\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\newfont{\mini}{cmssi10 scaled 480}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
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%%%%%%%
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  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
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\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
\usepackage{listings}
\usepackage{algorithm2e}

\SetKwInput{Donnes}{Donn\'ees}
\SetKwInput{Res}{R\'esultat}
\SetKwInput{Entree}{Entr\'ee}
\SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\SetKw{KwA}{ \`a }
\SetKw{Retour}{retourner}
\SetKwBlock{Deb}{d\'ebut}{fin}
\SetKwIF{Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon si}{sinon}{fsi}
%%\SetKwSwitch{Suivant}{Cas}{Autre}{suivant}{faire}{cas o\`u}{autres cas}{fin d'alternative}
\SetKwFor{Pour}{pour}{faire}{fpour}
\SetKwFor{Tq}{tantque}{faire}{ftantque}
%%\SetKwFor{PourCh}{pour chaque}{faire}{finprch}
%%\SetKwFor{PourTous}{pour tous}{faire}{finprts}
\SetKwRepeat{Repeter}{repeter}{jusqu\_a}
%% \eSi{condition}{bloc du alors}{bloc du sinon}

%%macros taille page
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\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP01 \hspace{1cm}}\hfill   agreg 2015, F.Han\footnote{\url{http://webusers.imj-prg.fr/~han/agreg})}}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
%% \begin{multicols}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{Initiation}
\qu On pourra commencer par regarder dans le tutoriel (Aide\verb/>/Debuter en calcul
formel) la partie: Les objets du
calcul formel afin de savoir affecter une variable et faire quelques calculs, en
exact, en approch\'e, avec $200$ chiffres significatifs.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\qu Interface: Comment faire plusieurs instructions dans une m\^eme entr\'ee mais
pr\'esent\'ees sur plusieurs lignes. Comment supprimer une entr\'ee, et en ins\'erer une.
validez de nombreuses lignes jusqu'\`a ce qu'un ascenseur apparaisse, puis
 ins\'erez un dessin gr\^ace au menu: graphe/courbes/plotfunc. Etudiez
le comportement de la molette lorsque l'on est sur le dessin ou \`a cot\'e. Enfin,
supprimez le dessin.
\qu Validez une a une les instructions suivantes: \verb/1+1/, \verb/2+2/,
\verb/3+3/, puis etudiez dans une nouvelle entr\'ee comment ins\'erer une
instruction que l'on a d\'ej\`a valid\'e gr\^ace \`a la touche: ALT $\uparrow$  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exo (Th\`emes reli\'es: croissance compar\'ee de fonctions, pgcd, nombres premiers)
\begin{center}
{\it On pourra utiliser pour trouver un mot clef: Menus, aide bulle, completion
  par tab, ?lemotclef}
\end{center}
On dispose d'un ordinateur dont le processeur tourne \`a $3GHz$ (ie nombre de
cycles par seconde).
\qusqu Donnez le nombre de cycles qu'il pourrait faire en $1000$ ans, et stockez la
valeur exacte de ce nombre dans une variable $M$. (Cf rapport du Jury 2014 sur
les ordres de grandeurs possibles)
%N:=3*10^9*3600*24*365*1000
\squ Calculez le nombre de chiffres de $M$.
%floor(log10(N))+1
\qusqu Consid\'erons deux entiers positifs $a,b$ major\'es par $n$. Illustrez sur des
exemples de taille similaire \`a celle de $M$ le temps de calcul des op\'erations
usuelles: $+, *$ mais aussi le reste de la division Euclidienne, le pgcd, les
couples de bezout, mais aussi, \verb/nextprime(11**21)/. En fait ces op\'erations
ont un cout major\'e par un polyn\^ome en $\ln(n)$.
\qu Trouvez une instruction xcas pour calculer par puissances rapides le reste de $a^e$
par $n$ (on demande bien le reste et non pas l'\'el\'ement de $\rela/n\rela$). Par
exemple, on pose \verb/n:=nextprime(11**23)/, v\'erifiez que la valeur de
$7^{n-1} [n]$ correspond \`a vos pr\'edictions. De m\^eme, $7$ est il un carr\'e dans $\rela/n\rela$?
