\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
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\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
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\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} Coniques de Poncelet\footnote{Cf
    Samuel. Appendice sur les correspondances (2,2)} \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2013 (F.Han)}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
% restart;maple_mode(0);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,25,[1,50,0,25],0,0,0);//radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\begin{center}
  {\it Oral blanc. Pr\'eparation 4h}
\end{center}
\section{Propri\'et\'es \'el\'ementaires des coniques}
\subsection{D\'efinitions et premi\`eres propri\'et\'es}
On consid\`ere  une forme quadratique non nulle $Q$ sur $\reel^3$ que l'on identifie \`a sa
matrice dans la base canonique. On d\'efinit l'ensemble
$$C_Q=\left\{(x,y)\in\reel^2
\left|
 \left(\begin{array}{ccc}
   x & y & 1
 \end{array}\right).Q.
 \left(\begin{array}{c}
   x\\
   y\\
   1
 \end{array}\right)=0
\right.
\right\}$$
On utilisera ici la terminologie g\'eom\'etrique\footnote{plutot que la d\'efinition
  alg\'ebrique qui est moins restrictive} pour le mot conique. On dira donc que
$C_Q$ est une conique de $\reel^2$ si cet ensemble contient au moins deux \'el\'ements
distincts. En particulier la signature de $Q$ n'est pas
quelconque\footnote{Quelles sont les possibilit\'es?}.

\bigskip
On dira que $C_Q$ est une conique d\'eg\'en\'er\'ee si ce lieu contient une droite. On
pourrait montrer que cette condition est \'equivalente au fait que $Q$ soit une
forme quadratique d\'eg\'en\'er\'ee.

\subsection{Tangentes; Conique duale}
On rappelle que si $C_Q$ est une conique non d\'eg\'en\'er\'ee, alors la tangente en un
point $(x_0,y_0)$ de $C_Q$ a pour \'equation  $\left(
  \begin{array}{ccc}
    x_0 & y_0 & 1
  \end{array}\right).Q.
\left(\begin{array}{c}
  x\\
  y\\
  1
\end{array}\right)=0$.


\bigskip
On en d\'eduit  qu'une droite affine d'\'equation
$u_0.x+u_1.y+u_2=0$ est tangente \`a $C_Q$ si et seulement si
$\sum_{0\leq i,j \leq 2} a_{i,j}u_i.u_j=0$ o\`u la matrice $(a_{i,j})$ est
l'inverse  de $Q$. L'ensemble des droites tangentes \`a $C_Q$ sera appel\'e la
conique duale de $C_Q$.

\subsection{Param\'etrisation}
On peut aussi montrer que toute conique non d\'eg\'en\'er\'ee, \'eventuellement priv\'ee
d'un point peut \^etre param\'etr\'ee avec des fractions rationnelles. Par exemple la
conique d'\'equation $2x^2+3x.y-y^2+y-15x+6$ d\'essin\'ee ci dessous peut \^etre
param\'etr\'ee en utilisant les droites contenant un fixe $\omega$ de cette conique.


%% Generated by xcas
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5.6353,-1.7232)(6.3647,3.0622)
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\psline[fillcolor=black](     0.229555,     2.681440)(     0.133494,     2.827109)
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\psline[fillcolor=black](     0.022874,     2.972225)(    -0.103412,     3.118240)
\psline[fillcolor=black](    -0.103412,     3.118240)(    -0.246630,     3.266616)
\psline[fillcolor=black](    -0.246630,     3.266616)(    -0.408211,     3.418838)
\psline[fillcolor=black](    -0.408211,     3.418838)(    -0.589773,     3.576429)
\psline[fillcolor=black](    -0.589773,     3.576429)(    -0.793134,     3.740967)
\psline[fillcolor=black](    -0.793134,     3.740967)(    -1.020328,     3.914098)
\psline[fillcolor=black](    -1.020328,     3.914098)(    -1.273629,     4.097555)
\psline[fillcolor=black](    -1.273629,     4.097555)(    -1.555573,     4.293175)
\psline[fillcolor=black](    -1.555573,     4.293175)(    -1.868982,     4.502914)
\psline[fillcolor=black](    -1.868982,     4.502914)(    -2.216991,     4.728872)
\psline[fillcolor=black](    -2.216991,     4.728872)(    -2.603084,     4.973311)
\psline[fillcolor=black](    -2.603084,     4.973311)(    -3.031126,     5.238677)
\psline[fillcolor=black](    -3.031126,     5.238677)(    -3.505399,     5.527626)
\psline[fillcolor=black](    -3.505399,     5.527626)(    -4.030651,     5.843050)
\psline[fillcolor=black](    -4.030651,     5.843050)(    -4.612139,     6.188105)
\psline[fillcolor=black](    -4.612139,     6.188105)(    -5.255683,     6.566246)
\psline[fillcolor=black](    -5.255683,     6.566246)(    -5.967723,     6.981256)
\psline[fillcolor=black](    -5.967723,     6.981256)(    -6.755385,     7.437289)
\psline[fillcolor=black](    -6.755385,     7.437289)(    -7.626553,     7.938909)
\psline[fillcolor=black](    -7.626553,     7.938909)(    -8.589945,     8.491138)
\psline[fillcolor=black](    -8.589945,     8.491138)(    -9.655205,     9.099501)
\psline[fillcolor=black](    -9.655205,     9.099501)(   -10.832992,     9.770087)
\psline[fillcolor=black](   -10.832992,     9.770087)(   -12.135096,    10.509608)
\psline[fillcolor=black](   -12.135096,    10.509608)(   -13.574547,    11.325465)
\psline[fillcolor=black](   -13.574547,    11.325465)(   -15.165752,    12.225823)
\psline[fillcolor=black](   -15.165752,    12.225823)(   -16.861275,    13.183892)

