\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
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\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
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\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
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\def\complex{{
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\def\ratio{{
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\def\petitratio{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} Coniques de Poncelet\footnote{Cf
    Samuel. Appendice sur les correspondances (2,2)} \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2011 (F.Han)}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
% restart;maple_mode(0);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,25,[1,50,0,25],0,0,0);//radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\begin{center}
  {\it Oral blanc. Pr{\'e}paration 4h}
\end{center}
\section{Propri{\'e}t{\'e}s {\'e}l{\'e}mentaires des coniques}
\subsection{D{\'e}finitions et premi{\`e}res propri{\'e}t{\'e}s}
On consid{\`e}re  une forme quadratique non nulle $Q$ sur $\reel^3$ que l'on identifie {\`a} sa
matrice dans la base canonique. On d{\'e}finit l'ensemble
$$C_Q=\left\{(x,y)\in\reel^2
\left|
 \left(\begin{array}{ccc}
   x & y & 1
 \end{array}\right).Q.
 \left(\begin{array}{c}
   x\\
   y\\
   1
 \end{array}\right)=0
\right.
\right\}$$
On utilisera ici la terminologie g{\'e}om{\'e}trique\footnote{plutot que la d{\'e}finition
  alg{\'e}brique qui est moins restrictive} pour le mot conique. On dira donc que
$C_Q$ est une conique de $\reel^2$ si cet ensemble contient au moins deux {\'e}l{\'e}ments
distincts. En particulier la signature de $Q$ n'est pas
quelconque\footnote{Quelles sont les possibilit{\'e}s?}.

\bigskip
On dira que $C_Q$ est une conique d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e si ce lieu contient une droite. On
pourrait montrer que cette condition est {\'e}quivalente au fait que $Q$ soit une
forme quadratique d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e.

\subsection{Tangentes; Conique duale}
On rappelle que si $C_Q$ est une conique non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e, alors la tangente en un
point $(x_0,y_0)$ de $C_Q$ a pour {\'e}quation  $\left(
  \begin{array}{ccc}
    x_0 & y_0 & 1
  \end{array}\right).Q.
\left(\begin{array}{c}
  x\\
  y\\
  1
\end{array}\right)=0$.


\bigskip
On en d{\'e}duit  qu'une droite affine d'{\'e}quation
$u_0.x+u_1.y+u_2=0$ est tangente {\`a} $C_Q$ si et seulement si
$\sum_{0\leq i,j \leq 2} a_{i,j}u_i.u_j=0$ o{\`u} la matrice $(a_{i,j})$ est
l'inverse  de $Q$. L'ensemble des droites tangentes {\`a} $C_Q$ sera appel{\'e} la
conique duale de $C_Q$.

\subsection{Param{\'e}trisation}
On peut aussi montrer que toute conique non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e, {\'e}ventuellement priv{\'e}e
d'un point peut {\^e}tre param{\'e}tr{\'e}e avec des fractions rationnelles. Par exemple la
conique d'{\'e}quation $2x^2+3x.y-y^2+y-15x+6$ d{\'e}ssin{\'e}e ci dessous peut {\^e}tre
param{\'e}tr{\'e}e en utilisant les droites contenant un fixe $\omega$ de cette conique.


