Séminaire de géométrie et physique mathématique

For a smooth manifold \(X\), it is well known that \(T^*X\) is a symplectic manifold. The manifold \(X\) can be seen as a (rather trivial) Poisson manifold when endowed with the zero Poisson bracket. The canonical projection from \( T^*X \) to \(X\) is a Poisson map and \(X\) is embedded as a Lagrangian submanifold of \(T^*X\) (by the zero section). In this talk, I will discuss a few important extensions of this result to non-trivial (smooth or holomorphic) Poisson manifolds and its connection with PTVV 1-shifted symplectic stacks.

Résumé : On appelle variété de Kapranov différentielle graduée un type particulier de structure dg sur la variété graduée \( A[1] \oplus E \), où \( A \) et \( E \) sont des fibrés vectoriels lisses. Pour toute paire de Lie \( (L,A) \), nous prouvons que \( A[1]\oplus L/A \) est une variété différentielle graduée de Kapranov. Lorsque les algébroides de Lie \( L \) et \( A \) sont réels et proviennent de groupoides de Lie \( \mathcal{L} \) et \( \mathcal{A} \), cette variété différentielle graduée de Kapranov décrit le voisinage formel dérivé d'un sous-champ du champ obtenu par quotient de l'espace homogène \( \mathcal{L}/\mathcal{A} \) par l'action à gauche de \( \mathcal{A} \).

Résumé : La géométrie non-commutative d'Alain Connes est une théorie mathématique récente offrant de nouvelles possibilités d'élaboration de modèles physiques. En particulier, la construction de variétés "presque commutatives" permet de décrire les théories de jauge, et en particulier le modèle standard de la physique des particules, couplées à la gravitation Euclidienne. Cependant, la géométrie non-commutative est traditionnellement construite à partir de la géométrie Riemannienne, et de ce fait ne possède pas la bonne signature de la métrique pour la plupart des applications physiques. Dans cet exposé nous présenterons comment cette théorie peut être adaptée aux variétés Lorentziennes par l'utilisation d'espaces de Krein. Nous montrerons qu'il est alors possible de définir une notion algébrique de causalité correspondant à la notion géométrique usuelle dans le cadre commutatif. Nous illustrerons la construction de structures causales pour des variétés presque commutatives basées sur un espace à deux points ou une algèbre matricielle.

A short introduction to higher symplectic (or multisymplectic) structures and their natural Lie infinity algebra of Hamiltonian forms and multivector fields, with a general definition of the so called homotopy momentum map.

Résumé : We study linear associative deformations of the matrix multiplication. It turns out that these deformations are in one-to-one correspondence with representations of certain algebraic structures. An important class of such strucrures is related to affine Dynkin diagrams of \(A\), \(D\), \(E\)-type. The bi-Hamiltonian approach allows to construct the corresponding integrable ODEs with matrix variables.

Résumé : La notion d'algèbre de Batalin-Vilkovisky est une structure algébrique apparaissant dans de nombreux domaines : algèbre (cohomologie des algèbres de Lie), géométrie (complexe de de Rham des variétés de Poisson, complexe de Dolbeault des variétés de Calabi-Yau), topologie (espaces de lacets doubles), et physique mathématique (renormalisation, algèbre vertex). Le but de la théorie homotopique des algèbres de Batalin-Vilkovisky est de comprendre comment ce type de structure se comporte lorsque l'on déforme l'espace sous-jacent. Ceci fait apparaître naturellement une infinité d'opérations supérieures qui codent de l'information algébro-homotopique. L'objectif de cet exposé sera de donner une introduction à cette théorie et de présenter certaines applications en géométrie et physique mathématique.

Philosophy of Mechanics: Mathematical Foundation

qui se tiendra à Paris Diderot du 12 au 14 février inclus