\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.4240,0.0000)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-11.2689,-7.4192)(21.2022,13.1839)
\end{pspicture} 
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\section{La correspondance biquadratique}
On consid\`ere 2 coniques $C_1$ et $C_2$ non d\'eg\'en\'er\'ees du plan affine
$\reel^2$. On suppose\footnote{Commentez cette hypoth\`ese}  de plus que
$C_2$ est param\'etr\'ee par $(t^2,t)$, on notera $m_t$ le point de $C_2$
correspondant. Pour deux points distincts de $C_2$: $m_t$ et $m_{u}$,
la droite $(m_t m_{u})$ est tangente \`a $C_1$ si et seulement si
$t,u$ v\'erifient une \'equation du type: $P(t,u)=0$ o\`u $P$ est un
polyn\^ome sym\'etrique\footnote{que l'on peut expliciter en fonction de
  $C_1$} en $t,u$ de degr\'e $2$ en $t$ et aussi en $u$. On notera
$$P(t,u)=a(u)t^2+b(u)t+c(u)$$
% B:=matrix(3,3):;B[0,0]:=1:;B[1,1]:=2:;B[2,2]:=3:;B[0,2]:=-2:;B[2,0]:=-2:;B;
% X:=[x,y,1];C1:=X*B*X;C2:=y^2-x;
% IMPL1:=implicitplot(C1=0,x=0..8,y=-3..3,xstep=0.1,ystep=0.1,color=blue):;
% IMPL2:=implicitplot(C2=0,x=0..8,y=-7..7,numpoints=2000,color=red):;
% IMPL:=IMPL1,IMPL2:;
Par exemple si $C_1$ a pour \'equation $x^2-4.x+2.y^2+3=0$ on trouve
$P(t,u)=-2.t^2.u^2+t^2+u^2-6.t.u-6$ 

\bigskip
Pour $t_0 \in \reel$, on note $\{t_1,t_{-1}\}$ les racines
(\'eventuellement complexes) de $P(t,t_0)=0$. Pour $i\in \nat^*$, on
note $t_{i+1}$ la racine du polyn\^ome\footnote{pourquoi est ce un
  polyn\^ome?} $\frac{P(t,t_{i})}{(t-t_{i-1})}$ et $t_{-i-1}$ la racine du
polyn\^ome $\frac{P(t,t_{-i})}{(t-t_{1-i})}$. On remarquera que si $t_1$
ou $t_{-1}$ est r\'eel, alors $\forall i \in \rela, t_i \in \reel$.