%% Generated by xcas
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5.6353,-1.7232)(6.3647,3.0622)
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\psline[fillcolor=black](     0.439321,     2.226422)(     0.381707,     2.382592)
\psline[fillcolor=black](     0.381707,     2.382592)(     0.312017,     2.533761)
\psline[fillcolor=black](     0.312017,     2.533761)(     0.229555,     2.681440)
\psline[fillcolor=black](     0.229555,     2.681440)(     0.133494,     2.827109)
\psline[fillcolor=black](     0.133494,     2.827109)(     0.022874,     2.972225)
\psline[fillcolor=black](     0.022874,     2.972225)(    -0.103412,     3.118240)
\psline[fillcolor=black](    -0.103412,     3.118240)(    -0.246630,     3.266616)
\psline[fillcolor=black](    -0.246630,     3.266616)(    -0.408211,     3.418838)
\psline[fillcolor=black](    -0.408211,     3.418838)(    -0.589773,     3.576429)
\psline[fillcolor=black](    -0.589773,     3.576429)(    -0.793134,     3.740967)
\psline[fillcolor=black](    -0.793134,     3.740967)(    -1.020328,     3.914098)
\psline[fillcolor=black](    -1.020328,     3.914098)(    -1.273629,     4.097555)
\psline[fillcolor=black](    -1.273629,     4.097555)(    -1.555573,     4.293175)
\psline[fillcolor=black](    -1.555573,     4.293175)(    -1.868982,     4.502914)
\psline[fillcolor=black](    -1.868982,     4.502914)(    -2.216991,     4.728872)
\psline[fillcolor=black](    -2.216991,     4.728872)(    -2.603084,     4.973311)
\psline[fillcolor=black](    -2.603084,     4.973311)(    -3.031126,     5.238677)
\psline[fillcolor=black](    -3.031126,     5.238677)(    -3.505399,     5.527626)
\psline[fillcolor=black](    -3.505399,     5.527626)(    -4.030651,     5.843050)
\psline[fillcolor=black](    -4.030651,     5.843050)(    -4.612139,     6.188105)
\psline[fillcolor=black](    -4.612139,     6.188105)(    -5.255683,     6.566246)
\psline[fillcolor=black](    -5.255683,     6.566246)(    -5.967723,     6.981256)
\psline[fillcolor=black](    -5.967723,     6.981256)(    -6.755385,     7.437289)
\psline[fillcolor=black](    -6.755385,     7.437289)(    -7.626553,     7.938909)
\psline[fillcolor=black](    -7.626553,     7.938909)(    -8.589945,     8.491138)
\psline[fillcolor=black](    -8.589945,     8.491138)(    -9.655205,     9.099501)
\psline[fillcolor=black](    -9.655205,     9.099501)(   -10.832992,     9.770087)
\psline[fillcolor=black](   -10.832992,     9.770087)(   -12.135096,    10.509608)
\psline[fillcolor=black](   -12.135096,    10.509608)(   -13.574547,    11.325465)
\psline[fillcolor=black](   -13.574547,    11.325465)(   -15.165752,    12.225823)
\psline[fillcolor=black](   -15.165752,    12.225823)(   -16.861275,    13.183892)

\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.4240,0.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-11.2689,-7.4192)(21.2022,13.1839)
\end{pspicture} 
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\section{La correspondance biquadratique}
On consid{\`e}re 2 coniques $C_1$ et $C_2$ non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}es du plan affine
$\reel^2$. On suppose\footnote{Commentez cette hypoth{\`e}se}  de plus que
$C_2$ est param{\'e}tr{\'e}e par $(t^2,t)$, on notera $m_t$ le point de $C_2$
correspondant. Pour deux points distincts de $C_2$: $m_t$ et $m_{u}$,
la droite $(m_t m_{u})$ est tangente {\`a} $C_1$ si et seulement si
$t,u$ v{\'e}rifient une {\'e}quation du type: $P(t,u)=0$ o{\`u} $P$ est un
polyn{\^o}me sym{\'e}trique\footnote{que l'on peut expliciter en fonction de
  $C_1$} en $t,u$ de degr{\'e} $2$ en $t$ et aussi en $u$. On notera
$$P(t,u)=a(u)t^2+b(u)t+c(u)$$
% B:=matrix(3,3):;B[0,0]:=1:;B[1,1]:=2:;B[2,2]:=3:;B[0,2]:=-2:;B[2,0]:=-2:;B;
% X:=[x,y,1];C1:=X*B*X;C2:=y^2-x;
% IMPL1:=implicitplot(C1=0,x=0..8,y=-3..3,xstep=0.1,ystep=0.1,color=blue):;
% IMPL2:=implicitplot(C2=0,x=0..8,y=-7..7,numpoints=2000,color=red):;
% IMPL:=IMPL1,IMPL2:;
Par exemple si $C_1$ a pour {\'e}quation $x^2-4.x+2.y^2+3=0$ on trouve
$P(t,u)=-2.t^2.u^2+t^2+u^2-6.t.u-6$ 

\bigskip
Pour $t_0 \in \reel$, on note $\{t_1,t_{-1}\}$ les racines
({\'e}ventuellement complexes) de $P(t,t_0)=0$. Pour $i\in \nat^*$, on
note $t_{i+1}$ la racine du polyn{\^o}me\footnote{pourquoi est ce un
  polyn{\^o}me?} $\frac{P(t,t_{i})}{(t-t_{i-1})}$ et $t_{-i-1}$ la racine du
polyn{\^o}me $\frac{P(t,t_{-i})}{(t-t_{1-i})}$. On remarquera que si $t_1$
ou $t_{-1}$ est r{\'e}el, alors $\forall i \in \rela, t_i \in \reel$.