\qu Toujours avec \verb/n:=nextprime(11**23)/, on cherche
$a$ tel que $a^7 [n]=81625902815799101609288$.
\squ La m\'ethode naive ( liste de tous les $b^7[n]$) est elle envisageable?
\squ Trouvez $a$ en utilisant que $n$ est premier, et les fonctions xcas de
puissance rapide et bezout.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\exotitre{\bf D\'enombrement et s\'eries g\'en\'eratrices.}
(Les personnes ayant d\'eja fait cet exercice peuvent faire le VIII ou le IX.)
% !s!<c>
% -------------------------------------EXERCICE---------------------------------------------
%!s!
\qu Afficher le coefficient de $t^3$ dans la s\'erie formelle associ\'ee \`a
$\prod_{i=1}^4\frac{1}{1-a_i.t}$?
%purge(a,b,c,d,e,t);
% P:=((1-a*t)*(1-b*t)*(1-c*t)*(1-d*t))^(-1);
% s:=series(P,t=0,3);
% !s!<c>
%On constate que le coefficient de t^n est la somme de tous les monomes de degre
%n en les 4 variables a,b,c,d. Ces monomes sont en bijections avec les suites
%croissantes (au sens large) de n \'el\'ements de {1,2,3,4}.
%!s!
% coeff(s,t^3);
\qu G\'en\'eraliser l'exemple pr\'ec\'edent pour en d\'eduire de mani\`ere th\'eorique le
nombre d'\'el\'ements croissants dans $\{1,2,3,4\}^n$, puis dans $\{1,\dots,k\}^n$
\qu Quel est le cardinal de:

$\{(x_1,\dots,x_5)\in\nat^5 |  x_1+3x_2+2x_3+x_4+4x_5=208\}$
% !s!<c>
%Pour r\'esoudre ce Pb on met des poids aux variables. Ex: a,d de degre 1, b: 3, c:
%2, et f: 4. et l'on cherche les monomes de degres 208.
%!s! 
% P:=1/((1-a*t)*(1-b*t^3)*(1-c*t^2)*(1-d*t)*(1-f*t^4));
% s:=series(P,t=0,4):;
% coeff(s,t^4); //Ex on verifie bien que f a un poids de 4
% P:=1/((1-t)*(1-t^3)*(1-t^2)*(1-t)*(1-t^4));
% s:=series(P,t=0,208):;
% coeff(s,t^208);
\qu En adaptant la formule $\sum_{n>0}p_n.t^n=\Pi_{i=1}^\infty \frac{1}{1-t^i}$
o\`u $p_n$ est le nombre de partitions\footnote{Une partition de $n$ est une suite
d\'ecroissante d'\'el\'ements de $\nat^*$ de somme $n$.} de $n$, calculer $p_{50}$. 
% !s!<c>
%Pour calculer le coefficient de t^n, seuls les termes en 1/(1-t^i) pour i<n+1
%du produit vont contribuer, on n'a donc pas besoin du produit infini pour n fixe
% !s!
% P:=n->mul(1/(1-t^j),j=1..n);
% !s!<c>
% On cherche donc le coefficient de t^50 dans:
%!s!
% series(P(50),t,0,50);
% coeff(series(P(50),t,0,50),t^50);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\qu Trouver le coefficient de $a^3b^2cd^2$ dans $(a+b+c+d)^8$. V\'erifier votre
r\'eponse th\'eorique avec la forme d\'evelopp\'ee (utiliser \verb/normal/ pour
d\'evelopper un calcul lourd ). (On pourra \'etudier l'aide de
\code{coeff} pour recup\'erer le coefficient d'un mon\^ome).