De plus, on montre facilement  que $t_{i+1}$ s'exprime  en fonction de
$t_{i-1}$ et de $a(t_i),b(t_i)$, ce qui nous permet d'obtenir les
$t_i$ par r\'ecurrence, et aussi d'affirmer que
$t_i$ sera toujours une fraction rationnelle en $t_1$,  et que
$t_i+t_{-i}$ et $t_i.t_{-i}$ seront des fractions rationnelles en
$t_0$. Nous aurons en fait un r\'esultat plus pr\'ecis que l'on pourra illustrer\footnote{On pourra d'abord essayer d'illustrer cette
    proposition graphiquement mais aussi symboliquement. On pourra
    aussi expliquer comment obtenir 
    l'\'equation cart\'esienne d'une conique dont on connait une forme
    param\'etrique de la duale.}:    
\begin{proposition}
  Pour tout $i\in \nat^*$, il existe une conique $\Gamma_i$ telle que
  pour tout choix de $t_0$, si  $t_i$ et $t_{-i}$
  sont distincts et r\'eels, la droite $(m_{t_i}m_{t_{-i}})$ est tangente \`a
  $\Gamma_i$.
\end{proposition}
%% Generated by xcas
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.4420,-4.8662)(10.5580,6.6485)
\psset{unit=1.1249cm}
\psset{xunit=1.1249cm}
\psset{yunit=1.1154cm}
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\psset{arrowsize=2pt 4}
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%%\psline[linestyle=dashed]{->}(-1.2820,0.0000)(9.3860,0.0000)
%%\psline[linestyle=dashed]{->}(0.0000,-4.3629)(0.0000,5.9609)
\psset{linecolor=black}
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\psline(-1.2820,2.1831)(4.9452,-4.3629)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(0.5156,-4.3629)(6.5911,5.9609)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-1.2820,-0.8278)(9.3860,4.7151)
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\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-1.2820,0.2619)(9.3860,-3.1065)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-1.2820,2.7048)(9.3860,-3.1732)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(-0.8004,-4.3629)(3.3654,5.9609)
\psset{linecolor=blue}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline[fillcolor=blue](     2.994522,     0.073913)(     2.978148,     0.147016)
\psline[fillcolor=blue](     2.978148,     0.147016)(     2.951057,     0.218508)
\psline[fillcolor=blue](     2.951057,     0.218508)(     2.913545,     0.287606)
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\psset{linecolor=red}
\psset{linewidth=0.5000pt}
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\psline[fillcolor=red](     4.840000,    -2.200000)(     4.410000,    -2.100000)
\psline[fillcolor=red](     4.410000,    -2.100000)(     4.000000,    -2.000000)
\psline[fillcolor=red](     4.000000,    -2.000000)(     3.610000,    -1.900000)
\psline[fillcolor=red](     3.610000,    -1.900000)(     3.240000,    -1.800000)
\psline[fillcolor=red](     3.240000,    -1.800000)(     2.890000,    -1.700000)
\psline[fillcolor=red](     2.890000,    -1.700000)(     2.560000,    -1.600000)
\psline[fillcolor=red](     2.560000,    -1.600000)(     2.250000,    -1.500000)
\psline[fillcolor=red](     2.250000,    -1.500000)(     1.960000,    -1.400000)
\psline[fillcolor=red](     1.960000,    -1.400000)(     1.690000,    -1.300000)
\psline[fillcolor=red](     1.690000,    -1.300000)(     1.440000,    -1.200000)
\psline[fillcolor=red](     1.440000,    -1.200000)(     1.210000,    -1.100000)