De plus, on montre facilement  que $t_{i+1}$ s'exprime  en fonction de
$t_{i-1}$ et de $a(t_i),b(t_i)$, ce qui nous permet d'obtenir les
$t_i$ par r{\'e}currence, et aussi d'affirmer que
$t_i$ sera toujours une fraction rationnelle en $t_1$,  et que
$t_i+t_{-i}$ et $t_i.t_{-i}$ seront des fractions rationnelles en
$t_0$. Nous aurons en fait un r{\'e}sultat plus pr{\'e}cis que l'on pourra illustrer\footnote{On pourra d'abord essayer d'illustrer cette
    proposition graphiquement mais aussi symboliquement. On pourra
    aussi expliquer comment obtenir 
    l'{\'e}quation cart{\'e}sienne d'une conique dont on connait une forme
    param{\'e}trique de la duale.}:    
\begin{proposition}
  Pour tout $i\in \nat^*$, il existe une conique $\Gamma_i$ telle que
  pour tout choix de $t_0$, si  $t_i$ et $t_{-i}$
  sont distincts et r{\'e}els, la droite $(m_{t_i}m_{t_{-i}})$ est tangente {\`a}
  $\Gamma_i$.
\end{proposition}
%% Generated by xcas
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.4420,-4.8662)(10.5580,6.6485)
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\psset{xunit=1.1249cm}
\psset{yunit=1.1154cm}
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\psset{arrowsize=2pt 4}
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%%\psline[linestyle=dashed]{->}(-1.2820,0.0000)(9.3860,0.0000)
%%\psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-4.3629)(0.0000,5.9609)
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\psline(-1.2820,2.1831)(4.9452,-4.3629)
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\psline(0.5156,-4.3629)(6.5911,5.9609)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-1.2820,-0.8278)(9.3860,4.7151)
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\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-1.2820,0.2619)(9.3860,-3.1065)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-1.2820,2.7048)(9.3860,-3.1732)
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\psline(-0.8004,-4.3629)(3.3654,5.9609)
\psset{linecolor=blue}
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\psline[fillcolor=blue](     2.994522,     0.073913)(     2.978148,     0.147016)
\psline[fillcolor=blue](     2.978148,     0.147016)(     2.951057,     0.218508)
\psline[fillcolor=blue](     2.951057,     0.218508)(     2.913545,     0.287606)
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\psline[fillcolor=blue](     2.978148,    -0.147016)(     2.994522,    -0.073913)

