C1+t*C2,x));
% dernierfacteury:=quo(resultant(P,C1+t*C2,x),y^3*(y-1)^4,y);
% yt:=solve(dernierfacteury,y);
% !s!<c>
%On verifie graphiquement la parametrisation.
%!s!
% paramplot(xt+i*yt,t=-75..75,tstep=0.01);
% !s!<g>
% t:=element(-10..10,-1,0.1);
% implicitplot(C1+t*C2,x,y);
% DP;
% mm:=point(xt+i*yt,couleur=red+point_width_3);
%!s!
\squ En d\'eduire une param\'etrisation rationnelle de la quartique.


\newpage
\end{multicols}

\end{document}