\psline[fillcolor=red](     1.210000,    -1.100000)(     1.000000,    -1.000000)
\psline[fillcolor=red](     1.000000,    -1.000000)(     0.810000,    -0.900000)
\psline[fillcolor=red](     0.810000,    -0.900000)(     0.640000,    -0.800000)
\psline[fillcolor=red](     0.640000,    -0.800000)(     0.490000,    -0.700000)
\psline[fillcolor=red](     0.490000,    -0.700000)(     0.360000,    -0.600000)
\psline[fillcolor=red](     0.360000,    -0.600000)(     0.250000,    -0.500000)
\psline[fillcolor=red](     0.250000,    -0.500000)(     0.160000,    -0.400000)
\psline[fillcolor=red](     0.160000,    -0.400000)(     0.090000,    -0.300000)
\psline[fillcolor=red](     0.090000,    -0.300000)(     0.040000,    -0.200000)
\psline[fillcolor=red](     0.040000,    -0.200000)(     0.010000,    -0.100000)
\psline[fillcolor=red](     0.010000,    -0.100000)(     0.010000,     0.100000)
\psline[fillcolor=red](     0.010000,     0.100000)(     0.040000,     0.200000)
\psline[fillcolor=red](     0.040000,     0.200000)(     0.090000,     0.300000)
\psline[fillcolor=red](     0.090000,     0.300000)(     0.160000,     0.400000)
\psline[fillcolor=red](     0.160000,     0.400000)(     0.250000,     0.500000)
\psline[fillcolor=red](     0.250000,     0.500000)(     0.360000,     0.600000)
\psline[fillcolor=red](     0.360000,     0.600000)(     0.490000,     0.700000)
\psline[fillcolor=red](     0.490000,     0.700000)(     0.640000,     0.800000)
\psline[fillcolor=red](     0.640000,     0.800000)(     0.810000,     0.900000)
\psline[fillcolor=red](     0.810000,     0.900000)(     1.000000,     1.000000)
\psline[fillcolor=red](     1.000000,     1.000000)(     1.210000,     1.100000)
\psline[fillcolor=red](     1.210000,     1.100000)(     1.440000,     1.200000)
\psline[fillcolor=red](     1.440000,     1.200000)(     1.690000,     1.300000)
\psline[fillcolor=red](     1.690000,     1.300000)(     1.960000,     1.400000)
\psline[fillcolor=red](     1.960000,     1.400000)(     2.250000,     1.500000)
\psline[fillcolor=red](     2.250000,     1.500000)(     2.560000,     1.600000)
\psline[fillcolor=red](     2.560000,     1.600000)(     2.890000,     1.700000)
\psline[fillcolor=red](     2.890000,     1.700000)(     3.240000,     1.800000)
\psline[fillcolor=red](     3.240000,     1.800000)(     3.610000,     1.900000)
\psline[fillcolor=red](     3.610000,     1.900000)(     4.000000,     2.000000)
\psline[fillcolor=red](     4.000000,     2.000000)(     4.410000,     2.100000)
\psline[fillcolor=red](     4.410000,     2.100000)(     4.840000,     2.200000)
\psline[fillcolor=red](     4.840000,     2.200000)(     5.290000,     2.300000)
\psline[fillcolor=red](     5.290000,     2.300000)(     5.760000,     2.400000)
\psline[fillcolor=red](     5.760000,     2.400000)(     6.250000,     2.500000)
\psline[fillcolor=red](     6.250000,     2.500000)(     6.760000,     2.600000)
\psline[fillcolor=red](     6.760000,     2.600000)(     7.290000,     2.700000)
\psline[fillcolor=red](     7.290000,     2.700000)(     7.840000,     2.800000)
\psline[fillcolor=red](     7.840000,     2.800000)(     8.410000,     2.900000)
\psline[fillcolor=red](     8.410000,     2.900000)(     9.000000,     3.000000)
\psline[fillcolor=red](     9.000000,     3.000000)(     9.385959,     3.063272)