% l:=normal((a+b+c+d)^8);
% coeff(l,[a,b,c,d],[3,2,1,2]);
% binomial(8,3)*binomial(5,2)*binomial(3,1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{Syntaxe de programmation sous xcas}
Etudier la partie programmation du tutoriel "D\'ebuter en calcul formel" de l'aide. 
%restart;maple_mode(0);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,25,[1,50,0,25],0,0,0);//radians,pasde cmplx, pas de  Sqrt
Assurez vous de plus que vous maitrisez la diff\'erence entre symbole et fonction,
par exemple avec \verb/P:=x^2+1/, \verb/Q(x):=x^2+1/,  comment cr\'eer un objet idendique \`a \verb/Q/
\`a partir de \verb/P/, et comment cr\'eer un objet identique \`a \verb/P/ \`a partir de
\verb/Q/. 
\exotitre{Euclide}
\qu Programmez l'algorithme d'euclide pour les entiers (ou entiers de gauss) en
utilisant la division euclidienne d\'eja impl\'ement\'ee dans xcas. On pourra faire
les deux versions.
\qu On consid\`ere la suite de Fibonacci: $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n},u_0=0,u_1=1$
\squ Programmez le calcul de $(u_n)$ de mani\`ere it\'erative: \verb/fib1/
%!s!<m>
%fib1(n):={
%  local u1,u2;
%  u1:=0;u2:=1;
%  while(n>0){
%      tmp:=u2;
%      u2:=u2+u1;u1:=tmp;
%      n:=n-1;
%  }
%  u1;// ou bien: return u1; il retournera de toute facon l'objet courant.
%};
%!s!
%!s!<p>
% fonction fib2(n)
%    si n ==0 alors
%       retourne 0;
%    fsi
%    si n==1 alors
%       retourne 1;
%    sinon
%       retourne fib2(n-1)+fib2(n-2);
%    fsi
% ffonction;
% !s!
%fib1(13);fib1(1000);
%fib2(13);
\squ Programmez le calcul de $(u_n)$ de mani\`ere r\'ecursive (\verb/fib2/), et comparez les temps d'ex\'ecution.
\squ Expliquez au Jury la complexit\'e du cas r\'ecursif  en cr\'eant une liste d'une quinzaine
de temps et aussi une repr\'esentation graphique judicieuse de ces temps. (on
pourra utiliser \verb/plotlist/)
% l:=seq(time(fib2(k))[0],k=10..26);// sous linux la fonction time donne 2 valeurs (cpu et total)
% plotlist(seq(log(j),j=l));//On prend une echelle logarithmique 
\squ Trouvez en vitesse  la valeur th\'eorique de $u_n$ via xcas et expliquez au
jury le point de vue matriciel. (Syntaxe d'une matrice: \verb/[[a,b],[c,d]]/
(les lignes s\'epar\'ees par des virgules). Regardez la partie vecteurs et matrices dans le Tutoriel)
% rsolve(u(n+1)=u(n)+u(n-1),u(n),u(0)=0,u(1)=1);// la valeur theorique de cette suite.
% seqsolve(x+y,[x,y,n],[0,1]);//idem
% A:=[[0,1],[1,1]];matpow(A,n);
\squ NB: on verra plus tard la notion de puissance rapide pour une troisi\`eme m\'ethode.
% time(rep:=A^(10**5)*[0,1]);rep;
% time(rep:=fib1(10**5));rep;
\qu Si $a$ et $b$ sont des entiers naturels plus petits que $u_n$ pour une certaine
valeur de la suite de Fibonacci. Donnez un ordre de grandeur du nombre de tours dans
\verb/pgcd(a,b)/ pour $0\leq a,b\leq N$ en fonction de $N$. (A savoir pour
l'oral)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%!s!<c>
% ---------------  Exercice     -------------------
%!s!
\exo
\qu Programmez l'algorithme d'euclide \'etendu pour des polyn\^omes par la m\'ethode imp\'erative.