\psset{linecolor=red}
\psset{linewidth=0.5000pt}
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\psline[fillcolor=red](     6.760000,    -2.600000)(     6.250000,    -2.500000)
\psline[fillcolor=red](     6.250000,    -2.500000)(     5.760000,    -2.400000)
\psline[fillcolor=red](     5.760000,    -2.400000)(     5.290000,    -2.300000)
\psline[fillcolor=red](     5.290000,    -2.300000)(     4.840000,    -2.200000)
\psline[fillcolor=red](     4.840000,    -2.200000)(     4.410000,    -2.100000)
\psline[fillcolor=red](     4.410000,    -2.100000)(     4.000000,    -2.000000)
\psline[fillcolor=red](     4.000000,    -2.000000)(     3.610000,    -1.900000)
\psline[fillcolor=red](     3.610000,    -1.900000)(     3.240000,    -1.800000)
\psline[fillcolor=red](     3.240000,    -1.800000)(     2.890000,    -1.700000)
\psline[fillcolor=red](     2.890000,    -1.700000)(     2.560000,    -1.600000)
\psline[fillcolor=red](     2.560000,    -1.600000)(     2.250000,    -1.500000)
\psline[fillcolor=red](     2.250000,    -1.500000)(     1.960000,    -1.400000)
\psline[fillcolor=red](     1.960000,    -1.400000)(     1.690000,    -1.300000)
\psline[fillcolor=red](     1.690000,    -1.300000)(     1.440000,    -1.200000)
\psline[fillcolor=red](     1.440000,    -1.200000)(     1.210000,    -1.100000)
\psline[fillcolor=red](     1.210000,    -1.100000)(     1.000000,    -1.000000)
\psline[fillcolor=red](     1.000000,    -1.000000)(     0.810000,    -0.900000)
\psline[fillcolor=red](     0.810000,    -0.900000)(     0.640000,    -0.800000)
\psline[fillcolor=red](     0.640000,    -0.800000)(     0.490000,    -0.700000)
\psline[fillcolor=red](     0.490000,    -0.700000)(     0.360000,    -0.600000)
\psline[fillcolor=red](     0.360000,    -0.600000)(     0.250000,    -0.500000)
\psline[fillcolor=red](     0.250000,    -0.500000)(     0.160000,    -0.400000)
\psline[fillcolor=red](     0.160000,    -0.400000)(     0.090000,    -0.300000)
\psline[fillcolor=red](     0.090000,    -0.300000)(     0.040000,    -0.200000)
\psline[fillcolor=red](     0.040000,    -0.200000)(     0.010000,    -0.100000)
\psline[fillcolor=red](     0.010000,    -0.100000)(     0.010000,     0.100000)
\psline[fillcolor=red](     0.010000,     0.100000)(     0.040000,     0.200000)
\psline[fillcolor=red](     0.040000,     0.200000)(     0.090000,     0.300000)
\psline[fillcolor=red](     0.090000,     0.300000)(     0.160000,     0.400000)
\psline[fillcolor=red](     0.160000,     0.400000)(     0.250000,     0.500000)
\psline[fillcolor=red](     0.250000,     0.500000)(     0.360000,     0.600000)
\psline[fillcolor=red](     0.360000,     0.600000)(     0.490000,     0.700000)
\psline[fillcolor=red](     0.490000,     0.700000)(     0.640000,     0.800000)
\psline[fillcolor=red](     0.640000,     0.800000)(     0.810000,     0.900000)
\psline[fillcolor=red](     0.810000,     0.900000)(     1.000000,     1.000000)
\psline[fillcolor=red](     1.000000,     1.000000)(     1.210000,     1.100000)
\psline[fillcolor=red](     1.210000,     1.100000)(     1.440000,     1.200000)
\psline[fillcolor=red](     1.440000,     1.200000)(     1.690000,     1.300000)
\psline[fillcolor=red](     1.690000,     1.300000)(     1.960000,     1.400000)
\psline[fillcolor=red](     1.960000,     1.400000)(     2.250000,     1.500000)
\psline[fillcolor=red](     2.250000,     1.500000)(     2.560000,     1.600000)
\psline[fillcolor=red](     2.560000,     1.600000)(     2.890000,     1.700000)
\psline[fillcolor=red](     2.890000,     1.700000)(     3.240000,     1.800000)
\psline[fillcolor=red](     3.240000,     1.800000)(     3.610000,     1.900000)
\psline[fillcolor=red](     3.610000,     1.900000)(     4.000000,     2.000000)
\psline[fillcolor=red](     4.000000,     2.000000)(     4.410000,     2.100000)
\psline[fillcolor=red](     4.410000,     2.100000)(     4.840000,     2.200000)
\psline[fillcolor=red](     4.840000,     2.200000)(     5.290000,     2.300000)
\psline[fillcolor=red](     5.290000,     2.300000)(     5.760000,     2.400000)
\psline[fillcolor=red](     5.760000,     2.400000)(     6.250000,     2.500000)
\psline[fillcolor=red](     6.250000,     2.500000)(     6.760000,     2.600000)
\psline[fillcolor=red](     6.760000,     2.600000)(     7.290000,     2.700000)
\psline[fillcolor=red](     7.290000,     2.700000)(     7.840000,     2.800000)
\psline[fillcolor=red](     7.840000,     2.800000)(     8.410000,     2.900000)
\psline[fillcolor=red](     8.410000,     2.900000)(     9.000000,     3.000000)
\psline[fillcolor=red](     9.000000,     3.000000)(     9.385959,     3.063272)

\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(1.5782,-4.3629)(-1.1455,5.9609)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0225,-0.1500)
\uput{0.0889}[45.0000](0.0225,-0.1500){\color{black} T0}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.6378,-0.7986)
\uput{0.0889}[45.0000](0.6378,-0.7986){\color{black} Tmax}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.2860,0.5348)
\uput{0.0889}[45.0000](0.2860,0.5348){\color{black} Tmax}
\end{pspicture} 
  