\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline(1.5782,-4.3629)(-1.1455,5.9609)
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.0225,-0.1500)
\uput{0.0889}[45.0000](0.0225,-0.1500){\color{black} T0}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.6378,-0.7986)
\uput{0.0889}[45.0000](0.6378,-0.7986){\color{black} Tmax}
\psset{linecolor=black}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psdots[dotstyle=*](0.2860,0.5348)
\uput{0.0889}[45.0000](0.2860,0.5348){\color{black} Tmax}
\end{pspicture} 
  
\end{center}
De plus, on pourrait aussi illustrer  que si $C_1$ et $C_2$ se coupent en 4 points
  distincts, alors $\Gamma_i$ contient $C_1\cap C_2$. On pourrait aussi trouver
  une extension de cette remarque en terme d'alg\`ebre lin\'eaire qui serait plus
  simple \`a v\'erifier et qui resterait valable tant que $C_1\neq C_2$.
% !s!<c>
% la matrice de C2dual est l'inverse de celle de C2
% equation de mt mu on simplifie par t-u car mt different de m
% !s!
% A:=B^(-1);
% dte:=simplify(det(matrix([[t^2,t,1],[u^2,u,1],[x,y,1]]))/(t-u));
%!s!<c>
%Le vecteur normal a cette droite est donc: (ce sont aussi les coordonnees dans
%la base duale de l'equation de cette droite). On remarque que le vecteur normal
%a la droite (mu_,m_t) n'est autre que [1,-t-u,t.u]. On pourra donc travailler
%avec somme et produit.
%!s!  
% DTE:=simplify([coeff(dte,x,1),coeff(dte,y,1),subst(dte,x=0,y=0)]);
% P:=normal(DTE*A*DTE);//on remarque qu'elles s'expriment facilement avec somme et produit
% a:=coeff(P,t,2);b:=coeff(P,t,1);c:=coeff(P,t,0);
% a:=unapply(a,u); b:=unapply(b,u); c:=unapply(c,u);// On cree les fonctions
%complex_mode:=1;//pour les solves, on se met en mode complexe
% sol1:=solve(P,u);
% s1:=simplify(sol1[0]+sol1[1]);//la somme des racines
% p1:=simplify(sol1[0]*sol1[1]);//leur produit
% !s!<c>
%On obtient ci dessous l'equation de D1 a facteur pres.. Comme elle est de degre
%2 en t, D1 decrit donc une conique duale lorsque t varie 
%!s!  
% D1:=[1,-s1,p1];
% simplify(D1*(2*t^2-1));
%!s!<c>
% Pour d2 il faut mieux guider les simplifications.
% !!ATTENTION, lors de calculs lourds, il FAUT toujours preferer NORMAL a EXPAND!!  
% normal va developper en simplifiant et n'utilisera pas les memes objets en interne.
% !s!
%%  
%!s!<c>
%  
%Pour trouver t_(n+1) et t_(-n-1) a partir des precedents nous allons utiliser somme et produit.
%Notons sn=t_n+t_(-n) et pn=t_n*t_(-n). Alors comme t_(n-1) et t_(n+1) sont lesracines de l'equation en t:  P(t_n,t)=0 on a: t_(n+1)=-t_(n-1)-b(t_n)/a(t_n), et donc
%s_(n+1)=-s_(n-1)-b(t_n)/a(t_n)-b(t_(-n))/a(t_(-n)). Il faudra peut etre aider le logiciel a simplifier
%les radicaux en regroupant les t_n avec les t_(-n). Ce calcul sera plus simple:
% 1) simplifier cette expression b(t_n).a(t_(-n))+b(t_(-n)).a(t_(n)) 
% 2) simplifier a(t_n).a(t_(-n)) puis faire le rapport.
%
% !s!
% !s!<c>
%Cote syntaxe, subs est plutot proche de maple et l'ordre des arguments depend
%du mode: maple ou xcas. L'avantage de subst est que sa syntaxe ne depend pas du
%mode maple ou xcas. En general il vaut mieux creer une fonction. Par exemple
%avec unapply. La syntaxe suivante est plutot proche de l'usage de subs et du
%logiciel maple. On preferera en fait la methode utilisee dans la procedure
%Dn(P,n) en fin de fichier. (ou l'on a transforme a,b,c en des fonctions)
%  
% !s!  
% tmp1:=simplify(normal(b(sol1[0])*a(sol1[1])+b(sol1[1])*a(sol1[0])));
% tmp2:=simplify(normal(a(sol1[0])*a(sol1[1])));
% tmp3:=simplify(normal(c(sol1[0])*c(sol1[1])));
% s2:=simplify(-2*t-tmp1/tmp2);
% p2:=simplify(tmp3/(tmp2*t^2));
% D2:=[1,-s2,p2];//c'est encore une conique
% simplify(denom(D2[1])*D2);
% sol2:=solve(u^2-s2*u+p2=0,u);
%!s!<m>
% tmp1:=simplify(normal(b(sol2[0])*a(sol2[1])+b(sol2[1])*a(sol2[0])));
% tmp2:=simplify(normal(a(sol2[0])*a(sol2[1])));
% tmp3:=simplify(normal(c(sol2[0])*c(sol2[1])));