\newcommand{\FF}{{\rm I} \! {\rm F}}
\qusqu Trouvez l'instruction xcas correspondante, et celle pour les entiers. (A retenir)
\qusqu On consid\`ere le polyn\^ome $g=x^{15}+x^2+x+1$ \`a coefficients dans $\FF_3$. Quel
est son pgcd avec $x^3-x$ et combien a t'il de racines dans $\FF_3$. V\'erifiez
qu'il est \`a racines simples dans la cloture alg\'ebrique de $\FF_3$.
% g:=(x^15+x^2+x+1) % 3;
% degree(gcd(g,(x^3-x) % 3)); // 1 racine dans F3
% !s!<c>
% Si le pgcd(g,g') vaut 1 alors g n'a pas de racines multiples, mais en
% caracteristique finie, la reciproque est fausse.
%!s!
% gcd(diff(g,x),g);//pas de racines multiples
\squ De m\^eme, combien de racines \`a t'il dans $\FF_9$, $\FF_{3^3}$? A t'on $\FF_3
\subset \FF_9 \subset \FF_{3^3}$ ?
%degree(gcd(g,(x^9-x) % 3));//3= nombre de racines dans F9
%degree(gcd(g,(x^(3^3)-x) % 3));//1=nombre de racines dans F27
\squ En calculant (on en fera le moins possible) des pgcd de $g$ avec des
polyn\^omes $x^{3^d}-x$, trouvez les facteurs irr\'eductibles de $g$ dans
$\FF_3[x]$. (On sera prudent/indulgent avec les grands degr\'es. On remarquera que
cette m\'ethode est plutot vou\'ee \`a l'echec et qu'il vaudrait mieux
faire des puissances rapides cf exercice III)
%d0:=gcd(g,(x^3-x) % 3);g0:=quo(g,d0);
%d1:=gcd(g0,(x^9-x) % 3);g1:=quo(g0,d1);
%!s!<c>
% on a deja vu qu'il n'y avait pas de nouvelles racines dans F27
%!s!
%degree(gcd(g1,(x^(3^4)-x) % 3));//test F(3^4) -> pas de facteurs irred de  degre 4
%d2:=gcd(g1,(x^(3^5)-x) % 3);//test F(3^5) on trouve donc un facteur irred de degre 5
%g2:=quo(g1,d2);
%!s!<c>
%c'est donc inutile de chercher des facteurs irred de degre 6 car g2 est de degre 7 sans racines.
% De plus il est aussi sans facteurs irreductibles de degre 2 ni 3 puisqu'on les
% a retires aux etapes precedentes, il est donc irreductible sur F3.
% !s!
\squ V\'erifiez avec la commande de factorisation d'xcas.
% d0,d1,d2,g2;
% factor(g);//verification
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{puissance rapide}
% !s!<c>
% ------------------ Exercice ---------------------
%!s!
\qusqu Dans xcas quelle est l'instruction de puissance rapide pour un entier $a$
modulo $n$. Quelle est celle qui permet de caluler rapidement $Q^n$ dans $\FF_p[x]/(R)$ o\`u
$Q,R \in \FF_p[x]$.
%!s!<c>
%On calcule x^(3**10) dans F3[x]/(x^5-x^2+x+1) et on trouve x. Donc x^(3**10)-x
%est divisible dans F3[x] par x^5-x^2+x+1  
%!s!
%powmod(x,3**10,3,x^5-x^2+x+1,x);
\squ En utilisant la commande factor d'xcas, trouvez un polyn\^ome irr\'eductible
$P\in \FF_{101}[x]$ de
degr\'e $4$. (On pourra faire en tatonnant au hasard en ramarquant que c'est bien
plus rapide que de demander la factorisation d'un polyn\^ome bien connu pour \^etre
multiple de tous les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $4$ de $\FF_{101}[x]$.)
% P:=(x^4+rand(101)*x+rand(101)) % 101;
% factor(P);
% P:=(1 % 101)*x^4+(5 % 101)*x-19 % 101;
\squ Quel est le cardinal du corps $K=\FF_{101}[x]/(P)$? Quel est le cardinal de
$\{u^2 | u \in K\}$? En d\'eduire \`a l'aide d'un calcul de puissance rapide, si la
classe de $x$ est un carr\'e dans $K$.