\end{center}
De plus, on pourrait aussi illustrer  que si $C_1$ et $C_2$ se coupent en 4 points
  distincts, alors $\Gamma_i$ contient $C_1\cap C_2$. On pourrait aussi trouver
  une extension de cette remarque en terme d'alg{\`e}bre lin{\'e}aire qui serait plus
  simple {\`a} v{\'e}rifier et qui resterait valable tant que $C_1\neq C_2$.
% !s!<c>
% la matrice de C2dual est l'inverse de celle de C2
% equation de mt mu on simplifie par t-u car mt different de m
% !s!
% A:=B^(-1);
% dte:=simplify(det(matrix([[t^2,t,1],[u^2,u,1],[x,y,1]]))/(t-u));
%!s!<c>
%Le vecteur normal a cette droite est donc: (ce sont aussi les coordonnees dans
%la base duale de l'equation de cette droite). On remarque que le vecteur normal
%a la droite (mu_,m_t) n'est autre que [1,-t-u,t.u]. On pourra donc travailler
%avec somme et produit.
%!s!  
% DTE:=simplify([coeff(dte,x,1),coeff(dte,y,1),subst(dte,x=0,y=0)]);
% P:=normal(DTE*A*DTE);//on remarque qu'elles s'expriment facilement avec somme et produit
% a:=coeff(P,t,2);b:=coeff(P,t,1);c:=coeff(P,t,0);
% a:=unapply(a,u); b:=unapply(b,u); c:=unapply(c,u);// On cree les fonctions
%complex_mode:=1;//pour les solves, on se met en mode complexe
% sol1:=solve(P,u);
% s1:=simplify(sol1[0]+sol1[1]);//la somme des racines
% p1:=simplify(sol1[0]*sol1[1]);//leur produit
% !s!<c>
%On obtient ci dessous l'equation de D1 a facteur pres.. Comme elle est de degre
%2 en t, D1 decrit donc une conique duale lorsque t varie 
%!s!  
% D1:=[1,-s1,p1];
% simplify(D1*(2*t^2-1));
%!s!<c>
% Pour d2 il faut mieux guider les simplifications.
% !!ATTENTION, lors de calculs lourds, il FAUT toujours preferer NORMAL a EXPAND!!  
% normal va developper en simplifiant et n'utilisera pas les memes objets en interne.
% !s!
%%  
%!s!<c>
%  
%Pour trouver t_(n+1) et t_(-n-1) a partir des precedents nous allons utiliser somme et produit.
%Notons sn=t_n+t_(-n) et pn=t_n*t_(-n). Alors comme t_(n-1) et t_(n+1) sont lesracines de l'equation en t:  P(t_n,t)=0 on a: t_(n+1)=-t_(n-1)-b(t_n)/a(t_n), et donc
%s_(n+1)=-s_(n-1)-b(t_n)/a(t_n)-b(t_(-n))/a(t_(-n)). Il faudra peut etre aider le logiciel a simplifier
%les radicaux en regroupant les t_n avec les t_(-n). Ce calcul sera plus simple:
% 1) simplifier cette expression b(t_n).a(t_(-n))+b(t_(-n)).a(t_(n)) 
% 2) simplifier a(t_n).a(t_(-n)) puis faire le rapport.
%
% !s!
% !s!<c>
%Cote syntaxe, subs est plutot proche de maple et l'ordre des arguments depend
%du mode: maple ou xcas. L'avantage de subst est que sa syntaxe ne depend pas du
%mode maple ou xcas. En general il vaut mieux creer une fonction. Par exemple
%avec unapply. La syntaxe suivante est plutot proche de l'usage de subs et du
%logiciel maple. On preferera en fait la methode utilisee dans la procedure
%Dn(P,n) en fin de fichier. (ou l'on a transforme a,b,c en des fonctions)
%  
% !s!  
% tmp1:=simplify(normal(b(sol1[0])*a(sol1[1])+b(sol1[1])*a(sol1[0])));
% tmp2:=simplify(normal(a(sol1[0])*a(sol1[1])));
% tmp3:=simplify(normal(c(sol1[0])*c(sol1[1])));
% s2:=simplify(-2*t-tmp1/tmp2);
% p2:=simplify(tmp3/(tmp2*t^2));
% D2:=[1,-s2,p2];//c'est encore une conique
% simplify(denom(D2[1])*D2);
% sol2:=solve(u^2-s2*u+p2=0,u);
%!s!<m>
% tmp1:=simplify(normal(b(sol2[0])*a(sol2[1])+b(sol2[1])*a(sol2[0])));
% tmp2:=simplify(normal(a(sol2[0])*a(sol2[1])));
% tmp3:=simplify(normal(c(sol2[0])*c(sol2[1])));