% s3:=simplify(-s1-tmp1/tmp2);
% p3:=simplify(tmp3/(tmp2*p1));
% D3:=[1,-s3,p3];
% !s!
% simplify(denom(D3[2])*D3);// D3 donne encore une conique dans le plan dual
%!s!<c> 
% qui enveloppe la conique d'equation: (le lieu des points du plan ou
% les tangentes a cette conique sont identiques).
% !s!
% discrim:=(P,t)->normal(coeff(P,t,1)^2-4*coeff(P,t,0)*coeff(P,t,2));
% gamma3:=discrim(simplify([x,y,1]*(denom(D3[2])*D3)),t);
%!s!<c>
% On verifie que l'equation gamma3 est bien une combi lineaire de C1 et
% C2 Donc gamma3 contient C1 inter C2. (gamma3 en vert) 
% !s!
% simplify(gamma3-coeff(gamma3,x,2)*(C1-coeff(C1,y,2)*C2)-coeff(gamma3,y,2)*C2);
% complex_mode:=0;//Pb avec le mode complexe et ce dessin en version <0.9.1
% G3:=implicitplot(gamma3=0,x=0..8,y=-3..3,color=green):;
% complex_mode:=1;
% !s!<p>
% DI:=proc(tt,ii)
% sol:=solve(subst(P,t=tt),u):;s0:=2*tt:;p0:=tt^2:;
% for j from 2 to ii do 
% tmp1:=simplify(normal(b(sol[0])*a(sol[1])+b(sol[1])*a(sol[0])));
% tmp2:=simplify(normal(a(sol[0])*a(sol[1])));
% tmp3:=simplify(normal(c(sol[0])*c(sol[1])));
% s2:=simplify(-s0-tmp1/tmp2);
% p2:=simplify(tmp3/(tmp2*p0));
% s0:=simplify(sol[0]+sol[1]);
% p0:=simplify(sol[0]*sol[1]);
% sol:=solve(u^2-s2*u+p2=0,u);
% end do;
% simplify(denom(p2)*([1,-s2,p2]));
% end proc:;
% !s!
%DI(t,3);//c'est le meme que celui trouve avant.
%DI(t,6);//c'est toujours une conique duale.
% !s!<p>
% dessin:=proc(tt,ii)
% local T,sol,newt,imax,j;
% sol:=solve(subst(P,t=tt),u);
% T:=[tt,sol[0]];
% for j from 2 to ii do
% newt:=-T[j-2]-b(T[j-1])/a(T[j-1]);
% T:=[op(T),newt];
% end do;
% T:=[sol[1],op(T)];
% for j from 2 to ii do
% newt:=-T[1]-b(T[0])/a(T[0]);
% T:=[newt,op(T)];
% end do;
% T;end proc:;
% !s!
% imax:=3;//attention si on change imax, la conique verte est gamma3, elle n'est pas recalculee.
% l:=dessin(.1,imax);//on dessine t0=0.1 jusque timax
% ddte:=(u,t)->line(u^2+i*u,t^2+i*t):;
% dtei:=line(l[0]^2+i*l[0],l[2*imax]^2+i*l[2*imax],'color'=350):;
% seq(ddte(l[ii-1],l[ii]),ii=1..2*imax),IMPL,G3,dtei;
%!s!<g>
%imax:=3;//on dessinera la droite (t_3,t_-3) en ocre
%para:=element(-2.5..2.5,0.5);//notre parametre t0 dans un bouton place a 0.5
% l:=dessin(para,imax):;
% dtei:=line(l[0]^2+i*l[0],l[2*imax]^2+i*l[2*imax],'color'=350):;
% seq(ddte(l[ii-1],l[ii]),ii=1..2*imax),IMPL,G3,dtei;
% T0:=point(l[imax]^2+i*l[imax],'color'=256);//le point T0 est celui du milieu dans la liste.

% Tmax:=point(l[2*imax]^2+i*l[2*imax],color=350);T_max:=point(l[0]^2+i*l[0],color=350);
% !s!
%%
\section{Paires de Poncelet}
On dit que $C_1$ et $C_2$ sont en situation de Poncelet (plus pr\'ecis\'ement que
$C_2$ est $n$-circonscrite \`a $C_1$), 
s'il existe un polyg\^one \`a $n$ c\^ot\'es, avec $n\geq 3$ dont les sommets
soient sur $C_2$ et les c\^ot\'es soient tangents \`a $C_1$. (On entend par
polyg\^one la donn\'ee d'un ensemble de $n$ points du plan index\'es par
$\rela/n\rela$. Ces points seront  appel\'es des sommets, et on 
definit les cot\'es du polyg\^one comme les droites passant par 2 sommets
dont la diff\'erence des indices fait $\pm 1$.
Le th\'eor\`eme de
Poncelet affirme que si deux coniques  sont en situation de Poncelet
pour un polyg\^one \`a $n$ c\^ot\'es, alors toute tangente \`a $C_1$ est un cot\'e
d'un polyg\^one ayant ses $n$ sommets sur $C_2$ et ses $n$ cot\'es
tangents  \`a $C_1$.

Lorsque $3\leq n\leq 5$, il est tr\`es facile\footnote{Expliquer
  pourquoi. On pourra \'eventuellement produire un tel exemple.} de
produire des exemples de coniques en situation de Poncelet. En
revanche, pour $n\geq 6$ \c ca n'est pas si simple.

\subsection{Exemple: cercles concentriques}
On peut par exemple regarder le cas o\`u $C_i$ a pour \'equation
$x^2+y^2=r_i^2.z^2$, et m\^eme raisonner dans le plan affine r\'eel Euclidien
 avec $r_1<r_2$. Dans ce  cas, le polyg\^one a $n$ c\^ot\'es est forc\'emenent r\'egulier,
 et  il existe si et seulement si ${r_1\over r_2}=\cos({\pi\over
   n})$. Donc deux cercles concentriques ne sont pas toujours en
 situation de Poncelet.