% !s!<c>
%K possede 101^4 elements, et le nombre de carres non nuls est (101^4-1)/2
%puisque chaque carre a exactement 2 racines carrees. Comme l'ensemble des
%carres non nuls est un groupe multiplicatif, tout carre a verifie:
%a^((101^4-1)/2)=1. et dans un corps, x^((101^4-1)/2)-1 ne peut pas avoir plus
%de racines que son degre, on caracterise donc les carres non nuls de K par la propriete:
% a^((101^4-1)/2)=1 et donc tous les carres par a^((101^4+1)/2)=a que l'on peut
% verifier par puissance rapide.
%!s!
\qusqu Programmez la puissance rapide pour les \'el\'ements du corps pr\'ec\'edent: $K$.
\squ Pr\'eparez une illustration pour expliquer cet algorithme de puissance $n$
i\`eme \`a quelqu'un. (On pourra le comparer \`a l'\'ecriture en base $2$ de $n$ par
exemple avec une version modifi\'ee qui affiche $1$ ou $0$ selon que l'on est dans
le if ou le else)
\squ (Fibonacci) Cr\'eez une fonction \verb/fib3/ qui calcule la suite de Fibonacci par
puissance rapide de la matrice \verb/[[0,1],[1,1]]/. Quel avantage par rapport \`a \verb/fib1/?
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exotitre{\bf Illustration groupe des nombres complexes de module 1.}
(Illustration d'un lemme utile pour montrer la surjectivit\'e de l'exponentielle sur le
cercle unit\'e)
%%\qu Etudiez la composition des fonctions sous xcas avec le symbole
%%\verb/@@/. (Attention aux parenth\`eses). Calculez
%%$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{65536}}}}$
% !s!<c>
% -------------------------------------EXERCICE---------------------------------------------
%!s!
%% (sqrt@@4)(65536);//la composee 4ieme calculee en 65368.
\qu Etudiez la fonction \verb/element/. (Particuli\`erement utile en mode
geometrie2d. cf menu deroulant nouvelle figure 2d). Cr\'ees le cercle unit\'e
\verb/C/, et choisissez un point $m0$ sur $C$ d'argument $3$ gr\^ace \`a cette commande.
%!s!<g>
% C:=cercle(0,1);
% m0:=element(C,3);
\qu Affectez \`a \verb/a/ l'affixe de \verb/m0/ et cr\'eez la liste de 10 \'el\'ements
contenant les points $m_0,m_1,\dots,m_9$ d'affixe les it\'er\'es i i\`emes de
\verb/sqrt/ calcul\'es en $a$.
% a:=affixe(m0);
% [seq(point((sqrt@@j)(a),display=bleu+epaisseur_point_3+point_etoile),j=0..9)];
%!s!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\qu Selectionnez le  mode pointeur dans le menu d\'eroulant de votre fen\^etre de
g\'eom\'etrie et d\'eplacez $m_0$ sur le cercle. Expliquez les choix pour la racine
carr\'ee et pourquoi $m_i$ aura un \'el\'ement dans le domaine de convergence de la
s\'erie $\sum \frac{(z-1)^n}{n}$ et donc que $m_0$ est dans l'image de la fonction exponentielle.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% !s!<c>
% -------------------------    Exercice           -------------------
%!s!
\exotitre{g\'eom\'etrie, conjectures et calculs formels}
On acc\`edera aux fonctions graphiques facilement via le menu d\'eroulant.