% s3:=simplify(-s1-tmp1/tmp2);
% p3:=simplify(tmp3/(tmp2*p1));
% D3:=[1,-s3,p3];
% !s!
% simplify(denom(D3[2])*D3);// D3 donne encore une conique dans le plan dual
%!s!<c> 
% qui enveloppe la conique d'equation: (le lieu des points du plan ou
% les tangentes a cette conique sont identiques).
% !s!
% discrim:=(P,t)->normal(coeff(P,t,1)^2-4*coeff(P,t,0)*coeff(P,t,2));
% gamma3:=discrim(simplify([x,y,1]*(denom(D3[2])*D3)),t);
%!s!<c>
% On verifie que l'equation gamma3 est bien une combi lineaire de C1 et
% C2 Donc gamma3 contient C1 inter C2. (gamma3 en vert) 
% !s!
% simplify(gamma3-coeff(gamma3,x,2)*(C1-coeff(C1,y,2)*C2)-coeff(gamma3,y,2)*C2);
% complex_mode:=0;//Pb avec le mode complexe et ce dessin en version <0.9.1
% G3:=implicitplot(gamma3=0,x=0..8,y=-3..3,color=green):;
% complex_mode:=1;
% !s!<p>
% DI:=proc(tt,ii)
% sol:=solve(subst(P,t=tt),u):;s0:=2*tt:;p0:=tt^2:;
% for j from 2 to ii do 
% tmp1:=simplify(normal(b(sol[0])*a(sol[1])+b(sol[1])*a(sol[0])));
% tmp2:=simplify(normal(a(sol[0])*a(sol[1])));
% tmp3:=simplify(normal(c(sol[0])*c(sol[1])));
% s2:=simplify(-s0-tmp1/tmp2);
% p2:=simplify(tmp3/(tmp2*p0));
% s0:=simplify(sol[0]+sol[1]);
% p0:=simplify(sol[0]*sol[1]);
% sol:=solve(u^2-s2*u+p2=0,u);
% end do;
% simplify(denom(p2)*([1,-s2,p2]));
% end proc:;
% !s!
%DI(t,3);//c'est le meme que celui trouve avant.
%DI(t,6);//c'est toujours une conique duale.
% !s!<p>
% dessin:=proc(tt,ii)
% local T,sol,newt,imax,j;
% sol:=solve(subst(P,t=tt),u);
% T:=[tt,sol[0]];
% for j from 2 to ii do
% newt:=-T[j-2]-b(T[j-1])/a(T[j-1]);
% T:=[op(T),newt];
% end do;
% T:=[sol[1],op(T)];
% for j from 2 to ii do
% newt:=-T[1]-b(T[0])/a(T[0]);
% T:=[newt,op(T)];
% end do;
% T;end proc:;
% !s!
% imax:=3;//attention si on change imax, la conique verte est gamma3, elle n'est pas recalculee.
% l:=dessin(.1,imax);//on dessine t0=0.1 jusque timax
% ddte:=(u,t)->line(u^2+i*u,t^2+i*t):;
% dtei:=line(l[0]^2+i*l[0],l[2*imax]^2+i*l[2*imax],'color'=350):;
% seq(ddte(l[ii-1],l[ii]),ii=1..2*imax),IMPL,G3,dtei;
%!s!<g>
%imax:=3;//on dessinera la droite (t_3,t_-3) en ocre
%para:=element(-2.5..2.5,0.5);//notre parametre t0 dans un bouton place a 0.5
% l:=dessin(para,imax):;
% dtei:=line(l[0]^2+i*l[0],l[2*imax]^2+i*l[2*imax],'color'=350):;
% seq(ddte(l[ii-1],l[ii]),ii=1..2*imax),IMPL,G3,dtei;
% T0:=point(l[imax]^2+i*l[imax],'color'=256);//le point T0 est celui du milieu dans la liste.

% Tmax:=point(l[2*imax]^2+i*l[2*imax],color=350);T_max:=point(l[0]^2+i*l[0],color=350);
% !s!
%%
\section{Paires de Poncelet}
On dit que $C_1$ et $C_2$ sont en situation de Poncelet (plus pr{\'e}cis{\'e}ment que
$C_2$ est $n$-circonscrite {\`a} $C_1$), 
s'il existe un polyg{\^o}ne {\`a} $n$ c{\^o}t{\'e}s, avec $n\geq 3$ dont les sommets
soient sur $C_2$ et les c{\^o}t{\'e}s soient tangents {\`a} $C_1$. (On entend par
polyg{\^o}ne la donn{\'e}e d'un ensemble de $n$ points du plan index{\'e}s par
$\rela/n\rela$. Ces points seront  appel{\'e}s des sommets, et on 
definit les cot{\'e}s du polyg{\^o}ne comme les droites passant par 2 sommets
dont la diff{\'e}rence des indices fait $\pm 1$.
Le th{\'e}or{\`e}me de
Poncelet affirme que si deux coniques  sont en situation de Poncelet
pour un polyg{\^o}ne {\`a} $n$ c{\^o}t{\'e}s, alors toute tangente {\`a} $C_1$ est un cot{\'e}
d'un polyg{\^o}ne ayant ses $n$ sommets sur $C_2$ et ses $n$ cot{\'e}s
tangents  {\`a} $C_1$.

Lorsque $3\leq n\leq 5$, il est tr{\`e}s facile\footnote{Expliquer
  pourquoi. On pourra {\'e}ventuellement produire un tel exemple.} de
produire des exemples de coniques en situation de Poncelet. En
revanche, pour $n\geq 6$ \c ca n'est pas si simple.

\subsection{Exemple: cercles concentriques}
On peut par exemple regarder le cas o{\`u} $C_i$ a pour {\'e}quation
$x^2+y^2=r_i^2.z^2$, et m{\^e}me raisonner dans le plan affine r{\'e}el Euclidien
 avec $r_1<r_2$. Dans ce  cas, le polyg{\^o}ne a $n$ c{\^o}t{\'e}s est forc{\'e}menent r{\'e}gulier,
 et  il existe si et seulement si ${r_1\over r_2}=\cos({\pi\over
   n})$. Donc deux cercles concentriques ne sont pas toujours en
 situation de Poncelet.