Bien qu'il soit toujours possible de faire un changement de rep\`ere
projectif (sur $\complex$) qui ram\`ene l'\'equation d'une conique non
d\'eg\'en\'er\'ee sous la 
forme $x^2+y^2=r^2.z^2$, il n'est pas toujours possible\footnote{comme
l'indique leur intersection avec la droite d'equation $z=0$} de transformer
simultan\'ement les \'equations de $C_1$ et $C_2$ sous la forme
$x^2+y^2=r_i^2.z^2$. L'\'etude des cercles concentriques est donc trop
restrictive. On peut par exemple produire facilement une paire de
coniques en situation de Poncelet avec $n=3$ qui ne puisse pas \^etre
obtenue depuis l'exemple pr\'ec\'edent par changement de rep\`ere projectif.
\subsection{Condition explicite}
On cherche maintenant les coniques $C'_1$ du pinceau de coniques $C_1,C_2$
telles que $C_2$ soit $n$-circonscrite \`a $C'_1$.

Par exemple, si $C_1$ a pour \'equation $x^2-4.x+2.y^2+3=0$ on cherche les
$s$ tels que la conique $C'_1$ d'\'equation $x^2-4.x+2.y^2+3+s.(y^2-x)=0$ soit
non d\'eg\'en\'er\'ee et que $C_2$ soit $n$-circonscrite \`a $C'_1$. On pourrait par
exemple expliciter sur cet exemple la condition ($t_2=t_{-1}$ ou $t_1=t_{-2}$)
pour le cas $n=3$, et la condition $t_3=t_{-3}$ pour le cas $n=6$. 
% maple_mode(0);
% B:=matrix(3,3):;B[0,0]:=1:;B[1,1]:=2:;B[2,2]:=3:;B[0,2]:=-2:;B[2,0]:=-2:;B;
% Bs:=B+s*[[0,0,-1],[0,2,0],[-1,0,0]];
% X:=[x,y,1];Cs:=X*Bs*X;C2:=y^2-x;
% As:=Bs^(-1);
% dte:=simplify(det(matrix([[t^2,t,1],[u^2,u,1],[x,y,1]]))/(t-u));//la dte (mu,mt)
% DTE:=simplify([coeff(dte,x,1),coeff(dte,y,1),subst(dte,x=0,y=0)]);//coordonnees duales de cette droite
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% Ps:=normal(DTE*As*DTE);//on remarque qu'elles s'expriment facilement avec somme et produit
% as:=coeff(Ps,t,2);bs:=coeff(Ps,t,1);cs:=coeff(Ps,t,0);
% as:=unapply(as,u); bs:=unapply(bs,u); cs:=unapply(cs,u);// On cree les fonctions
%complex_mode:=0;//pour les solves formels le mode complexe est trop lent
% sol1:=solve(Ps,u);//resolution formelle de l'equation de degre 2 en u. NB:P(u,t)=P(t,u)
% s1:=simplify(sol1[0]+sol1[1]);
% p1:=simplify(sol1[0]*sol1[1]);
% D1:=[1,-s1,p1];//D1 decrit donc une conique duale
% D1:=([as(t),-bs(t),cs(t)]);//le meme sans denominateur
% !s!<c>
%On cree une procedure Dn(P,n) (pour n>=2) qui retourne le vecteur normal a la droite mt_n,mt_(-n)
%!s!
% !s!<p>
% Dn:=proc(PP,n)
% local sol,s0,p0,p2,s2,j,tmp1,tmp2,tmp3;
% sol:=solve(PP,u);s0:=2*t;p0:=t^2;
% for j from 2 to n do 
% tmp1:=simplify(normal(bs(sol[0])*as(sol[1])+bs(sol[1])*as(sol[0])));
% tmp2:=simplify(normal(as(sol[0])*as(sol[1])));
% tmp3:=simplify(normal(cs(sol[0])*cs(sol[1])));
% s2:=simplify(-s0-tmp1/tmp2);
% p2:=simplify(tmp3/(tmp2*p0));
% s0:=simplify(sol[0]+sol[1]);
% p0:=simplify(sol[0]*sol[1]);
% sol:=simplify(solve(u^2-s2*u+p2=0,u));// selon les versions il faut simplifier
% end do;
% normal(denom(p2)*([1,-s2,p2]));
% end proc;
% !s!
% !s!<c>
% la condition tn=t-n s'exprime par l'annulation du discriminant. on voit qu'il existe des facteurs dans k[s],
%donc des valeurs de s dans une cloture algebrique qui annulent ce discriminant de maniere independante de t,
% ce qui illustre bien le theoreme. Le facteur det(Bs) est present et correspond a des coniques degenerees,
