\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage[french]{babel}
\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.4\largeurtmp}
\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{Q}{\rm C}\kern -0.66\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.66\largeurtmp}}
\def\ratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.75\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.9\largeurtmp}\kern 0.75\largeurtmp}}
\def\petitratio{{
    \settoheight{\largeurtmp}{C}{\rm Q}\kern -0.6\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{0.6\largeurtmp}\kern 0.6\largeurtmp}}
\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.5cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
\addtolength{\oddsidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\evensidemargin}{-\elargir}
\addtolength{\elargir}{\elargir}
\addtolength{\textwidth}{\elargir}
\addtolength{\textheight}{14\baselineskip}
\topmargin=-6\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP22 Polyn{\^o}mes et Codes \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2011 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(0);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); //radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
Fin du TP21. (quartiques rat)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\exo {\bf Illustration d'un graphe}
(Pr{\'e}paration 30min)
\qu On encode un graphe {\`a} $n$ sommets par une suite de triplets: $[i,j,k]$
o{\`u} $i\leq j$, exprimants le fait qu'il y ait $k$ chemins entre les sommets $i$ et
$j$. (o{\`u} $k>0$). Pour dessiner le graphe, on forme avec les sommets un polyg{\^o}ne
r{\'e}gulier. On affectera {\`a} $n$ une certaine valeur que l'on pourra changer ensuite.
\qu D{\'e}finir l'ensemble $S$ des points repr{\'e}sentants les $n$ sommets. (Ils
doivents {\^e}tre bien marqu{\'e}s).
%n:=5;
%a:=exp(2*i*Pi/n);
%S:=seq(point(a^j,affichage=point_width_3,couleur=blue),j=1..n):;
\qu Cr{\'e}er une fonction permettant de tracer $k$ chemins entre 2 points: on
pourra prendre des arcs de cercle. On pourra m{\^e}me les choisirs pour {\^e}tre sur
qu'ils ne passent pas par 3 sommets. (Comment?)
% !s!<c>
%Un cercle  passe par 3 sommets ssi  il coincide avec le cercle 
%unite. Donc si l'angle au centre n'est pas multiple de (2IPi/n) c'est bon. 
%!s!
%f:=(ii,j,k)->if k=1 then segment(a^ii,a^j) else seq(arc(a^ii,a^j,l/k),l=1..k) fi;
%G:=[[1,3,1],[1,2,3],[2,4,2],[2,3,1],[3,5,3],[3,4,1],[4,1,2]]:;
%S;seq(f(op(l)),l=G); //op pour enlever les crochets
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\qu Preparez un expos{\'e} (de 15min) introductif  sur les graphes avec des
illustrations/exemples.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\newpage
\end{multicols}

\end{document}