Bien qu'il soit toujours possible de faire un changement de rep{\`e}re
projectif (sur $\complex$) qui ram{\`e}ne l'{\'e}quation d'une conique non
d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e sous la 
forme $x^2+y^2=r^2.z^2$, il n'est pas toujours possible\footnote{comme
l'indique leur intersection avec la droite d'equation $z=0$} de transformer
simultan{\'e}ment les {\'e}quations de $C_1$ et $C_2$ sous la forme
$x^2+y^2=r_i^2.z^2$. L'{\'e}tude des cercles concentriques est donc trop
restrictive. On peut par exemple produire facilement une paire de
coniques en situation de Poncelet avec $n=3$ qui ne puisse pas {\^e}tre
obtenue depuis l'exemple pr{\'e}c{\'e}dent par changement de rep{\`e}re projectif.
\subsection{Condition explicite}
On cherche maintenant les coniques $C'_1$ du pinceau de coniques $C_1,C_2$
telles que $C_2$ soit $n$-circonscrite {\`a} $C'_1$.

Par exemple, si $C_1$ a pour {\'e}quation $x^2-4.x+2.y^2+3=0$ on cherche les
$s$ tels que la conique $C'_1$ d'{\'e}quation $x^2-4.x+2.y^2+3+s.(y^2-x)=0$ soit
non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e et que $C_2$ soit $n$-circonscrite {\`a} $C'_1$. On pourrait par
exemple expliciter sur cet exemple la condition ($t_2=t_{-1}$ ou $t_1=t_{-2}$)
pour le cas $n=3$, et la condition $t_3=t_{-3}$ pour le cas $n=6$. 
% maple_mode(0);
% B:=matrix(3,3):;B[0,0]:=1:;B[1,1]:=2:;B[2,2]:=3:;B[0,2]:=-2:;B[2,0]:=-2:;B;
% Bs:=B+s*[[0,0,-1],[0,2,0],[-1,0,0]];
% X:=[x,y,1];Cs:=X*Bs*X;C2:=y^2-x;
% As:=Bs^(-1);
% dte:=simplify(det(matrix([[t^2,t,1],[u^2,u,1],[x,y,1]]))/(t-u));//la dte (mu,mt)
% DTE:=simplify([coeff(dte,x,1),coeff(dte,y,1),subst(dte,x=0,y=0)]);//coordonnees duales de cette droite
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% Ps:=normal(DTE*As*DTE);//on remarque qu'elles s'expriment facilement avec somme et produit
% as:=coeff(Ps,t,2);bs:=coeff(Ps,t,1);cs:=coeff(Ps,t,0);
% as:=unapply(as,u); bs:=unapply(bs,u); cs:=unapply(cs,u);// On cree les fonctions
%complex_mode:=1;//pour les solves, on se met en mode complexe
% sol1:=solve(Ps,u);//resolution formelle de l'equation de degre 2 en u. NB:P(u,t)=P(t,u)
% s1:=simplify(sol1[0]+sol1[1]);
% p1:=simplify(sol1[0]*sol1[1]);
% D1:=[1,-s1,p1];//D1 decrit donc une conique duale
% D1:=([as(t),-bs(t),cs(t)]);//le meme sans denominateur
% !s!<c>
%On cree une procedure Dn(P,n) (pour n>=2) qui retourne le vecteur normal a la droite mt_n,mt_(-n)
%!s!
% !s!<p>
% Dn:=proc(PP,n)
% local sol,s0,p0,p2,s2,j,tmp1,tmp2,tmp3;
% sol:=solve(PP,u);s0:=2*t;p0:=t^2;
% for j from 2 to n do 
% tmp1:=simplify(normal(bs(sol[0])*as(sol[1])+bs(sol[1])*as(sol[0])));
% tmp2:=simplify(normal(as(sol[0])*as(sol[1])));
% tmp3:=simplify(normal(cs(sol[0])*cs(sol[1])));
% s2:=simplify(-s0-tmp1/tmp2);
% p2:=simplify(tmp3/(tmp2*p0));
% s0:=simplify(sol[0]+sol[1]);
% p0:=simplify(sol[0]*sol[1]);
% sol:=solve(u^2-s2*u+p2=0,u);
% end do;
% normal(denom(p2)*([1,-s2,p2]));
% end proc;
% !s!
% !s!<c>
% la condition tn=t-n s'exprime par l'annulation du discriminant. on voit qu'il existe des facteurs dans k[s],
%donc des valeurs de s dans une cloture algebrique qui annulent ce discriminant de maniere independante de t,