%donc il ne nous int\'eresse pas. Les facteurs restant apparaissent avec multiplicite 2.
% Dans le cas n=6=2*3 on trouve un facteur irred de degre 4 et un polynome reduit de degre 12
%(qui est ici reducible un de degre 4 et un de degre 8). Il faut alors comprendre que l'un des facteurs
%de degre 4 correspond au cas 3-poncelet( ie t2=t_-1) car c'est un casparticulier du cas 6-poncelet. 
%En conclusion, les solutions donnant une situation de 6-poncelet  non degeneree sont pour les s solution du
% polynome de degre 12 restant.
% 
% !s!
% factor(det(Bs));
%[l1,l2,l3]:=Dn(Ps,2);
%ponc4:=factor(l2^2-4*l1*l3);//les cas t2=t_(-2)
%[l1,l2,l3]:=Dn(Ps,3);
%ponc6:=factor(l2^2-4*l1*l3);//les cas t3=t_(-3)
%[l1,l2,l3]:=Dn(Ps,4);
%ponc8:=factor(l2^2-4*l1*l3);//les cas t4=t_(-4)
%factor(gcd(ponc4,ponc8));// le cas t2=t_(-2) => le cas t4=t_(-4)
%!s!<c>
%On trouve donc que le cas ou C2 est exactement 8-circonscrite a C'_1 peut arriver lorsque s est
%racine du polynome  de degre 24 constitue des facteurs reduits de:
%!s!
%factor(quo(ponc8,gcd(ponc4,ponc8)));
%!s!<c>
%En fait le cas t2=t_(-1) est difficile a exprimer directement a cause des
%radicaux. En fait la bonne question est: ( t2=t_(-1) ou t_(-2)=t1 )
%!s!
% t1:=sol1[0];//On sauve la valeur de t_(-1)
% tm1:=sol1[1];//On sauve la valeur de t_(-1)
% t2:=simplify(normal(-t-bs(t1)/as(t1)));//On sauve la valeur de t_2
% tm2:=simplify(normal(-t-bs(tm1)/as(tm1)));//On sauve la valeur de t_2
% factor(normal(tm1-t2));//Ne donne rien: On n'obtient pas de facteur ne dependant que de s
% factor(simplify(normal((tm1-t2)*(t1-tm2))));//il faut poser une question symetrique pour le faire apparaitre: 3*s^4+20*s^3+30*s^2+12*s-5
%!s!<c>
%Mieux vaut exprimer que  D1= D2 ou que leur intersection avec la parabole
%(u^2,u) est la meme. Pour cela on cherche les racines communes en u.
%!s!
%pol1:=D1*[u^2,u,1];
%pol2:=Dn(Ps,2)*[u^2,u,1];
%!s!<c>
%le facteur de degre 4 qui est dans Q[s] et qui est premier avec det(As) ici(s^4+4*s^3+18*s^2+44*s+17) donne les cas de 3-poncelet.
%!s!
%ponc3:=factor(resultant(pol1,pol2,u));
%factor(gcd(ponc3,ponc6));//montre que le cas 3-poncelet est cas particulier de 6-poncelet
%!s!<c>
% En cherchant les elements de  Q[s] divisant ponc6 et pas pnc3 ni det(Bs) on trouve:
%(3*s^4+20*s^3+30*s^2+12*s-5)*(s^8+16*s^7+28*s^6-224*s^5-1154*s^4-2096*s^3-1940*s^2-1088*s-311)
% Les valeurs de s annulant ce polynome de degre 12 sont les cas de poncelet
% d'ordre exactement 6.
%!s!
%factor(quo(ponc6,factor(gcd(ponc3*det(Bs),ponc6))));

\section{Suggestions}
Il s'agit d'un menu \`a la carte, le candidat est libre de choisir ses
illustrations parmi celles ci ou d'en donner d'autres. 
\qu On pourra expliquer et d\'emontrer de nombreux \'enonc\'es du textes.
\qu On pourra suivre l'exemple donn\'e et calculer l'\'equation de la droite
$(m_{t_i}m_{t_{-i}})$ en guidant les simplifications pour tester la proposition
1.
\qu On pourra faire une figure analogue \`a celle de l'\'enonc\'e.
\qu On pourra trouver une \'equation en $s$ exprimant la condition $t_3=t_{-3}$ et
l'on essayera de commenter certains diviseurs de cette \'equation.
\end{document}