\qu Cr\'eer une fonction: $M:t \mapsto (\frac{\cos
  t}{\sin^3t},\frac{\sin t}{\sin^3t})$
% M:=t->(cos(t)/sin(t)^3,sin(t)/sin(t)^3);
\qusqu En mode g\'eom\'etrie, dessiner le point $M(\pi/2)$
\squ D\'essiner la courbe $C_1:t\mapsto M(t)$. (Cf menu d\'eroulant pour trouver l'instruction)
%!s!<g>
%C1:=plotparam(M(t),t=0..Pi);
\squ En utilisant la commande \verb/assume(t1:=[0.7,0,Pi]);/ en g\'eom\'etrie
int\'eractive, utilisez le bouton apparu \`a droite pour expliquez ce qu'est une
courbe param\'etr\'ee en affichant le point \verb/point(M(t1))/. On peut ins\'erer des
\verb/attributs/ graphiques via le menu d\'eroulant.
\squ Ajoutez aussi l'\'el\'ement  \verb/t2/ de $]0..\pi[$ et dessiner
$M(t_1),M(t_2),M(-t_1-t_2)$. Afficher ces points avec une grosse croix en taille
un peu plus grande. 
%% t1:=element(0..Pi,0.7);
%assume(t1:=[0.7,0,Pi]);
%%t2:=element(0..Pi,0.6);
%assume(t2:=[0.6,0,Pi]);
%%couleur(point_width_2+point_etoile);//pb les droites ne s'affichent plus?
%M1:=point(M(t1),affichage=point_width_2+point_etoile);
%M2:=point(M(t2),affichage=point_width_2+point_etoile);
%M3:=point(M(-t1-t2),affichage=point_width_2+point_etoile);
%droite(M1,M2,affichage=blue);
%!s!
\squ Dessiner la droite $M(t1),M(t2)$ en bleu. Que conjecturez vous?
\qu D\'emontrez votre conjecture par un calcul formel. (Les vecteurs se notent
simplemenent \verb/[ , , ]/ (et les parenth\`eses ne comptent pas).
%mm:=[[M(-t1-t2)]-[M(t1)],[M(t2)]-[M(t1)]];
%det(mm);
\qusqu Exprimez les coordonn\'ees de $M(t)$ en fonction de $u=\tan(t/2)$. On
pourra utiliser une instruction xcas pour passer en $\tan(t/2)$ puis \verb/subst/ pour subtituer les
\verb|tan(t/2)| par des \verb/u/.  Stockez les dans \verb/xu/ et \verb/yu/.
%xu:=subst(halftan(M(t)[0]),tan(t/2)=u);
%yu:=subst(halftan(M(t)[1]),tan(t/2)=u);
%%mystere:=factors(resultant(x-xu,y-yu,u))[2];
%mystere:=factors(resultant(denom(xu)*x-numer(xu),denom(yu)*y-numer(yu),u))[2];
%mystere2:=eliminate([x=xu,y=yu],u)[0];
\squ On consid\`ere l'\'equation:\\
\verb/mystere:=factors(resultant(denom(xu)*x-numer(xu),denom(yu)*y-numer(yu),u))[2];/ ou bien celle ci: \verb/mystere2:=eliminate([x=xu,y=yu],u)[0];/ Dessinez la.
%C2:=implicitplot(mystere,x,y);
\squ D\'emontrez que $M(t)$ appartient \`a cette courbe. (On pourra utiliser la
fonction \verb/unapply/ pour transformer un symbole en une fonction.)
%f:=unapply(mystere,x,y);
%simplify(f(M(t)));
%!s!<c>
%Pour ajuster le pas d'un trace implicit on utilise xstep et ystep
%pour abscisse et ordonnee, quels que soient les noms de variables.
%!s!
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%








\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exotitre{introduction \`a RSA}
\qu Demandez \`a xcas des nombres premiers $p$ et $q$ en imposant une certaine
taille et illustrez la diff\'erence de complexit\'e: 1) Trouver $p,q$ et calculer
$p.q$ contre factoriser $n=p.q$.
\qu Choisissez un $e$ premier avec $(p-1)(q-1)$, programmez efficacement la fonction $f: x
\mapsto x^e [n]$ et calculez sa r\'eciproque.