% ce qui illustre bien le theoreme. Le facteur det(Bs) est present et correspond a des coniques degenerees,
%donc il ne nous int{\'e}resse pas. Les facteurs restant apparaissent avec multiplicite 2.
% Dans le cas n=6=2*3 on trouve un facteur irred de degre 4 et un polynome reduit de degre 12
%(qui est ici reducible un de degre 4 et un de degre 8). Il faut alors comprendre que l'un des facteurs
%de degre 4 correspond au cas 3-poncelet( ie t2=t_-1) car c'est un casparticulier du cas 6-poncelet. 
%En conclusion, les solutions donnant une situation de 6-poncelet  non degeneree sont pour les s solution du
% polynome de degre 12 restant.
% 
% !s!
% factor(det(Bs));
%[l1,l2,l3]:=Dn(Ps,2);
%ponc4:=factor(l2^2-4*l1*l3);//les cas t2=t_(-2)
%[l1,l2,l3]:=Dn(Ps,3);
%ponc6:=factor(l2^2-4*l1*l3);//les cas t3=t_(-3)
%[l1,l2,l3]:=Dn(Ps,4);
%ponc8:=factor(l2^2-4*l1*l3);//les cas t4=t_(-4)
%factor(gcd(ponc4,ponc8));// le cas t2=t_(-2) => le cas t4=t_(-4)
%!s!<c>
%On trouve donc que le cas ou C2 est exactement 8-circonscrite a C'_1 peut arriver lorsque s est
%racine du polynome  de degre 24 constitue des facteurs reduits de:
%!s!
%factor(quo(ponc8,gcd(ponc4,ponc8)));
%!s!<c>
%En fait le cas t2=t_(-1) est difficile a exprimer directement a cause des
%radicaux. En fait la bonne question est: ( t2=t_(-1) ou t_(-2)=t1 )
%!s!
% t1:=sol1[0];//On sauve la valeur de t_(-1)
% tm1:=sol1[1];//On sauve la valeur de t_(-1)
% t2:=simplify(normal(-t-bs(t1)/as(t1)));//On sauve la valeur de t_2
% tm2:=simplify(normal(-t-bs(tm1)/as(tm1)));//On sauve la valeur de t_2
% factor(normal(tm1-t2));//Ne donne rien: On n'obtient pas de facteur ne dependant que de s
% factor(simplify(normal((tm1-t2)*(t1-tm2))));//il faut poser une question symetrique pour le faire apparaitre: 3*s^4+20*s^3+30*s^2+12*s-5
%!s!<c>
%Mieux vaut exprimer que  D1= D2 ou que leur intersection avec la parabole
%(u^2,u) est la meme. Pour cela on cherche les racines communes en u.
%!s!
%pol1:=D1*[u^2,u,1];
%pol2:=Dn(Ps,2)*[u^2,u,1];
%!s!<c>
%le facteur de degre 4 qui est dans Q[s] et qui est premier avec det(As) ici(s^4+4*s^3+18*s^2+44*s+17) donne les cas de 3-poncelet.
%!s!
%ponc3:=factor(resultant(pol1,pol2,u));
%factor(gcd(ponc3,ponc6));//montre que le cas 3-poncelet est cas particulier de 6-poncelet
%!s!<c>
% En cherchant les elements de  Q[s] divisant ponc6 et pas pnc3 ni det(Bs) on trouve:
%(3*s^4+20*s^3+30*s^2+12*s-5)*(s^8+16*s^7+28*s^6-224*s^5-1154*s^4-2096*s^3-1940*s^2-1088*s-311)
% Les valeurs de s annulant ce polynome de degre 12 sont les cas de poncelet
% d'ordre exactement 6.
%!s!
%factor(quo(ponc6,factor(gcd(ponc3*det(Bs),ponc6))));

\section{Suggestions}
Il s'agit d'un menu {\`a} la carte, le candidat est libre de choisir ses
illustrations parmi celles ci ou d'en donner d'autres. 
\qu On pourra expliquer et d{\'e}montrer de nombreux {\'e}nonc{\'e}s du textes.
\qu On pourra suivre l'exemple donn{\'e} et calculer l'{\'e}quation de la droite
$(m_{t_i}m_{t_{-i}})$ en guidant les simplifications pour tester la proposition
1.
\qu On pourra faire une figure analogue {\`a} celle de l'{\'e}nonc{\'e}.
\qu On pourra trouver une {\'e}quation en $s$ exprimant la condition $t_3=t_{-3}$ et
l'on essayera de commenter certains diviseurs de cette {\'e}quation.
\end{document}

